Емельянов С.В. Новые типы обратной связи
.pdf5.2. Алгоритмы скольжения 2-го порядка |
191 |
При кратном применении этого оператора имеем равенство
L'f(p = Lf {Ь'г ^(р), I — целое число.
Заметим, что в тех случаях, когда это имеет смысл, между произ водными по времени функции (х(х) и системой х = f{x) справедливо следующее равенство:
dfc
Пусть при последовательном дифференцировании функции <т{х) и все ее производные до порядка (г — 1) включительно непрерывны, а г-я производная о-^'') = IJ(T разрывна и знакопеременна. Тогда, если пересечение
Mr = Мо П Ml П ... П Мг_1,
где
М, = {I|<T(')(X) = 0 } , / = 0 , 1 , . . . , Г - 1 .
не пусто, то оно является многообразием идеального скольжения по рядка г.
Если, кроме того, при реальном скольжении обеспечено выполне ние следующих неравенств для / = 0,1, . . . , г — 1 :
|<г(')|<Л(Д), кМ|<Лг(Д), >lr(A)>const >0,
где А — параметр, характеризующий неидеальности переключений, то точность реального скольжения по (г имеет порядок Д', так как
к(')|^0(дг - '), / = 0 , 1 , . . . , г - 1 .
5.2. Алгоритмы скольжения 2-го порядка
Рассмотрим некоторые алгоритмы скольжения 2-го порядка. Прежде всего уточним математическую модель, с которой пред
стоит иметь дело. Вновь рассмотрим гладкое многообразие |
|
Мо = {х I <т{х) = 0}. |
|
Поведение в его окрестности 0(Мо) разрывной системы |
|
х = f + bu"^ |
|
можно изучать по скалярному уравнению вида |
|
«r = (V<r,/)-KV(T,6)«±. |
(5.16) |
Пусть Ueq — решение для х € 0{Мо) уравнения |
|
0 = <V(T,/>-»-(V«r,6>Ueq, |
(5.17) |
192 |
Глава 5. Скользящие режимы высших порядков |
тогда, после вычитания (5.17) из (5.16), получим, что в окрестности 0{Мо) действует уравнение
Если обозначить правую часть последнего уравнения через и, то тем самым изучение движений в окрестности 0(Мо) можно свести, без ущерба для общности, к следующему стандартному уравнению:
& = и. |
(5.18) |
Особенность такого уравнения при анализе скользящих режимов 2-го порядка состоит в том, что функция и непрерывна и такова, что фазовые траектории исходной системы касаются многообразия в точках скольжения 2-го порядка, иными словами, и обращается в нуль на пересечении
MQDMI,
где, как и раньше,
Mi = {x\ ff(z) = 0}.
Проблема стабилизации скалярного объекта (5.18) непрерывным управлением сводится следующими заменами
к стандартной проблеме стабилизации в нуле объекта 2-го порядка
^' = ''" ''^ = "' |
(5.19) |
(7 = (Ti,
обратной связью I/{(TI,(T2), которая при скольжении 2-го порядка мо жет быть и разрывной. Разумеется, наиболее привлекательны те обратные связи I/(<TJ,<T2), которые финитно стабилизируют объект (5.19) в нуле по выходу, однако не будем пренебрегать и асимпто тически стабилизирующими обратными связями по состоянию или по выходу.
Описанная выше конструкция допускает естественное обобщение. Так, проблема организации скользящего режима г-го порядка на мно гообразии MQ эквивалентна проблеме финитной стабилизации по вы ходу в нуле следующей системы г-го порядка:
о-,=(Г,+1, |
i = 1,2, ... , г - 1 , |
|
|
|
(5.20) |
(Тг = f, |
<Т |
= <Ti. |
в самом деле, в этом случае в желаемом режиме имеем равенства
<т = 0-1 = 0-2 = . . . = <Тг = О,
которые означают, что движение происходит по пересечению
МоПЛ/1 П...ЛЛ/г,
5.2. Алгоритмы скольжения 2-го порядка |
193 |
где, как очевидно, множества М,- определяются следующими соотно шениями:
Mi = {x |<т<''){х) = 0}.
Порядок скользящего режима можйо связать с относительным по рядком исходного объекта по управлению, если за его выход принята переменная <т(х). Проще всего и без потери в общности это можно по яснить на примере линейного стационарного объекта. Действительно, пусть связь между входом и и выходом а объекта определена дробнорациональной передаточной функцией W{s) = p(s)/a{s) (рис. 5.9).
W(s)
Рис. 5.9
Тогда при относительном порядке единица, т.е. когда
dega(s) -deg/9{s) = 1,
производная <т может претерпевать разрывы, если управление и раз рывно и, следовательно, возможен скользящий режим 1-го порядка.
