Емельянов С.В. Новые типы обратной связи

Глава 4

Теория координатно-операторной обратной связи

в данной главе на сравнительно простом примере подробно разби­ раются принципы синтеза систем стабилизации с координатно-опера­ торной обратной связью, а также основные свойства и особенности таких систем управления. Для удобства излагаемую далее теорию называем КО-теорией. КО-теория содержит регулярные методы ана­ лиза и синтеза систем управления с КО-регуляторами в структурной схеме, представленной на рис. 4.1, или, что то же самое, методы упра­ вления КО-объектом, изображенным на рис. 4.2.

Особенность и отличие этой теории от классической теории ста­ билизации видны непосредственно из рис. 4.1 и 4.2, прежде всего это принципиальная нелинейность объекта управления Ре-

Следовательно, стандартные методы синтеза обратной связи не­ применимы и нужно искать новые подходы. Продемонстрируем по­ лезность и конструктивность использования для этой цели изложен­ ных в предыдущей главе принципов генерации и бинарности новых типов обратных связей.

4.1. Стабилизация объекта второго порядка с неизвестными параметрами и внешним воздействием

Рассмотрим простейший объект второго порядка Е'':

с неизвестными параметрами а, 6 и возмущением / , удовлетворяю­ щими включениям

аеА = {а\\а\<ао}, Ь е В = {Ь \0 <Ь- <Ь <Ь+},

/ e F * = ' { / | l / l < / m } ,

где числа оо, 6^ и функция / „ известны. Этот объект, называ­ емый далее Е^-системой, позволяет дать содержательный набросок КО-теории, отражающий, практически без изъятий, ее основные по­ ложения и результаты.

В задаче стабилизации Е*"-системы требуется указать робастную гладкую обратную связь по состоянию, стабилизирующую Е^-систему при произвольном изменении параметров а £ А, Ь £ В и любом воз­ мущении f Е F.

Из предшествующего изложения совершенно ясно, что стандарт­ ные подходы к этой задаче не гарантируют ее решения, ибо:

•глубокая обратн£1Я связь неробастна;

•адаптивное управление неприменимо, так как не выполнены основ­ ные условия: квазистационарность параметров и действие исчеза­ ющего возмущения;

•методы СПС ориентированы на использование разрывного упра­ вления, когда робастность не достигается.

При синтезе КО-регулятора будем следовать рекомендациям об­ щей теории систем с новыми типами обратной связи, но прежде ука­ жем два полезных и сильно упрощающих дело нгьблюдения.

4.1.1.Принцип скаляриэации и уравнение объекта в пространстве ошибок

Этот принцип позволяет при естественных условиях и при выполне­ нии МС-условия (т.е. условия согласованности возмущения) свести задачу стабилизации многомерного объекта к задаче стабилизации скалярного объекта.

Действительно, нетрудно убедиться, что выход Е^-системы экспо­ ненциально стремится к нулю (что и означает решение задачи ста­ билизации), если при некотором числе d > О обеспечено выполнение

назовем ошибкой реализации желаемой связи (4.2).

Теперь очевидно, что стабилизация ошибки <т в нуле и будет озна­ чать решение исходной задачи. Но отсюда еще не следует, что задача стала скалярной. Для того чтобы убедиться в этом, перейдем от ис­ ходного пространства координат (xi,X2) к пространству ошибок — координатам (xi, <т). Для этого находим сначала, что

О' = XI -f dx\ = Х2 -f dx2 = axi + bu -|- / -f dx2. Из уравнения a = X2 + dxi выражаем переменную X2:

X2 = <T — dxi.

В уравнениях S''-системы заменяем X2 найденным выражением. В результате получаем искомые уравнения движения в виде

Уравнение (4.3) будем называть далее Ef-системой, а (4.4) — Е^- системой. Из уравнений (4.3), (4.4) видно, что при <г —> О автома­ тически следует, что и xi —* 0. Следовательно, для решения задачи стабилизации можно ограничиться скалярным Ез-уравнением.

Если ввести обозначение

f = f + (a + d^)xr,

то указанными преобразованиями исходная проблема сводится к ста­ билизации скалярного Е2-объекта вида

находящегося под воздействием неизвестного возмущения f Е F, для которого известна только мажоранта

определяет прямую на плоскости (11,12)1 то геометрически принцип скаляризации означает создание выбором управления условий, при ко­ торых прямая (4.6) является аттрактором, т.е. притягивающим ин­ вариантным множеством (рис. 4.3а). В пространстве ошибок этот аттрактор превращается в одну из осей координат (рис. 4.36).

VV JJ

tr W

Рис. 4.3

Сделаем ряд замечаний, касающихся сведения общей задачи ста­ билизации к скалярной задаче и связанных с ней проблем управления скаляризованным объектом Ej вида (4.5).

4.1.2. Н е к о т о р ы е замечания к постановке з а д а ч и и е е о б о б щ е н и я

При скаляризации задачи стабилизации необходимо иметь ввиду сле­ дующее.

Замечание 1. Рассмотрение объекта только с двумя неизвестными параметрами а £ А, b G В

XI = Г2,

Х2 = axi +bu + f

нисколько не огргшичивает общности результата, так как уравнениям про­ извольного объекта с тремя неизвестными параметрами

если только c(t) — решение дифференциального уравнения

2с+020 = 0.

Замечание 2. Принцип скаляризации применим к Тфоизвольным объ­ екта общего положения с одним входом и одним выходом, т.е. к объектам вида

Xn= Yl <»' ^i + W + /. y= ex.

Ы1

Действительно, в дгшном случае достаточно выбрать новую ошибку в виде

п - 1

<г = х„+ /_]<i,- Xi, di = const > О,

и в (n — 1)-м уравнении D-системы заменить х„ на выражение

п - 1

х„ = — У di Xi + <r,

i sl

a вместо последнего ургшнения в Е-системе записать уравнение

п

<т = (dn-i -а„)<т+ ^J"*'^' + " + /•

I S l

в результате получим две подсистемы: Ei-систему (п — 1)-го порядка

Xi = xi+1, «' = 1, ... ,п — 2,

п

х„_1 = — ^ diXi + <т,

i s l

и скалярную Ез-систему

сг = dir + U + f, у = с'х + Спв,

где х' = col («1, ... , i n - i ) , с = (с', с„). При этом, если параметры di таковы, что El-система при <г = О

Xi = Xi+i, • = 1, • •. , п — 2,

п

Х п - 1 = — Х^ diXi i s l

экспоненциально устойчива, то вновь из условия <т -f О следует, что Xi -+ О, что является формгкльным выражением принципа скаляризации.