Емельянов С.В. Новые типы обратной связи

2.1.2. Скользящий режим в точке

Врелейных системах часто возникает скользящий режим. Для пояс­ нения приведем следующий пример:

а < 0) стабилизируется в нуле для любых начальных условий е(0) из интервала (—1/|а|, 1/|а|), тогда как устойчивый объект (т.е. а > 0) стабилизируется в нуле на всей прямой для любых начальных условий (—оо,оо). В окрестности точки О фазовые траектории системы (2.4) направлены навстречу друг другу и, следовательно, фазовая точка не может покинуть точку 0. Решение е = О не является "классиче­ ским" и должно пониматься в каком-то ином смысле, например по А.Ф.Филиппову [72]. Такому решению отвечают бесконечно частые переключения релейного элемента. Эти переключения ассоциируются со скользящим режимом.

Исследуем скользящий режим в системе (2.4) более подробно. Для этого представим ее геометрически в виде многообразия на плоско­ сти (е,ё) (рис. 2.7). Слева от нуля движение происходит по прямой ё-\- ае = 1, а справа — по прямой ё -f- ае = —1. Отрезок [ 1 , - 1 ] на оси е = О есть отрезок скользящего режима, когда скачком ме­ няется уравнение движения. Выясним, что произойдет с системой при появлении задержки в переключениях РЭ. Задержка в переключе­ нии может быть пространственной или временной. В первом случае (рис. 2.8а) релейный элемент имеет петлю гистерезиса шириной 2Д и для него используем обозначение sgnд е, а во втором случае (рис. 2.86) переключение происходит через время г после смены знака входным сигналом. Соответствующий элемент обозначен через sgn^ е = sgner, где т — постоянная времени запаздывания.

74 Глава 2. Некоторые пршщипы построения нелинейных регуляторов

При наличии пространственного или временного запаздывания из­ менения фазовых портретов показаны на рис. 2.13а и 2.13^ соответ­ ственно, из которых видно, что в рассматриваемых системах необра­ тимо наступает неустойчивость. Иными словами, релейные системы

t

/"^

•л V'

•'Уп)

Рис. 2.13

С ВЫСОКИМ относительным порядком негрубы. Напомним, что отно­ сительный порядок линейного стационарного объекта равен разности степеней полиномов знаменателя и числителя передаточной функции.

Из Примера 9 можно сделать следующий вывод:

• для придания грубости релейной системе следует уменьшить до единицы относительный порядок передаточной функции от входа релейного элемента до его выхода.

Пример 10. Релейная стабилизация объекта с относительным порядком, равным двум. Рассмотрим теперь релейную систему стабили­ зации объекта с относительным порядком, равным двум (рис. 2.14). Вновь

Необходимое условие стабилизируемости в нуле дается очевидным неравен­ ством 1/1 < 1. Это неравенство вместе с устойчивостью в нуле уравнения

гаргштируют стг1билизируемость системы (2.7) в нуле.

Для анёишза устойчивости уравнения (2.8) используем геометрические представления, т.е. метод фгкзовой плоскости. Ход фазовых траекторий уравнения (2.8) при е > О, когда действует уравнение

ё+ ё + 1 = О,

ипри е < о, когда действует уравнение

ё+ ё - 1 = О,

показаны на рис. 2.15а и 2.156 соответственно. В результате "сшивания" фазовых траекторий имеем итоговый фазовый портрет системы, изобра­ женный на рис. 2.15в. Из ангишза этого фазового портрета становится ясно.

Рис. 2.15

что 1/L < 1, а значит каждая траектория "скручивается" к началу коорди­ нат. Этс(,т же факт можно установить аналитически с помощью функции Ляпунова

-|e| + f

Поскольку многообразие {ё = 0} \ {0} не содержит целых траекторий, то нуль уравнения (2.8) асимптотически устойчив.

2.1.4. О п р о ч н о с т и рехсима переключения

Убедимся, что устойчивость нуля уравнения (2.8) ё-\- ё + sgn е = О не сохраняется при наличии пространственной или временной задержки в переключении. В самом деле, пусть имеет место пространствен­ ная задержка величиной Д. Тогда вместо уравнения (2.8) поведение системы можно описать уравнением

76 Глава 2. Некоторые принципы построения нелинейных регуляторов

ипроиллюстрировать рис. 2.16. После "сшивания" фазовых траекто­ рий по границам разрыва получаем итоговый фмовый портрет урав­ нения (2.9), в котором нетрудно усмотреть существование предель­ ного цикла (рис. 2.16в). Следовательно, релейная система стабилиза-

Рис. 2.16

ции (2.8) является негрубой, так как качественно меняет поведение при вариации условий задачи.

2.1.5. Релейная стабилизация объекта с самовыравниванием

Интересно выяснить, остается ли справедливым вывод, сделанный в предыдущем разделе, для более простых объектов. Рассмотрим воз­ можности релейной обратной связи при стабилизации объекта с само­ выравниванием, т.е. объекта, асимптотически устойчивого при ну-

/

У

Рис. 2.17

левом управлении. Для простоты ограничимся объектом, изображен­ ным на рис. 2.17. При у' = О исследованию подлежит уравнение

ё + ё + е + sgn е = —/.