При условии, что
deg Q{S) - deg ^(s) = г,
функции ffC), I = 0,1, ... ,r — 1 не зависят явно от управления, а функцияff^*"'— зависит, и, следовательно, при разрывном управле нии и разрывы может претерпевать только (т^''\ а значит, в системе в принципе возможен скользящий режим не ниже г-го порядка. Та ким образом, порядок функции, задающей поверхность разрыва, по управлению (т.е. номер первой производной Ли, явно зависящей от управления) и определяет порядок скользящего режима, если, конечно, последний устойчив.
Рассмотрим конкретные примеры алгоритмов скольжения 2-го по рядка подробнее.
5.2.1. Асимптотические алгоритмы скольжения 2-го порядка
При решении задачи асимптотической стабилизации в нуле объекта (Е-системы)
сначала исследуем возможности линейной обратной связи
и =-ki<Ti - к20-2. |
(5.21) |
194 |
Глава 5. Скользящие режимы высших порядков |
При постоянных параметрах обратной связи ку, ki возможны три основных вида экспоненциально затухаюыщх переходных процессов: колебательные (рис. 5.10), апериодические (рис. 5.11) и монотонные (рис. 5.12). В последнем случае используется глубокая обратная связь.
Рис. 5.10
<T2+rf<Ti=0
Рис. 5.11
^=0
Рис. 5.12
вводимая устремлением в бесконечность общего множителя к параме тров ki, Аг2, т.е. в этом случг1е обратная связь (5.21) имеет вид
U = -к^ = -к{(Г2 + dcri), d = const > 0.
5.2. Алгоритмы скольжения 2-го порядка |
195 |
Соответствующие рис. 5.10-5.12 ситуации в исходном фазовом пространстве X разрывной системы
i = / ± = / + Ьи=»=
иллюстрируют рис. 5.13, 5.14. Особенности таких алгоритмов сколь жения обусловлены характерными свойствами линейных систем ста^ билизации. В частности, для уменьшения времени переходного про-
Рис. 5.13
Рис. 5.14 |
Рис. 5.15 |
цесса (а это желательно) необходимо увеличивать демпфирование, но это понижает прочность системы. Кроме того, при наличии неопре деленности в описании исходной системы i = / * информация о про изводной (72 может отсутствовать, а ее восстановление стандартными методами наьблюдения невозможно. Поэтому следует обратиться к не линейным алгоритмам стабилизации.
Рассмотрим сначала ситуацию, когда многообразие скольжения — Мо, и только оно является многообразием разрыва обратной связи, например,
и = -к2 <Т2 —fcisgn а\.
196 |
Глава 5. Скользящие режимы высших порядков |
В ЭТОМ случае замкнутая система
&1 = (Г2,
{Г2 — —*1 sgn ах - ^2 сг
асимптотически устойчива в нуле, что проверяется пробной функцией
V = kil + 2Г^^'
производная которой имеет вид
^2 2
И тождественно обращается в нуль только в начале координат. Каче-
Рис. 5.16
ственное представление о характере движения в окрестности пересе чения Мо П Ml в этом случае дают рис. 5.15, 5.16.
5.2.2.Разрывные асимптотические алгоритмы скольхсения 2-го порядка
Если разрывы управления допускаются не только на многообразии скольжения Мо, то экспоненциальную стабилизацию Е-системы в нуле обеспечивает следующий закон СПС:
и = -fc|<Ti|sgn^,
^ = <Г2 + 2</(Ti, d = const > 0.
Действительно, уравнения замкнутой системы имеют вид
&! = <Т2,
&2 = -A;|<ri|sgn^, и при выполнении неравенства
k>d^
5.2. Алгоритмы скольжения 2-го порядка |
197 |
на прямой ^ = О за конечное время (кроме асимптотических траек торий) возникает скользящий режим (рис. 5.17, 5.18), который явля ется скользящим режимом 1-го порядка относительно переменной ^, но 2-го порядка относительно переменной (Г\. Разрывные алгоритмы
Рис. 5.17
Рис. 5.18
скольжения обеспечивают более прочное по сравнению с линейными алгоритмами решение задачи стабилизации по неоднократно упоми навшимся причинам. Представляет интерес, однако, синтез финит ных алгоритмов стабилизации.
5.2.3.Финитные алгоритмы скользкения 2-го порядка: линейная обратная связь
Финитнг^ стабилизация возможна только в классе линейных нестаци онарных или же нелинейных (разрывных) обратных связей.
Прежде всего естественно рассмотреть стабилизирующие возмож ности линейной обратной связи. Именно, применим для стабилизации в нуле Е-системы
(Tj = (72, |
(72 = U |
198 |
Глава 5. Скользящие режимы высших порядков |
за конечное время rj > О линейную обратную связь с переменными па раметрами и = —kW = —iti<Ti—А:2<Г2, где для удобства введены векторы к^ = {ki,k2) и ff = («Ti,«гг); здесь ^ — знак транспонирования.
