Емельянов С.В. Новые типы обратной связи

а затем, для простоты, "звездочку" не указывать (т.е. осуществить замену а* -^ а), то окончательно уравнения движения исследуемого объекта в 0-теории принимают вид

Далее этот объект (6.7), (6.8) для удобства обозначаем символом Pp. Если же рассматривается только второе уравнение Рр-объекта

(6.8), то его, как условлено выше, обозначаем символом Pg.

Из уравнений (6.7), (6.8) виден нелинейный, точнее билинейный, характер уравнений движения (это обстоятельство принципиально и неоднократно отмечалось выше), но, что важно и что обеспечивает успех всего мероприятия, так это аффинность уравнений движения по управлению (т.е. по паре {fA,p)). Последнее позволяет применять для решения задачи стабилизации методы классической теории ста­ билизации.

6.3. Статическая операторная обратная связь

Рассматривая уравнение Ре-объекта

i = 2{d + p)^ + bn + a-2dp + p, аеА, be В,

нетрудно понять, что обратная связь р = Rp/л может быть статиче­ ской или динамической, в зависимости от вида оператора Rp, однако только во втором случае ввиду наличия производной р в правой части (6.8) КО-связь fi = R^CTp может быть разрывной.

Исследование естественно начать с анализа возможностей отрица­ тельной статической 0-связи, когда

а после приведения подобных получаем тривиальное неравенство

О > -qbk^.

Более того, поскольку динамический статизм

l-qk С(9) = bk-2d(l-qk)

монотонно убывает с ростом параметра q, то величина динамического статизма ^^(з) может быть сколь угодно приближена к нулю при gfc -> 1, хотя нуль недостижим, ибо при g = О все эти уравнения не действуют. Следовательно,

•использование статической 0-связи оправдано даже в том триви­ альном случае, когда применяются только статические нелинейные обратные связи.

Для содержательной интерпретации последнего вывода полезно по­ лучить выражение для закона управления по основной переменной, т.е. закона, выраженного через исходные переменные Xi, х^. Делая обратную замену ц = —к^ и используя равенство р = —qfi, имеем по­ следовательно:

ы = /ill = -k^xi = -ксгр = -к[х2 + (d+ p)xi] =

= -k[x2 + {d- qfi)xi ] = -k{x2 + dxi) + qkpxi — -kcr + qku.

Разрешая последнее равенство относительно управления и, находим, что

l-qk

Иными словами, построенная нелинейная бинарная система упра­ вления на множестве Gs эквивалентна линейной с коэффициентом уси­ ления

и при qk —¥ —I нг1ступает эффект большого коэффициента усиления, хотя во всех контурах системы управления применяются конечные ко­ эффициенты усиления. Этот эффект является прямым результатом использования нелинейности и положительной обратной связи.

Структурная схема рассмотренной системы приведена на рис. 6.4. Напомним, что эта схема работоспособна только при ограничении

р»+d —1

р==Ф -к =:

b

WasA

Рис. 6.4

\<т\ < 6\xi\. Фазовый портрет в координатах (xi.xj) этой системы управления в пределах множества Gs приведен на рис.6.5, на кото­ ром колебания относительно линии «г = О отсутствуют. К недостат­ кам этой схемы следует отнести наличие в регуляторе внутреннего статического контура (выделен на рис. 6.4) обратной связи. Это при-

'• ст=0

Рис. 6.5

ВОДИТ К негрубости системы, ибо влияние неопределенной динамики может привести к нежелательным последствиям: колебаниям или не­ устойчивости. Поэтому следует подумать над способами повышения прочности системы со статической 0-связью.

6.3.2.Статическая операторная и динамическая координатнсьоператорная обратные связи

Изучим теперь возможность стабилизации Ре-объекта

i = 2{d + p)i-\-bn-¥a- 2dp + p,

аеА, b€B,

с помощью статической 0-связи

р = —qfi, q = const,

и различных видов динамической К 0-связи

/1 = R^a,

где R^ — дифференциальный, интегральный или какой-либо иной опе­ ратор динамического преобразования.

После исключения р получаем уравнение стабилизируемого объ­ екта, зависящее только от КО-закона управления в следующем виде:

Прежде всего рассмотрим случай, когда используется координатнооператорная связь другого вида.

6.3.3.Инерционная координатно-операторная обратная связь

Вэтом случае параметр b Е В предполагается известным, поэтому КО-закон можно взять, например, в виде

При выполнении неравенств g < О, 6~ = Ь~ -I- 2qd > О этот КО-закон естественно назвать инерционным, так как передаточная функция от ^ к ц имеет вид инерционного звена (рис. 6.6а или, более подробно, рис. 6.66). После подстановки (6.13) в (6.8) получаем уравнение за-

мкнутой системы в виде

qfi-b~ к^.

В положении равновесия (/iooi^oo) этой системы выполнены равенства

2(d-?^ioo)^oo +а = к^оо,

разрешая которые с точностью до величин порядка 1/к получаем

Для анализа устойчивости этого положения равновесия в матом запишем уравнения движения системы (6.14) в отклонениях

6 = ^ - ^ о о , Ь = И-Иоо,

удерживая лишь члены первого порядка малости. После элементарных преобразований получим уравнения

6 = -(fc-2d)6, 6 = - 6 + - 6 ,

Ч Я

из анализа которых легко усмотреть, что точка (/ioo,^c») асимптоти­ чески устойчива, если

k>2d, b = b + 2qd>0.

Для определения предельного движения основной координаты xi воспользуемся первым уравнением системы (6.10). Получаем

XI = -(d - qfioo)xi +^00^1 = -{d-qHoo -^00)^1-

Следовательно, число

определяет в этом случг1е величину статизма. Устремлением параме­ тра ^: -^ 00 устранить этот статизм невозможно, так как

Однако уменьшением параметра q его можно сделать произвольно ма­ лым, хотя устранить вовсе таким путем нельзя, так как q > 0.

Структурная схема исследованной системы стабилизации приве­ дена на рис. 6.7. Напомним, что она действительна только при огра­ ничении \<т\ < S\xi\. Рисунок с проекциями фазовых траекторий этой

s + d

^-2-^=J= ^ qs-Ъ

' Ф=^

ё

$•'+«

1ГоеЛ

Рис. 6.7

системы на множество Gs в плоскости («1,352) подобен рис. 6.5 и по­ этому не приводится. i

Поскольку прочность этой системы из-за наличия динамики в 0- контуре не вызывает сомнений, то можно констатировать, что

• в рассмотренной бинарной системе поставленная задача стабилиза­ ции решается непрерывным управлением сколь угодно точно и ко­ лебания фазового вектора относительно линии <т = О отсутствуют. Однако для реализации требуется знать параметр 6 £ JB, да и сама реализация сложна, так как требует операции деления. Для преодо­

ления этих недостатков рассмотрим иной вид КО-связи.

6.3.4. Инерционно-релейная координатно-операторная обратная связь

Вновь будем считать параметр 6 € S известным и определим КОсвязь уравнением вида

При замыкании такой обратной связью Ре-объекта i = -2{d-qn)^+'b,i-i-a-qfi

получаем замкнутую систему стг^билизации со следующим уравнением движения:

Из последнего уравнения, в частности, следует, что динамический статизм определяется равенством

и может быть сделан сколь угодно малым путем уменьшения параме­ тра q. При этом статизм неустраним вовсе, ибо значение 9 = О не допускг^ется. Поэтому проекция хода фазовых трг1екторий этой си­ стемы на множество Gs в плоскости (х\,Х2) подобна изображенной на рис. 6.5-

Для пояснения физического эффекта, эксплуатируемого в рассма­ триваемой системе стабилизации, полезно записать алгоритм стаби­ лизации в исходных переменных. Поскольку в скользящем режиме ^ = О, а <Тр = ixi, то и (Т^ = 0. Но « = /xii, и, следовательно,

<Тр = xi-\- dx\ — qfixi = <r — qu = 0.

Таким образом, имеет место равенство и = tr/q, которое означает, что в скользящем режиме исследуемая нелинейная обратная связь эквива­ лентна линейной с коэффициентом усиления 1/q, который может быть сделан сколь угодно большим q —> —О, что и обеспечивает решение за­ дачи стабилизации.

Действительно, в этом случае в исходных переменных система опи­ сывается уравнениями

XI = Х2

Х2 = axi + i(x2 + dxi)

и при g -> о ей отвечает фазовый портрет на рис. 6.9. Таким образом,

• предложенная обратная связь решает поставленную задачу стаби­ лизации сколь угодно точно, но с неустранимым динамическим статизмом.

При этом колебания операторной переменной ^ устраняются полно­ стью (^ = 0), а коэффициент передачи к уменьшается по сравнению с предыдущим законом.

пусть имеется запаздывание г > О в переключениях, т.е. вместо за­ кона (6.15) имеем дело с КО-законом вида

В координатах (g/i — bfi,^) уравнениям (6.15) и (6.19) соответствуют графики на рис. 6.10, откуда немедленно следует оценка |^| < Д(г), что и означает прочность системы, так как Д('') —> О при г -> 0.

Структурная схема синтезированной бинарной системы приведена на рис. 6.11, и для сравнения на рис. 6.12 дана схема, эквивалентная ей при возникновении скользящего режима. Из сравнения рис. 6.7 и 6.11

Н а еЛ

Рис. 6.11

Рис. 6.12

видно, что последняя система стабилизации при тех же возможностях проще в реализации. Следует, однако, позаботиться о дальнейшем ее упрощении и, если это возможно, исключить использование информа­ ции о параметре 6 6 В.