Емельянов С.В. Новые типы обратной связи

ходимое услс!Ьие работоспособности системы регулирования по нагрузке. Действительно, программное управление и' = Р у' имеет вид

и' = у' +ajv' +aiy,

ипосле подстановки его в уравнение объекта (1.6) получг1ем уравнение

у+ а2У + aiy = y' + ojy' +aiy.

Запишем это уравнение относительно ошибки регулирования е = у' — у. Получаем

ё+ азё + aie = О,

ивидим, если e(t) -¥ О при t -^ оо, то задача стабилизации решена. Но последнее условие и означает асимптотическую устойчивость свободных движений объекта.

Рассмотрим теперь случай, когда объект управления находится на гра­ нице устойчивости ai = О, aj > О, и программное управление реализуется не точно, а с погрешностью е = const, т.е. и = и' + е = е, поскольку и' = Р~^у' = 0. В этом случае выход объекта удовлетворяет дифференци­ альному уравнению у -f- iiy = е, частное решение которого, обусловленное наличием правой части е, неограниченно по времени нарастает по модулю, "уводя" выход объекта от желаемого нуля. Заметим, что этот вывод имеет место и в том случае, когда программное управление реализуется точно, но на входе нейтрального объекта действует постоянная помеха.

Таким образом,

•принцип регулирования по нагрузке имеет ограниченное примене­ ние при синтезе систем управления и может быть применен, во­ обще говоря, лишь в сочетании с другими принципами регулиро­ вания.

Вчастности, в комбинации с принципом регулирования по возму­ щению, к рассмотрению которого мы теперь и перейдем.

1.3.Принцип регулирования по возмущению

Пусть координатное возмущение /, тождественно не равное нулю, приложено к некоторой внутренней точке объекта так, как это по-

Рис. 1.15

казано на рис. 1.15. Пусть, кроме того, z = Piu, v = г + f п

Во-первых, как и ранее, неустойчивые объекты не могут быть застабилизированы таким образом.

Во-вторых, в нетривиальных случаях (т.е. когда Рх ф const) опе­ ратор Р , удовлетворяющий условию компенсации, физически неосу­ ществим. Действительно, из условия компенсации имеем равенство

V = - Р - 1 Рз = - ( P i Рг) - ^ = - Р : ^ ,

а так как оператор Pi моделирует реальный процесс, т о обратный ему оператор Pj"^ физически неосуществим.

В-третьих, условие компенсации дается равенством, и при малей­ шей погрешности Е в правой части соответствующего операторного равенства

PV-^Pi-E

зависимость выхода объекта от возмущения не устраняется, так как в этом случае имеем

y = j / ' - K P P + P 2 ) / = I/'+J5;/,

и если Ej ^ О, то второе слагаемое в этом равенстве может привести к неприемлемому отклонению выхода у от задания г/'. Существен­ ным ограничением этого принципа является также предположение о возможности прямого измерения возмущения / , что на практике вы­ полняется редко.

П р и м е р 2. Прямая компенсация возмущения. Проиллюстрируем возможности и ограничения принципа компенсации по возмущению на объ­ екте из Примера 1. Положим, что в композиции операторов на рис. 1.15

P = PiPu

а передаточные фушащи, соответствующие операторам Р\ и Рг, даются выражениями

« -t- Ai •» -t- Аг

где, естественно,

A i + A 2 = a 2 , A i A 2 = a i .

В пространстве состояний этому операторному описанию объекта упрг1вления соответствует система дифференциальных уравнений

У + АгУ = г + / , iH-Ai« = u

или, что в данном случае удобнее, одно дифференциальное ургшнение вто­ рого порядка

Тогда, следуя изложенному выше принципу регулирования по возмуще­ нию, из условия компенссщии Т> = —РГ' находим передаточную функцию W-o{a) оператора V в виде

VVp(5) = -(e-(-A,),

что (в сочетании с регулированием по нагрузке для получения программной

34 Глава I. Пршщипы построения линейных систем

части и' фушщии упргшления) приводит к структуре системы управления, изображенной на рис. 1.17. Из этой структурной схемы и дифференциаль-

s''+a,s+a,

Рис. 1.17

ного ургшнения (1.8) можно получить соответствующее решение в терминах пространства состояний.

После подстановки в правую часть уравнения (1.8) компенсирующего управления и = ~ ( / + Ai/) движение системы описывается однородным дифференциальным ургшнением

У + а^у + aiy = 0.

Из этого ургшнения, кгж и ргшее, следует, что асимптотическая устой­ чивость объекта — необходимое условие разрешимости задачи в рамках принципа регулировгшия по нагрузке. Но и это ограничение метода далеко не единственное, так как в регуляторе синтезированной системы управле­ ния используются физически неосуществимые операторы с передаточными функциями 3^ +a23+ai и s-f-Ai. Более того, даже если на это закрыть глаза, то все равно построенная система может оказаться неработоспособной, так как она очень чувствительна к малейшему нарушению условия компенсации: u = -(/-f-Ax/).