Общее решение Е-системы дается формулой Коши
t |
|
W{t) = еtA |
•тА budr |
о |
|
где матрица А и вектор 6 имеют вид |
|
л=[У.]. '=[?]
Положим |
и(0 = -б"^е-'^ |
I, |
|
|
|
||
где вектор I определяется из равенства ?(»j) = О, т.е. |
|||
|
V |
|
|
(То = |
-'•^ ЬЬ^е-"^ dr |
l = |
W(0,v)l. |
|
! • |
|
|
|
.0 |
|
|
Поскольку Е-система управляема, то граммиан управляемости W(0,T]) |
|||
невырожден при любом »; > О, и поэтому / = |
W~^(0,T))WO, ЧТО и по |
||
зволяет найти управление, решающее задачу в виде "программы"
« = - 6'ет^-м^ W-\0,T,)Wo.
Для нахождения соответствующей обратной связи выразим <го из равенства
а результат подставим в предыдущую формулу для и. Получим сле дуюхцую формулу:
и = |
jTg-M w-^iO,r,)e -tA |
|
1-1^(0,0^^-40,»;) ' |
||
|
которая и определяет искомую обратную связь. Поскольку
W{0,t)W-\Q,r})^l
при t —> т;, то коэффициент обратной связи неограниченно возрастг1ет за конечное время, т.е.
k(t) = - l-W{0,t)W-^{0,T)) |
-tA |
• О С , |
5.2. Алгоритмы скольжения 2-го порядка |
199 |
Последнее, конечно, неприемлемо в приложениях. Для явного вы ражения параметров Ari(t) и k2(t) через параметры Е-системы нужно использовать следующие формулы:
6*"^ =
»'-'(».')= [б/.^ tt]- »v'-^ = H,ii.
5.2.4.Финитные алгоритмы скольжения 2-го порядка: релейная обратная связь
Рассмотрим теперь нелинейную обратную связь, которгш также обес печивает финитную стабилизацию, но ограничена при любых «г. Пусть скалярная гладкая функция д{<т) такова, что д{0) = 0, д' д ограничена, решение дифференциального уравнения а = д(<т) существует при лю бом (г(0) и это решение за конечное время попадает в нуль. Например, такими свойствами обладает функция ^((г) = —dsgner \(т\р, 0.5 < р <1, d = const > 0.
Тогда обратную связь, финитно стабилизирующую Е-систему
&1 = <Т2, <^1 — U,
можно выбрать релейной, например в виде
« = -*sgn^(<ri,<r2),
При достаточно большом коэффициенте к > О кривая (Тг = 9{<''i) будет кривой скольжения, она достига1ется из любого начального по ложения за конечное время, что и гарантирует финитность времени стабилизации г) (рис. 5.19).
Рис. 5.19
200 |
Глава 5. Скользящие режимы высших порядков |
5.2.5. Алгоритм скручивания
Исследуем стабилизирующие свойства разрывной обратной связи вида
и = —ki Sgn <Ti — к2 Sgn (Т2,
где ibi > ^2 — положительные параметры. Замкнутая система при этом описывается уравнениями
ffl = (Т2,
&2 = -ki sgn (Ti - ^2 sgn ег2,
a отвечающие ей траектории, состоящие из отрезков параболы, изо бражены на рис. 5.20.
-iki+ki)
ki+k2 *2\ |
-(fci-Jkj) |
Рис. 5.20
Пусть to, ti, t2, ta и t^ — последовательные моменты переключе ния управления, а ri = ti — to, Т2 = t2 — ti я т.д. — интервалы времени между переключениями. Соотношения между последователь ными значениями переменных «ri, (Тг в моменты переключений даются, очевидно, следую1Щ1ми выражениями: ai = ± (г\/{к\ -\- Л2) в первом и третьем квадрантах, (Тх = ^а^Ккх — ^2) — во втором и четвертом. Поэтому между квадратами (Т2(0) и (Т2((2) имеет место соотношение
'^2(M = ^ ^ ' - l ( 0 ) = 'e<Ti(0).
Аналогично имеем a^{t\) = Kal{t2) = к^а^О).
Пусть i — номер полного оборота фазового вектора вокруг нуля, тогда последовательные значения переменной а-2 связаны следующими соотношениями:
к2(«)1 = «к2(« -1)1 = . . . = /с*к2(о)|, ,- = 1,2,...,
откуда следует сходимость переходных процессов Е-системы к нулю, если только к < 1. Докажем, что эта сходимость финитна.