Емельянов С.В. Новые типы обратной связи
.pdf9.5. Нестандартные дифференцирующие системы |
293 |
Воспользуемся рекомендациями КО- и 0-теорий. В результате по лучим структурную схему, изображенную на рис. 9.42. В этой схеме
f |
|
|
|
tiy \ |
|
Se |
^' 6h |
^ |
|
||
' |
Нд |
||||
\9 |
|
||||
1>' 1 |
^ * ' • |
|
|
К, Ф= м |
1 |
|
^ |
|
1^ |
) |
|
|
|
|||
3 , ^ |
|
|
е |
By |
|
* |
• |
|
|
|
|
Z |
|
|
|
) |
9 |
|
|
|
' N. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
1 |
|
Рис. 9.42
следует задать операторы КО- и 0-регуляторов Д^ и Rf,, соответ ственно, бинарную операцию By и задатчик Se • Штриховкой выделен регулятор Ry.
Если интересоваться лишь принципиальными возможностями ис следуемой схемы, то естественно воспользоваться результатами О- теории и выбрать операторы R^, Rp, Se и бинарную операцию By в виде
R^, : |
fi = ksgn |
(ге, |
«г = е* — е, |
к = const > О, |
Rp : |
р = q(i, |
q = const > О, |
|
|
Se : |
Те' + СрС' = |
е, с^ = с -|- ^, |
с = const > О, |
|
By : J/ = ВуС = fie.
Указанный выбор продиктован следующими соображениями. Если ошибка (т = О, то е = е* и из уравнения задатчика Se получаем
Те + СрС = е.
Но Ср = с + qfi, поэтому последнее уравнение может быть переписано в виде
Те + {с — 1)е = —q/ie.
294 |
Глава 9. Дифференцирование сигналов |
Это означает, что "действие" операторной переменной ft по эффекту эквивалентно "действию" оператора
_ Г . + ( с - 1 )
Сравнивая это выражение с требуемым
Ry = |
{T-l)s+l, |
получаем соотношения для расчета параметров схемы
1 - г = - , l = i ^ , |
(9.52) |
ЧЯ
которые нетрудно удовлетворить. В итоге получаем требуемое урав нение
тё + е= д.
В соответствии с этим выбором структурная схема дифференциатора конкретизируется и принимает вид, показанный на рис. 9.43.
1 |
|
к |
Ts+cp |
••V J |
-к |
|
е
Рsgn
к |
|
|
Ч Ч| — 1 |
j ^ |
|
1Г |
|
•ч V |
е |
9 |
|
9 « |
|
|
|
г |
1 |
у |
|
|
S |
|
|
Рис. 9.43
Перейдем к анализу дифференцирующей системы. Указанные по следствия наступают только в том случае, если с некоторого момента времени <т = 0. Для получения условий, гарантирующих этот факт, запишем уравнение изменения ошибки сг.
Поскольку (Т = е* — е, то имеем сначала
(T = e ' - e L = |
—z~ |
g + fie. |
9.5. Нестандартные дифференцирующие системы |
|
|
|
295 |
||||||||||
Но е, = ст + е, поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
= |
1 - е |
е |
с + g/i |
<т |
|
Д |
g |
\ |
. |
(9.53) |
||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
^ |
|
^ |
, + ^е(^1 |
^ j |
|
|
||||||
Из соотношений (9.52) следуют равенства |
|
|
|
|
|
|||||||||
1—с |
1 |
|
с |
1 — 9 |
|
, |
9 |
|
1" |
|
g |
1 |
||
Г |
~ 1 - г ' |
|
Г ~ д ( 1 - г ) ' |
|
|
Т~ |
1-т' |
|
Т~ 1-т' |
|||||
поэтому (9.53) можно переписать в виде |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
е |
|
{l-q |
+ q(i)(T |
. |
|
г |
|
|
|
||
|
сг = |
:; |
|
|
|
JZ |
|
; |
9- |
И^-. |
1-т- |
|
|
|
|
|
1-г |
|
g ( l - r ) |
|
" |
'^ |
|
|
|||||
Поскольку ^1 = к sgn ((те), то окончательно получаем уравнение
Заметим теперь, что ничто не препятствует выбору параметра q достаточно малым, например таким что
q{k+1)<1. (9.55)
Тогда коэффициент (напомним, что \ft\ < к)
1-q + qfi |
> 0 . |
q{l - т) |
Для того чтобы в точке <т = 0 существовал скользящий режим, следует позаботиться, как это следует из (9.54), о выполнении неравенства
<^{е - 9 + тд - A;r|e|sgn (т) < 0.
По крайней мере в малой окрестности точки <т = О это условие выпол нено, если
\д\ < k, |
(9.56) |
поскольку при этом е = д.
Таким образом, если выполнены соотношения (9.55), (9.56), то при начальных условиях из некоторой окрестности <г = О через конеч ное время возникает скользящий режим, поддерживающий требуемое равенство <т = 0. Вследствие этого наступают описанные ранее бла гоприятные последствия, а именно:
298 |
Глава 9. |
Дифференцирование сигналов |
На рис. 9.46 приведены |
результаты |
дифференцирования в рам |
ках неклассической схемы дифференцирования при помощи нестан дартного бинарного дифференциатора. Представлены графики оце-
1 |
|
f |
|
|
|
|
|
||
0 |
• '!} |
|
|
|
- 1 |
i\ \ / |
|
8 |
t |
л б
t о
Рис. 9.46
- 1 -
Рис. 9.47
нок второй, третьей, четвертой и пятой производных соответственно, при последовательном дифференцировании без помехи (е = 0).
На рис. 9.47 приведены графики оценок первой производной при наличии шума, полученные при последовательном дифференцирова нии нестандартным бинарным дифференциатором с уровнем помехи
9.5. Нестандартные дифференцирующие системы |
299 |
е ~ 10"^. Графики оценок первой производной при наличии шума, по лученные при последовательном дифференцировании нестандартным бинарным дифференциатором с уровнем помехи е ~ 10"^, приведены
на рис. 9.48.
Рис. 9.48
На рисунках 9.45-9.48 квадратами обозначены производные, а тре угольниками — оценки производных.
Глава 10
Субоптимальная стабилизация неопределенного объекта
Рассмотрим случаи, когда задача оптимальной стабилизации неопре деленного объекта решается точно или приближенно. Подход к реше нию базируется на сочетании идей оптимальной стабилизации, асим птотической инвариантности и теории бинарного управления. Инва риантность поля экстремгшей к факторам неопределенности служит несущим элементом развиваемой конструкции. При этом от факторов неопределенности зависит лишь оптимальная обратная связь. Для ее приближенной реализации используются новые типы обратной связи и методы бинарного управления. Проводится сравнение предлагаемого подхода с известными методами: усреднения, гарантированного ре зультата, глубокой обратной связи и т.п.
10.1. Постановка задачи оптимальной стабилизации
Оформление оптимальной стабилизации в самостоятельное направле ние теории оптимального управления в детерминированной поста новке уходит своими корнями к трудам А.А. Летова, Р. Беллмана, А.А. Красовского и в стохастической постановке — к трудам Р. Калмана. В результате многолетних усилий была создана теория АКОР (аналитического конструирования оптимальных регуляторов).
Центральное место в теории АКОР занимает проблема синтеза оптимальной обратной связи, стабилизирующей детерминированный или стохастический объект в условиях, когда имеется полигл инфорь мация о его поведении и ха'рактеристиках внешних сил. В реальных условиях информация об объекте и действующих на него возмуще ниях всегда неполна, а так как оптимальное решение, как правило, весьма чувствительно к вариациям условий задачи, то рекомендации этой теории могут быть юяты только за основу и редко используются на практике.
Возможности теории АКОР несколько расширяются при сочета нии ее методов с методами адаптивного управления. Внутренние ограничения теории адаптивного управления не могли привести к универсальным методам оптимальной стабилизации при неопределен ности, и потому рассматриваемая проблема сохраняет актугшьность. Требуется новый взгляд на проблему оптимального управления при неопределенности. В частности, представляет интерес выделение тех