Ясно, что при выполнении условия |/| < 1 исследование стабилизируемости сводится к анализу устойчивости свободных колебаний системы управления, описываемых уравнением

2.1.6.Стабилизация объекта с высоким относительным порядком

Рассмотрим произвольный линейный объект с относительным поряд­ ком г = п — тп, где г > 3, п и m — порядок полинома знаменателя и чи­ слителя соответственно (например, объект, приведенный карие. 2.20).

Рис. 2.20

При у* = О исследованию подлежит устойчивость нуля уравнения

Вновь при условии

все сводится к устойчивости свободных колебаний

Но нуль последнего уравнения всегда неустойчив при п > 3, что следует из неустойчивости характеристического уравнения, соответ­ ствующего ситуации, возникающей после замены релейного элемента sgn е на линейный усилитель ке при достаточно большом значении ко­ эффициента усиления к. О правомерности такой замены при анализе устойчивости нуля мы говорили выше.

2.1.7.Робастная стабилизация: разрывность, непрерывность и информация о состоянии

Рассмотренные выше случаи позволяют проследить очевидную зави­ симость между непрерывностью, разрывностью и количеством ин­ формации, необходимой для стабилизации линейных объектов. При­ ведем характерные примеры. Стабилизируем объект

с помощью линейной обратной связи и — —ке при выполнении соот­ ношений 0102 > fc > О, oi > 0. Ни при каких параметрах oi, 02 объект (2.12) не стабилизируется в нуле релейной обратной связью

U = —sgn е. Если, однако, в закон релейной обратной связи ввести дополнительную информацию о производных е и ё, например

u = -sgn(e + e), U = - s g n ( e + e + e),

то устойчивость нуля при 01,02 > о будет обеспечена. Иными сло­ вами,

• существуют ситуации, когда переход от разрывного элемента к непрерывному, в частности, к линейному элементу не только по­ вышает прочность системы управления, но и позволяет решить задачу при меньшем объеме информации о ее состоянии.

Аналогичная зависимость существует между прочностью системы и непрерывностью ее нелинейных элементов. Для пояснения рассмо­ трим уравнение

ё -Ь ое 4- sgn е = О, а = const > 0.

На плоскости (е,ё) ему соответствует рис. 2.21а, со скользящим режимом в нуле. При наличии запаздывания г в переключении раз­ рывного элемента имеем дело с уравнением

ё-Ьае-t-sgnCr = О, e r = e ( f - r ) ,

которому соответствует рис. 2.216. На этом рисунке видно возникно­ вение режима переключения с предельным циклом. При достаточно малом запаздывании т можно прибегнуть к аппроксимации е^ = е — гё и вместо sgnвт использовать разрывной элемент вида sgn (е — те), что не меняет качественную картину явления (рис. 2.21в). Ситуация ме-

е-гё=0

Рис. 2.21

няется качественно, если реле заменить наклоном, т.е. от р£1зрывного элемента перейти к непрерывному элементу, например к элементу типа насыщения.

Тогда для анализа устойчивости в нуле следует иметь дело с ли­ нейным уравнением

ё-\- ае + кбт = О, к = const > О,

которому соответствует характеристический квазиполином s -|- а + +ке~''^ = 0. При достаточно большом значении коэффициента усиле­ ния к у этого уравнения всегда есть нули \{к) в правой комплексной

80 Глава 2. Некоторые принципы построения нелинейных регуляторов

полуплоскости, стремящиеся при к —> оо к нулям уравнения е~'^ = 0. Последние, очевидно, имеют положительные вещественные части. С другой стороны, если к конечно, а г мало, то с помощью аппрокси­ мации е"*'' к 1—ST анализ устойчивости можно свести к исследованию полинома первого порядка (1 — кт) s + а + Аг = 0. Очевидно, что при выполнении неравенств 1 — А:г>0, а + Аг>0 наступает устойчивость, т.е. предельный цикл исчезает.

Подводя итог исследованию, можно сделать вывод о том, что ре­ лейная стабилизация годится только для объектов с относительным порядком г < 2. Поскольку стабилизация при г = п — m = 2 была рас­ смотрена выше, то теперь можно исследовать особенности релейной стабилизации при г = п — т = 1.

2.1.8.Робастная стабилизация объекта с первым относительным порядком

Рассмотрим релейную систему управления, структурная схема кото­ рой изображена на рис. 2.22. В данном случае относительный порядок

Рис. 2.22

объекта г = т — п = 2—1 = 1. Для введения переменных состояния удобно объект управления представить в виде схемы, приведенной на рис. 2.23. Тогда поведение исследуемого объекта управления можно

После введения переменных состояния по формулам ц = х, Х2 = х и при необременительном условии у' = О получаем уравнения движе­ ния рассматриваемой системы в стандартном виде: