Емельянов С.В. Новые типы обратной связи

Если, например, р(«) = 1, то с неизбежностью q(s) = 1, и все определяется устойчивостью полинома

(fik{s) = л^ + (Ai + А2)з + А1А2 + *;,

которгм на^ступает только при выполнении неравенства

Ai + Аг > 0.

Ясно, что последнее нергшенство может и не выполняться. Если же р{з) = л + с, где с = const > О, то при q(s) = 1 устойчивость полинома

4>k{s) = 3^ + [{Xi + Х2) + к] S + Х1Х2 + кс

наступает при любых параметрах Ai, А2 и достаточно большом значении коэффициента обратной связи к. При этом следует обратить внимание на то, что передаточнги! функция регулятора

физически нереализуема, так как deg q(s) < deg р{з), следовательно, в при­ веденных выше расчетах нужно, как минимум, положить

q(s) = 3 + q, q = const > 0.

Тогда можно установить, что отвечающий за устойчивость замкнутой си­ стемы полином имеет вид

4>k{s) = 3^ + {Xi + Х2 + q) 3'^ + [А1А2 + (Ai -I-A2)g-|-fc] 3-f-AiA2g-f-fcc,

a устойчивость наступает при достаточно больших значениях параметров

Рис. 1.44

ния (рис. 1.44), устойчивую при неограниченном увеличении коэффициента обратной связи {к —>• оо) и решающую поставленную задачу стабилизации.

1.7.3. О грубости систем с глубокой обратной связью

Рассмотрим влияние двух типов вариаций оператора объекта:

•регулярных вариаций, или вариаций параметров;

•нерегулярных вариаций или сингулярных возмущений, меняющих порядок объекта.

Для анализа последствий, которые имеют место при регулярных воз­ мущениях, достаточно обратиться к полиному

ipk{s) = a{s) q{s) + kb{s) p{8),

отвечающему за устойчивость замкнутой системы. Очевидно, что если полиномы ^б,р(«) = b(s)p(s) и ipk{s) гурвицевы (последний при достаточно большом значении к), то, в силу непрерывной зависимости спектра от параметров, малые изменения параметров полиномов a(s) и b{s) (т.е. параметров объекта) не меняют ситуацию качественно%

Иными словами,

• системы с глубокой обратной связью грубы по отношению к регу­ лярным возмущениям.

При сингулярном возмущении меняется порядок объекта, напри­ мер, вместо передаточной функции W{s) = b{s)/a{s) мы имеем дело с передаточной функцией вида

WAS) = - 7 ^ , a{s) T(S)

где T(S) — некоторый устойчивый, но неизвестный полином степени не ниже первой, т.е. deg T(S) > 1. Тогда за устойчивость замкнутой системы отвечает полином вида

<Рк («) = •г(«) a{s) q(s) + kb{s) p(s)

и ясно, что если имеет место неравенство deg T{S) > 2, то для физи­ чески реализуемой обратной связи полином fl{s) всегда неустойчив при fc -> оо. Надежда на устойчивость сохраняется только тогда, когда deg T{S) = 1. Но и эта надежда призрачна, так как порядок реального объекта всегда выше порядка его математической модели и,следовательно,

•практическое использование глубокой обратной связи всегда ведет

кнеустойчивости.

Следовательно, значение коэффициента усиления, предельно допу­ стимого по соображениям устойчивости, ограничено некоторым кри­ тическим значением kct, т.е. О < к < к„. Последнее, разумеется, не позволяет полностью устранить влияние возмущения / на регулиру­ емую координату у и, как следствие, добиться требуемого равенства у = у', т.е. не позволяет точно решать задачу стабилизации. Иными словами,

•системы с глубокой обратной связью негрубы по отношению к син­ гулярным возмущениям.

Пример 7. Неустойчивость систем с обратной связью по от­ ношению к сингулярным возмущениям. Пусть в системе с обратной связью (Пример 6) имеется действующее указанным выше способом сингу­ лярное возмущение с оператором

т(а) = гз + 1, г = const > 0.

Тогда полином замкнутой системы упргъвления описывается выражением ifil{s) = {тз + 1){з + \2){з + Ai)(s + д) + к{з + с)

и ясно, что ни при кгисом положительном значении г он не может быть гурвицевым при /с -> оо. Таким образом, построенная в Примере 6 система стабилизгщии неработоспособна при к -^ оо. Заметим, что при к < кет полином (р^(з) устойчив, однако требуемое равенство у = у' не выполняется и, более того, ощибка стабилизащш зависит от возмущения f{t).

Выясним, что принципиально нового вносит в полученные резуль­ таты дополнительная прямая связь по нагрузке в соответствии со схе-

Рх — ^

Рис. 1.45

мой, представленной на рис. 1.45. Отвечающие этой структуре урав­ нения имеют вид

После исключения переменных и, и' и г находим искомую связь между переменными у, у' и / в виде

{l + kPR)y = P2f + {kPR + PQ)y'.

Из этого выражения следует, что рассматриваемая прямг1я связь по нагрузке не влияет на устойчивость системы, так как отвечающий за устойчивость полином 1 -f- kPR не зависит от оператора Q. Точ­ ность компенсации возмущения / также не зависит от оператора Q. Польза от прямой связи состоит в том, что при конечном коэффи­ циенте усиления (к 4С ^сг) с помощью оператора Q можно повысить точность поддержания требуемого равенства у = у'.

1.7.4.Метод пространства состояний в €кналнзе систем с глубокой обратной связью

Решим задачу стабилизации объекта из Примера 6 (рис. 1.42) мето­ дами пространства состояний. Дифференциальные уравнения, опи­ сывающие объект в пространстве состояний, имеют вид

Применим оператор d/dt+Xi к уравнению (1.42), полагая, конечно, дифференцируемость функции / . Тогда, используя стандартные обо­ значения

a2 = Ai-bA2, ai = А1А2,

где F = f + Xyf — возмущение, приведенное ко входу объекта, т.е. к управляющему входу. Пусть

у' + а2у' + aiy' =Y'.

Вычтем из этого выражения уравнение объекта (1-43) и, так как е = у" — у, получим в результате уравнение объекта в отклонениях:

ё + огё + aie = Y' - F -и.

Определим декартовы координаты xi = е, жг = ^ и запишем урав­ нения объекта управления в фазовом пространстве (xi,a;2)- Имеем

XI = Х2) ^2 = —iiaJi — ога^г — и + У — F.

При обратной связи

и = ка, а = Х2 + cxj, с = const > О,

получаем замкнутую систему управления вида

При к -> оо последнее дифференциальное уравнение вырождается в алгебраическое уравнение X2-f-cxi = 0. После подстановки Х2 = —cxi в дифференциальное уравнение (144), получаем уравнение предельного движения в виде

Xi = —CXi.

Поскольку это уравнение экспоненциально устойчиво, а

у' -y = e = xi,

то у* — у —> О, и задача стабилизации тем самым решена.

тически исследовал вопрос об устойчивости пары "паровая машина — регулятор" и сформулировал критерий асимптотической устойчиво­ сти линейного уравнения третьего порядка.

Русский математик И.А. Вышнеградский в статье [13] уточнил модель Максвелла и провел исчерпывающее качественное исследова­ ние произвольной трехмерной системы. Он впервые поставил вопрос о качестве переходного процесса в системе автоматического управле­ ния и математически описал границы областей в пространстве па­ раметров уравнения системы с различным типом качественного по­ ведения его решений, дал практические рекомендации по настройке регулятора Дж. Уатта (J. Watt).

Словацкий инженер А. Стодола (А. Stodola) сформулировал не­ обходимые условия устойчивости произвольного полинома и привлек внимание немецкого математика А. Гурвица (А. Hurwitz) к проблеме необходимых и достаточных условий устойчивости. Эта задача была решена Гурвицем в 1895 г. с использованием результатов Ш. Эрмита (Sh. Hermitte), но еще ранее, в 1877 г., эквивалентные условия устой­ чивости были найдены Е. Рауссом (E.J. Routh) [97].

Наиболее общие методы исследования устойчивости и основные по­ нятия современной теории устойчивости движения даны A.M. Ляпу­ новым в диссертации [56].

Частотные методы и структурные схемы стали широко приме­ няться в теории управления после работ Г. Найквиста (Н. Nyqwist) [9б],Г.Блейка(Н. Black) [77], Г. Воде (Н. Bode) [78] и А.В. Михай­ лова [58]. Ученые провели исчерпывающее исследование устойчиво­ сти замкнутых обратной связью систем по частотным характеристи­ кам объекта и регулятора.

Основные постановки задач и базовые принципы теории автома­ тического регулирования имеют глубокие корни. Считается, что аме­ риканец М. Бултон (М. Boulton) в 1788 г. и француз Ж.-В. Понселе (J.-V. Poncelet) в 1826 г. ввели в научный обиход принцип разомкну­ того регулирования. Авторство принципа обратной связи датиру­ ется 1788 г. и приписывается американцу Дж. Уатту. Интеграль­ ную компоненту в обратную связь ввел в 1837 г. француз Л. Молини (L. Molinie), производную — немцы, братья Уильям и Вернер Сименсы (William & Werner Siemens) в 1844 г. Регулирование по нагрузке впер­ вые было предложено Ч. Портером (СТ . Porter) в 1908 г., релейная обратная связь, по-видимому, впервые использовалась Ч. Шофилдом (C.L. Schofield) еще в 1836 г., пропорциональное регулирование при­ менялось в 1870 г. американцем Д. Вудбери (D.A. Woodbury).

С современной трактовкой методов прямого управления можно ознакомиться по работам [1, б, 11, 12, 64, 67]. Принцип двухканальности изложен в [61, 62, 67]. Метод Кулебакина подробно описан в [49, 52]. Теория и методы большого коэффициента усиления, повидимому, впервые систематически изложены в монографии [57].

Глава 2

Некоторые принципы построения нелинейных регуляторов

Релейные системы являются простейшим видом принципиально нели­ нейных динамических систем, они описываются дифференциальными уравнениями с разрывными характеристиками и потому часто их на­ зывают разрывными системами. В теории автоматического управле­ ния интерес к исследованию разрывных систем связан с использова­ нием сервомеханизмов типа полный вперед-полный назад, а также ввиду наличия амплитудных ограничений на сигналы.

В этой главе мы рассматриваем некоторые специальные вопросы теории релейных систем, представляющие интерес в общем контексте монографии и прежде всего в связи с ангшизом возможностей релейной стабилизации в условиях неопределенности.

2.1. Релейная обратная связь

2.1.1. Основные понятия

Релейная система — это система, в структурной схеме которой име­ ется хотя бы один релейный элемент (РЭ). В теории автоматического управления релейной считают, как правило, обратную связь, изобра­ женную на рис. 2.1, на котором sgn (•) — нелинейная операция, устана-

Рис. 2.1

вливающая связь между управлением и и выходом а регулятора R по формуле и — sgn (X. Если релейных элементов несколько, то систему называют каскадной релейной системой.

Характернсш особенность РЭ — разрывность, что вносит суще­ ственную специфику в методы анализа и синтеза релейных систем, а

Для анализа свойств системы (2.1) удобно переписать уравнение ее дви­ жения относительно "ошибки". Прямыми вычислениями находим

Пусть e(t, jfc) — какое-либо решение уравнения (2.2). Ясно, что

Б т e{t,k) = 0

при любом параметре а, "практически" произвольном задании y'{t) и воз­ мущении f{t). Пусть теперь в кгмале обратной связи исследуемой системы

имеется ограничение типа sat (•) — насыщения (рис. 2.5). Тогда при А; —^ оо возникает качественно новая ситуащш и "ургшнение в ошибках" имеет вид

ё = —а е — sat (ке) + F,

где для удобства использовано обозначение

F = y' + ay'-f.

В пределе при к -> оо имеем дело с релейной системой

Система (2.3) разительно отличается от системы (2.2). Ясно, что для неустойчивого объекта (т.е. когда а < 0) задача слежения реша­ ется системой (2.3) только при выполнении неравенства

\ae + F\< 1,

иначе говоря, только при определенных начальных условиях и только для ограниченного возмущения F. Следовательно,

•релейной обратной связью стабилизируются более узкие, по срав­ нению с линейной обратной связью, классы объектов и только при действии ограниченных по амплитуде возмущений.