Допустим, что в реализации передаточной функции оператора V допущена погрешность и вместо W^is) использована передаточная функция

W:,{s) = -{s + Xi + AX),

где ДА — некоторая константа. Тогда ошибка в реализации условия компенсации описывается выражением

Е=-

ДА

«2 + a2S + ai

и может быть сколь угодно малой при малой погрешности ДА. По­ скольку ошибка регулирования в данном случг1е определяется выра­ жением

ТО вновь, как и в Примере 1, убеждаемся, что при ai = О, ог > О даже сколь угодно малое постоянное возмущение / может привести к сколь угодно большому отклонению выхода у от задания у'.

Таким образом,

•возможна лишь приближенная реализация принципа прямой ком­ пенсации. При этом, пожалуй, наиболее существенным его ограни­ чением является необходимость прямого измерения возмущения.

Попытка смягчения этого ограничения предпринята в принципе компенсации с косвенным измерением возмущения. Перейдем к рас­ смотрению этого принципа регулирования.

1.4.Принцип компенсации при косвенном измерении возмуидения

Одна из классических идей косвенного измерения возмущения может быть проиллюстрирована с помощью рис. 1.18.

Pi

Рис. 1.18

Пусть измеряются выход объекта у и его внутренняя координата Z. Тогда в результате преобразования выхода объекта оператором Pj"^ получаем сигнал TJ = Р^^у, который является оценкой сигнала v. Поскольку V = f + Z, а. сигнал z известен, то можно получить оценку возмущения / по формуле и = т) — z.

Речь идет об оценках сигналов г и / в связи с тем, что рассматри­ ваемое звено с оператором Р^^ может иметь собственную динамику, с точностью до которой и следует понимать равенства г} fa v, w fa f. Далее следует применить принцип прямой компенсации и сформиро­ вать управление в виде суммы двух компонент: программной и* и компенсирующей Pw, т.е.

и = и' + Т>и,

где оператор V должен удовлетворять приведенному в предыдущем разделе условию компенсации: V = Pf^.

Этому соответствует структурная схема системы управления, пред­ ставленная на рис. 1.19. Описанному способу компенсации сопут-

Рис. 1.19

ствует принципиальная трудность — в структуре системы управле­ ния появляется контур внутренней положительной обратной связи (на рис. 1.19 он згшггрихован), который по сути является критическим, так как его устойчивость или неустойчивость определяется скрытыми параметрами.

В самом деле, оператор Рц.г этого контура от входа w' к выходу z дается выражением

Pi Pi

l-VPi l-p-^Pi

и, следовательно, возникают проблемы, связанные с делением на ноль. Эти проблемы разрешаются, если принять во внимание скрытые па­ раметры.

Действительно, если Pi — модель реального процесса, то факти­ чески в этом контуре действует оператор Pi = PiQ, где Q — опера­ тор, которым пренебрегли при составлении модели. Но при возник­ ших обстоятельствах этот оператор начинает играть существенную роль, и динамические свойства рассматриваемого контура, по суще­ ству, определяются этим оператором, так как оператор контура от и' к Z имеет вид Pu.z = Pi/(^ — Q)- Иными словами,

•свойства контура предопределяются неконтролируемыми факто­ рами, что неприемлемо. Как правило, это приводит к неустойчи­ вости собственных движений внутреннего контура. Это означает, что сигнал Z неограниченно нарастает, нарушая правильное функ­ ционирование всей системы управления.

В следующем примере подробно разбираются некоторые особенно­ сти описанного явления. Здесь же подчеркнем, что указанная труд­ ность не единственнг1Я. Все проблемы, связанные с использованием принципа прямой компенсации и отмечавшиеся в предыдущих разде­ лах, разумеется, наследуются и рассмотренными в этом разделе си­ стемами компенсации с косвенным измерением возмущения.

Пример 3. Косвенная компенсация возмущения. Для рассмотрен­ ного в Примере 1 объекта проиллюстрируем описанный выше способ компенсгщии возмущения. В соответствии с изложенной теорией для указгшного объекта имеем систему управления, структурнсш схема которой пред­ ставлена на рис. 1.20. Выделим из этой структурной схемы фрагмент с местной положительной обратной связью (рис. 1.21) и более подробно ис­ следуем его свойства. Из рис. 1.21 непосредственно устангшливаем, что

Рис. 1.20

s+Xi -9-

s + Xi

Рис. 1.21

передаточная функция Wu,z{3) от входа и' к выходу z задается равенством

и, следовательно, укаэаннгъя положительнгш обратная связь приводит к эф­ фекту использования в прямом канале бесконечного коэффициента усиления fcoo. Допустим, что в этом контуре вместо оператор» Pi с передаточной

где т = const > О — малый паргинетр. При этом второй множитель моде­ лирует "быструю" динамику оператора Q, не учтенную в исходной модели

s + Xi

Рис. 1.22

объекта. Тогда имеем структурную схему (рис. 1.22) и описывающие ее соотношения в виде

(s + \I){TS + l)z = и, и = и' + (3 + Xi)z.

