Емельянов С.В. Новые типы обратной связи

Одним из недостатков рассмотренного алгоритма является нали­ чие "биений", сопровождающих режим релейного скольжения, в кото­ ром фунционируют, конечно, все физические системы. Другой недо­ статок связан с трудоемкостью точной цифровой реализации сколь­ зящего режима в реальном времени, поскольку в этом случае можно применять схемы аппроксимации только 1-го порядка, но тогда "ам­ плитуда" отклонения от линии скольжения имеет порядок шага дис­ кретизации Л, т.е.

М~о(л).

Поэтому важно иметь ответ на следующий вопрос:

• существуют ли непрерывные алгоритмы стабилизации, сообщаю­ щие замкнутой системе описанные выше свойства?

Пожалуй, ясно, что в общем случае ответ на этот вопрос отрицателен, но в чгигтных случаях можно указать такие алгоритмы. Оставаясь пока в рамках КО-теории, укажем некоторые из них.

4.2.6. Линейные КО-алгоритмы стабилизации

Рассмотрим ситуацию, когда при стабилизации объекта

^ = 2d^+bn + a

известные параметры а Е^ А,Ь £ В можно считать постоянными. При неизвестном 6 метод асимптотического оценивания неприменим и сле­ дует поискать иные приемы стабилизации. Такие приемы развиты в классической теории регулирования, и они предполагают использо­ вание линейных обратных связей с интегральной компонентой: так называемые ПИ- (пропорционально-интегральные) и ПИД- (пропор­ циональные интегрально-дифференциальные) законы регулирования. По прежде рассмотрим пропорциональные законы.

П - з а к о н ы р е г у л и р о в а н и я . В этом случае fi = —k^, к — const,

замкнутая система управления описывается уравнением

^= -(bife-2d)^-|-a,

ипри выполнении условия

6-fc>2cf

она асимптотически устойчива с положением равновесия в точке

а

4сс = bit - 2d

Фазовый портрет замкнутой системы управления в координатах («1, ^) приведен на рис. 4.15. Точка ^оо на рисунке определяет статизм

системы стабилизации в координатах (xi,f). Рисунку 4.15 соответ­ ствует фазовый портрет в исходных координатах (xi,a:2) (рис. 4.16), где прямая а — (,жХ\ является асимптотой, определяющей доминант-

0

Рис. 4.15

Рис. 4.16

ное движение. Напомним, что анализ проводится при условии \$\ < <J, т.е. в множестве

G<r = {(xi,X2) | H < < J | x i | } ,

поэтому трг1ектории вне d пока на рисунках не указываются.

Таким образом, если |^оо| < <5, то статизм в КО-контуре регули­ рования не нарушает асимптотики системы управления в исходном пространстве, но поскольку асимптота а = ^ooXi не совпадает с тре­ буемым положением <г = О, то появляется отличие в асимптотическом поведении (в степени устойчивости), что может быть интерпретиро­ вано как динамический статизм. Для устранения последнего можно устремить коэффициент А; -> ос, но это эквивалентно введению глубо­ кой обратной связи в КО-контуре, так как « = \ix\ = —к(,х\ = —к<т. Как известно, это ведет к непрочной системе, что не соответствует цели исследования. Поэтому теперь рассмотрим возможности, предо­ ставляемые ПИ-законом регулирования в КО-контуре.

ведены соответствующие им проекции фазовых траекторий на плос­ кость (г1,а;2)-

Результирующий алгоритм стабилизации, отвечающий ПИ-закону

Обратной связи (4.32) отвечает (напомним, что это соответствие имеет место только в пределах множества Gs) структурная схема, представленная на рис. 4.19. Нетрудно понять, что синтезирован-

]

Рис. 4.19

ная система бинарного управления является прочной по отношению к сингулярным возмущениям и, следовательно, основная цель синтеза достигнута:

•описан непрерывный алгоритм управления, обеспечивающий при любом постоянном а € А асимптотическое "движение" по требуе­ мой траектории а = xi + dxi = 0.

Следовательно, эффект малой зависимости движения от фактора не­ определенности достигается не с помощью большого коэффициента усиления или скользящего режима, а, единственно, применением над­ лежащей КО-обратной связи.

4.2.7. Иятегрально-релейный КО-алгоритм стабилизации

Из структуры системы на рис. 4.19 видно, что для реализации ПИзакона в КО-контуре обратной связи необходимо использовать опера­ цию деления, от которой можно избавиться, если вместо интегральной компоненты применять релейно-интегральную компоненту. Именно, исследуем последствия, наступающие при законе

В этом случае поведение замкнутой системы определяется уравнением

При Ь~к2 > d'^,ki > О фазовый портрет уравнения (4.33) образуют отрезки параболических траекторий уравнений

'i + {bk2-d'')i^±bkx,

"сшитых" по линии разрыва ^ = О (рис. 4.20а). Поскольку имеет ме­ сто демпфирование (бАгг — <f^ > 0), то движение по этим траекториям асимптотически стремится к нулю. "Темп" скручивания регулиру­

Рис. 4.20

Структурная схема бинарной системы с такой пропорционгшьной релейно-интегральной КО-связью приведена на рис. 4.21, и видно, что этот регулятор проще в реализации КО-регулятора с ПИ-законом. Отметим, в частности, что при бАгг = d^ система в 0-пространстве {^,i) становится колебательной:

^-l-6*isgn ^ = 0.

И хотя координата ^ т^ О, асимптотическая устойчивость по основ­ ным переменным гарантируется, если |^(0)| < S. Соответствующие этому случаю графики даны на рис. 4.22.

\

Рис. 4.21

X2

0 E'.fVr-.- _ _ з;

Ш

Рис. 4.22

В заключение отметим, что в рассмотренных гладких бинарных системах не наступает финитное (как в СПС) "обнуление" ошибки <г, и поэтому речь можно вести только об асимптотическом устранении зависимости свойств системы от неконтролируемых факторов. Од­ нако при более "хитрых" законах КО-регулирования появляется воз­ можность финитной стабилизации ошибки а в нуле, при этом система имеет определенную степень гладкости.

Более подробное обсуждение этих вопросов составляет предмет следующих тем. Здесь же подчеркнем следующее:

•асимптотической независимости движения в системе управления неопределенным объектом можно добиться без использования глу­ бокой обратной связи или скользящего режима, а только примене­ нием нелинейной обратной связи КО-типа. Это второй практиче­ ский результат КО-теории;

•физическая основа компенсации неопределенности состоит в ис­ пользовании на некоторых этапах движения положительной обрат­ ной связи, которая позволяет управляющему сигналу "нарасти" до величины, достаточной для компенсации неопределенности. Это происходит подобно тому, как описано в главе 2 при решении за­ дачи о воспроизведении задающего воздействия с помощью одного интеграла.

Глава 5 Скользящие режимы высших порядков

Из предыдущего изложения видна та важная роль, которая принад­ лежит скользящему режиму в задачах управления в условиях неопре­ деленности. Достаточно вспомнить релейные системы, системы пе­ ременной структуры, системы с координатно-операторнои обратной связью. Краткое исследование, проведенное в соответствующих раз­ делах монографии, показало, что при определенном сходстве имеется глубокое различие в скользящих режимах, проявляющееся, в част­ ности, под воздействием факторов неопределенности и помех. Бо­ лее детальное исследование показывает, что существует много видов скользящего режима и объединяет их только факт наличия разрывов правой части дифференциальных уравнений, описывающих поведение соответствующих динамических систем. Далее мы дадим содержа­ тельный набросок того раздела общей теории скользящих режимов, который связан со степенью гладкости на рещениях системы функ­ ции, определяющей поверхность разрыва. Степень гладкости решения естественным образом упорядочивает скользящие режимы, и появля­ ется возможность введения нового понятия — порядка скольжения.

5.1.Некоторые предварительные сведения из теории скользящего режима

Изложим некоторые факты из теории скользящих режимов, необхо­ димые для понимания дальнейшего изложения.

Скользящие режимы возникают в разрывных динамических систе­ мах, например в системах управления вида

X = /(х) +6(х)и,

где управление и (обратная связь) терпит разрывы на гладком мно­ гообразии

М = {г € Л" I (т{х) = 0} ,

именно:

подходят с разных сторон многообразия и трансверсально его пересе-

Vo-(x)

/+(х)

Рис. 5.1

кают (рис. 5.1). В таких точках выполнены следующие неравенства:

±(V.T(x),/±(x)>|^(,)=o<0.

Объединение всех таких точек х G М образует множество Msi С М, нгаываемое далее областью скольжения (на рис. 5.1 она выделена).

5.1.1. Уравнения скольжения

Для получения уравнений, описывающих движение в скользящем ре­ жиме (далее они называются уравнениями скольжения), можно ис­ пользовать процедуру Филиппова. Опишем необходимый фрагмент этой процедуры. Соединим прямой концы фазовых векторов f^{x). Всякий вектор fa{x), упирающийся в эту прямую, дается выпуклой комбинацией /„ = а/"*" -|- (1 — oi)f~ фазовых векторов /*(х) . Один из этих векторов принимается за искомый (рис. 5.2). Именно, поскольку