Емельянов С.В. Новые типы обратной связи

•при параллельном соединении систем (рис. 1.5) передаточные функ-

W,(s)

-9

W,(s)

Рис. 1.5

ции складываются и выход системы определяется по формуле

при соединении передаточных функций обратной связью (рис. 1.6)

Wi(s) -!iL®_JL

W,(s)

Рис. 1.6

выход системы преобразуется в соответствии с выражением

у = W{8) и = l + Wi{s)W2(s)

На рисунках белый сектор сумматора (gi означает прибавление, а чер­ ный — вычитание соответствующего входящего сигнала.

Теперь перейдем к описанию постановки рассматриваемой задачи регулирования. Следуя современной терминологии, будем называть эту задачу задачей стабилизации. Суть возникающей в этой связи проблемы управления состоит в выборе такого управления и, при ко­ тором выход объекта у совпадает с заранее предъявленной функцией времени y'(t), выражающей требования к характеру изменения вы­ хода объекта. Функция у' (<) называется задающим воздействием или просто заданием. Непростая сама по себе задача стабилизации услож­ няется воздействием на объект управления внешних возмущений двух типов: координатного /(<) и операторного a{t). Под влиянием внеш­ них возмущений, информация о которых, кстати, часто недостаточна

(например, известен только факт их принадлежности некоторым мно­ жествам функций Т 1/1 А, т.е. f £ Т, а € Л), взаимосвязь между входом и выходом объекта становится неоднозначной и неопределен­ ной, что, разумеется, сильно затрудняет решение задачи стабилиза­ ции (рис. 1.7). Следует, однако, отметить принципиальное различие в

Рис. 1.7

характере влияния на объект возмущений координатного и оператор­ ного типов. Для этого более детально рассмотрим структуру объекта управления и способы воздействия на него возмущений, используя для

• л I

Рис. 1.8

этого схему, приведенную на рис. 1.8. Уравнения, описывающие эту схему, имеют вид

y = P2[a](f+v), v = Pi[a]u

или, более подробно,

У = Р7[а] Pi[a]u + P2[a]f = Р[а]и + Pj W/,

где явно отражена зависимость операторов Pi и Рг от операторного возмущения а.

Теперь наглядно видно качественное различие влияния возмуще­ ний / и а на выход объекта, что подчеркивается обозначениями на структурных схемах. Координатное возмущение / вносит аддитив­

раметры операторов Pi [а], Р2[а] и не имеет независимого от и и / влияния на выход объекта. Таким образом, возмущение моделирует

линейное воздействие внешней среды на регулируемую координату,

авозмущение а — "нелинейное" ее воздействие.

Влинейной теории автоматического управления влияние операторн ного возмущения на процесс управления не изучается, поэтому ниже полагается а = О и на структурных схемах это возмущение не обозна­ чается.

Заметим, что задающее воздействие у' также может быть выходом некоторой динамической системы, называемой задатчиком и обозна­ чаемой ниже на структурных схемах знаком 5 (рис. 1.9). Конечно,

Рис. 1.9

задатчик, так же как и объект управления, может иметь вход и под­ вергаться влиянию помех, но ради простоты мы такие возможности не рассматриваем. В этих обозначениях и терминах задаче стабилизации может быть поставлена в соответствие структурная схема, приведен­ ная на рис. 1.10. На рисунке е = у' — у — ошибка регулирования, а

Рис. 1.10

Д — регулятор, формирующий из доступной информации (у', е, / и т.п.) такой сигнал управления «, при котором ошибка регулирования е равна нулю или лежит в допустимых пределах.

Охарактеризуем в общих чертах принципигшьные возможности, которыми располагает теория управления для достижения поставлен­ ной выше цели.

Во-первых, специалист по автоматизации, как правило, лишен воз­ можности такого прямого влияния на внутреннее устройство техноло­ гического процесса, которое могло бы привести к требуемому равен­ ству у = у' без какого-либо управления. Гораздо чаще ему приходится иметь дело с объектом, который сконструирован без учета этого об­ стоятельства. Поэтому по существу единственная возможность актив­ ного влияния на выход процесса, а значит, и на возможность решения задачи управления связана с манипулированием входным сигналом и.

И здесь, по сути дела, сразу обнаруживаются только две "чистые" стратегии поведения: первая связана с надлежащим формированием входного сигнала из имеющихся сигналов таким образом, чтобы его последующее преобразование оператором объекта привело бы к тре­ буемому результату у = у"; вторая — с изменением оператора входвыходного соответствия с помощью обратной связи.

Впервом случае, соответствующем использованию прямой связи,

квходному сигнгшу и прибавляется вспомогательный сигнал и', за­ висящий, например, от задания у' и преобразованный подходящим оператором R (рис. 1.11а). В результате таких преобразований вы­ ход объекта принимает вид

y,.= PRy'+Pu+P2f,

и при определенных условиях (например, R = Р~^, Рг/ = О, и = 0) может оказаться, что требуемое равенство у = у' достигается.

Во втором случае входной сигнал объекта изменяется с помощью обратной связи по схеме, представленной на рис. 1.115, на котором изображен оператор обратной связи R. Отвечающее этой структуре уравнение выхода имеет вид

у= Р{и- Ry) + P2f,

ипосле элементарного преобразования находим, что выход объекта, охваченного обратной связью, связан со входом и и помехой / соот­ ношением

из которого видно, что обратная связь меняет операторы передачи от входов и и f к выходу у без какого-либо вмешательства в техноло­ гию процесса — только путем умелого использования информации о выходе. В этом принципе заложены огромные потенцигильные возмож-

Рис. 1.11

ности, использование которых для нужд автоматизации и составляет главное содержание теории управления.