В результате искомая передаточная фушщия Wu,i{s) от и' к г опреде­ ляется однозначно и дается выражением

1 И^и,х(в) = т«(з +Ai)'

Отсюда следует, что объект находится на границе устойчивости и произ­ вольно малое возмущение его параметров может привести к неустойчиво­ сти. Координата z начнет неогргшиченно нарастать по г1бсолютной вели­ чине, приводя к неограниченному же росту ощибки регулирования.

Теперь проведем исследование Примера 3 при помощи дифферен­ циальных уравнений, а не с использованием структурного или опера­ торного описания, как это было сделано выше. Из структурной схемы системы управления (рис, 1.20) имеем дифференциальные уравнения, описывающие объект управления

Из (1.9) и (1.13) имеем, что rj = f + г,и и = - / , поэтому управление в итоге имеет вид

Если К (1.9) применить дифференциальный оператор d/dt + Ai, то с учетом уравнения (1.10) получг1ем уравнение объекта в виде

y+a2y + aiy = u + f + Ai/,

где, как и ранее, параметры

02 = Ai + Аг, ai = Ai Аз.

После подстановки в это уравнение управления из (114) получаем, что движение системы управления описывается уравнением

у + а2У + aiy = и' -{f + Ai/) + (/ + Ai/) = и'

и не зависит от возмущения. Поскольку (рис. 1.20)

«' = у' + 022/' + o i / и е = J/' - г/,

то уравнение движения в ошибках имеет вид

6 + 026 + 016 = 0, (115)

и если оно устойчиво, то задача стабилизации решена без прямого измерения возмущения / .

Отметим, что если уравнение (112) подставить в уравнение (111),

Значит, собственные движения координаты z при таком управлении не определяются однозначно, т.е. имеет место сокргицение полюса и нуля.

Положим теперь, что вместо оператора Pi в системе действует опе­ ратор Pi = Pi Q и оператору Q отвечает, как и ранее, передаточная функция

W'^(s) = l / ( r s + l ) .

Тогда, как это можно понять из рис. 1.20,1.21, вместо дифференциаль­ ных уравнений (1.9), (110) надлежит рассматривать уравнения вида

Вновь повторяя преобразования, убеждаемся в справедливости урав­ нения (1.15), но вместо соотношения (116) теперь получаем уравнение

TZ + (г + l)i + Aiz = (i + Aiz) + ы' - (^ + Ai??),

которое после приведения подобных принимает вид

гг + гг = и' — (г) + Ai»;).

Отсюда следует, что устойчивость свободных движений переменной Z определяется корнями характеристического полинома

(p[s) = T^s^ + Ts,

который имеет нулевой корень и, следовательно, отражает погранич­ ную ситуацию:

•малого изменения параметров объекта достаточно для возникно­ вения неустойчивого корня, а вместе с ним и неограниченного на­ растания координаты Z.

Этот вывод полностью совпадает с результатом, полученным на основе операторного анализа системы управления. Более тонкий под­ ход к косвенному измерению возмущения с последующей компенса­ цией его влияния на регулируемую координату используется в прин­ ципе двухканальности Петрова.

1.5. Принцип двухканальности

Принцип двухканальности является эвристическим приемом струк­ турного синтеза инвариантных систем автоматического управления или таких систем, в которых регулируемая координата не зависит от неконтролируемого, т.е. не измеряемого непосредственно, внешнего возмущения. Как всякий эвристический прием, принцип двухканаль­ ности не приводит к однозначному решению и не сводится к какойлибо единственной последовательности действий. Однако централь­ ная идея этого приема весьма прозрачна и может быть сформулиро­ вана следующим образом: для достижения независимости регулируе­ мой координаты системы управления от внешнего возмущения необ­ ходимо организовать, как минимум, еще один дополнительный канал влияния этого возмущения на регулируемую координату и "настро­ ить" его таким образом, чтобы в заданной точке системы управления произошла взаимная компенсация компонент сигналов, обусловленных действием возмущения.

К рассматриваемой задаче стабилизации этот принцип построения системы управления с полной компенсацией возмущения можно приме­ нить, например, при следующих обстоятельствах. Пусть компонента Рг оператора объекта Р представлена в виде композиции двух опера­ торов Р^ и Pj'i т.е.

Р2 = Р^'Р^,

причем выходной сигнал z подсистемы с оператором Pj может быть измерен и, кроме того, при необходимости к этому сигналу может быть прибавлен какой-либо внешний сигнал д.