Нетрудно понять также, что сочетание прямых и обратных свя­ зей может привести к еще более глубокому влиянию на объект и, как следствие, к большому расширению возможностей автоматической си­ стемы управления.

Опишем теперь приведенные выше принципы на языке дифферен­ циальных уравнений, используя для этого следующий пример. Пусть объект описывается дифференциальным уравнением второго порядка

с постоянными параметрами oi, ог и возмущением / . Отметим, что этому примеру при "операторном" описании объекта соответствуют операторы Р и Рг с передаточными функциями

Пусть R — оператор прямой связи по заданию у' с передаточной функцией

WR(s) = b2S + bi,

где 61,62 — постоянные параметры. Тогда в соответствии с рис. 1.11а имеем

и' = у' + biy,

и выход объекта является теперь решением дифференциального урав­ нения

которое отличается от исходного уравнения (1.1) дополнительным слагаемым в правой части. Так как общее решение линейного уравне­ ния складывается из произвольного решения однородного уравнения

У+ а2У + а1У = 0

ичастного решения неоднородного уравнения (1.2), то прямая связь влияет только на это частное или, как говорят, вынужденное решение

ине оказывает никакого воздействия на его свободное движение.

Напротив, если мы используем обратную связь по схеме, предста­ вленной на рис. 1.115, например с тем же самым оператором R, то в ре­ зультате получим дифференциальное уравнение замкнутой системы управления сначала в таком виде:

у + а2У + аху = -бгУ - 6iy -I- « -I- /,

а после элементарного преобразования — в окончательном виде:

Из (1.3) следует, что обратная связь не изменяет правой части уравнения, но может быть использована для изменения параметров дифференциального уравнения. Это означает, что обратная связь влияет не только на собственные движения объекта, но и на выну­ жденные его движения. Разумеется, использование прямой и обрат­ ной связи может только "углубить" влияние на поведение объекта.

Следовательно, прямая связь не влияет на динамику, а только на статику системы управления. Так как в желаемом режиме у = у', то разница

«1 ai

определяет ошибку стабилизации и называется статической ошибкой системы управления. Поскольку параметр 6i характеризует прямую связь, то последняя может применяться для уменьшения статической ошибки, например, при 6i = oi ошибка

1 ,

T] = - — f o .

Рассмотрим теперь обратную связь и уравнение (1.3) при тех же предположениях (и = О, / = /о), т.е. исследуем уравнение

у+ {а2 + Ь2)у + (ai + bi)y = /Q.

Вэтом случае надлежащим выбором параметров обратной связи bi, 63 замкнутую систему управления можно всегда сделать Еи;имптотически устойчивой, следовательно, обратная связь меняет динамику системы. Но не только. Поскольку в установившемся режиме

ai+bi'

то и статика зависит от обратной связи. В частности, увеличивая параметр 6i, можно уменьшать статическую ошибку. Подчеркнем, что такг1я возможность в системах с прямой связью отсутствует.

Перейдем к описанию методов синтеза стг1билизирующих регуля­ торов.

1.2. Принцип регулирования по нагрузке

Простейшая задача стабилизации возникает при отсутствии коорди­ натного возмущения, т.е. когда / = 0. В этом случае уравнение объекта имеет вид

и решение рассматривг1емой задачи дает так называемое программное управление

где Р~^ — оператор, обратный оператору Р, т.е. оператор, удовле­ творяющий равенству РР~^ — 1. Действительно, после подстановки (1.5) в уравнение объекта (1.4) последовательно находим

у = Ри' =РР-^у' =у\

и задача решена.

Этот принцип регулирования приводит к структурной схеме си­ стемы автоматического управления (рис. 1.13), на котором явно по­ казана связь между заданием у' и управлением и. Поскольку задание

V'

р

Рис. 1.13

у' характеризует "нагрузку", с которой функционирует объект, то использованный принцип регулирования удобно назвать принципом регулирования по нагрузке. Подобный способ регулирования имеет хронические слг1бости, среди которых отметим следующие.

Во-первых, по физическому смыслу задачи оператор Р "модели­ рует" реальный процесс, и поэтому он удовлетворяет условию фи­ зической осуществимости. Пусть, например, передаточная функция оператора Р имеет вид

W(s) = 1/s.

Тогда передаточная функция обратного ему оператора Р~^ дается выражением

W-^is)=s

и, следовательно, имеет степень полинома числителя больше степени полинома знаменателя, а значит, не удовлетворяет принципу причин­ ности, т.е. оператор Р~^ физически неосуществим. Поэтому речь может идти только о приближенной реализации программного упра­ вления и' = Р'^у", а значит, только о приближенном решении рЕи;сматривг1емой задачи стабилизации системой регулирования по нагрузке.

Во-вторых, только таким способом, т.е. без привлечения иных идей, нельзя решить задачу стабилизации, когда объект неустойчив (Пример 1).

И, наконец, в-третьих, стоит отметить, что в системе програм­ много регулирования реализуемое управление не зависит от факти­ ческого поведения объекта, и потому оперативные коррективы невоз­ можны при непредвиденных отклонениях в поведении объекта или задатчика. В результате даже мгшое возмущение может "увести" выход объекта от предписанного.