Емельянов С.В. Новые типы обратной связи

8.2.О глобальном поведении бинарной системы

Вданном разделе ответим, наконец, на первый из поставленных в на­ чале этой главы вопросов, а именно на вопрос об уравнениях движе­ ния и свойствах синтезированной бинарной системы при произволь­ ных начальных условиях по х, т.е. в том числе и не принадлежащих

\\\-

Рис. 8.11

множеству Gs (рис. 8.11). Рассмотрим для определенности бинарную систему с К- и КО-связями вида

Если использованы, кроме того, другие типы обратной связи, то со­ ответствующее исследование даже проще предлагаемого.

Из (8.9) следует, что переменные (л и и ограничены:

Ы<1> M<fc|a;i|.

Более того, если действие уравнений (8.9) распространить за пределы множества Gs, а для этого достаточно вместо стандартного

положить

тогда при нахождении фазовой точки вне Gs переменная fx через про­ межуток времени, меньший 2/ki, принимает следующее значение:

После подстановки (8.10) в первое из соотношений (8.9) находим, что управление принимает форму и = —k\xi\sgn(T, совпадающую с обрат­ ной связью СПС. А раз так, то и фазовые траектории те же самые, что в СПС.

Таким образом, если в СПС параметр к выбран так, что имеет место попадание на линию разрыва <г = О, то в бинарной системе это также имеет место, т.е. множество Gs является притягивающим множеством. Необходимым и достаточным условием попадания явля­ ется отсутствие вещественных положительных нулей у характеристи­ ческого полинома системы

XI = Х2,

Х2 = axi — bkxi

при любых фиксированных а Е А, Ь ^ В. Последнее, очевидно, спра­ ведливо, когда

Таким образом, при выполнении условия (8.11) множество Gg при­ тягивающее. Если побеспокоиться о том, чтобы оно было также ин­ вариантным (т.е. все начинающиеся в нем движения не должны поки­ дать его в дальнейшем), то Gs было бы аттрактором и весь ан£1лиз из предшествующих глав без изъятий годился бы для исследования та­ кой ситуации. Но в рассматриваемой бинарной системе (К-|-КО-связи) множество Gs является не аттрактором, а только условно инвариант­ ным множеством. Именно, если внутри Gs можно указать множество, например, той же конфигурации Gs' {О < S' < 5) такое, что движения, начинающиеся в Gs', не покидают Gs, то последнее — условно инва-

Рис. 8.12

риантное множество. Если к тому же оно притягивающее, то говорим об условном аттракторе (рис. 8.12). На рис. 8.12а множество Gs — аттрактор, а на рис. 8.125— условный О^'-аттрактор.

Поскольку прямая «г = О также является притягивающей при вы­ полнении условия (8.11), то именно ее удобно взять в качестве Gs'. Для получения соотношений между коэффициентами системы, гаран­ тирующими (Т-условную инвариантность множества Gs, рассмотрим

/i = -Arisgn({-|-/i|^|), ^1= const.

Ясно, что множество Gg является <т-условно инвариантным, если вся­ кое движение, стартовавшее с линии а = 0 (т.е. при ^ = 0), не достиг­ нет границы Gs (т.е. |^| = J).

Из (8.12) имеем в Gf оценку

\i\<2dS + a° + kb+, a° = a°-d\

поэтому за время t переменная ^ "нарастет" не более чем на величину

\^\<(2dS + a° + kb+)t.

Из требуемого условия |^| < <5 получаем следующую оценку на время "нарастания":

Но рост гарантированно прекратится тогда, когда переменная /i до­ стигает крайнего значения fi = —sgn^ прежде, чем переменная |^| достигнет значения S и, кроме того, будет выполнено неравенство

Максимальное время, необходимое для изменения переменной fi от одного крайнего значения до другого, меньше 2/ki. Поэтому из последнего неравенства и (8.13) получаем следуюпдую окончательную оценку для расчета параметра ki:

где параметр к определяется из (8.14) неравенством

Соотношения (8.15), (8.16) полностью определяют параметры К- и КО-связей, так как (8.16) гарантирует притяжение для прямой <г = 0. Заметим также, что при использовании 0-связи нижнюю оценку ко­ эффициента ki можно уменьшить вдвое.

8.3.Физические основы компенсации неопределенности

Перейдем теперь к ответу на третий вопрос о физических основах компенсации неопределенности.

Прежде всего отметим тот очевидный факт, что всякое возмуще­ ние можно трактовать как некую силу, влияние которой компенсиру­ ется только другой, эквивалентной ей силой. Например, при прямой компенсации возмущения / в управлении

& = da + Ьи-^ f

управление формируется в виде суммы

где компонента uj = —f/b является компенсирующей силой, а компо­ нента Ug — стабилизирующей.

При неизвестном возмущении / можно использовать большой ко­ эффициент усиления в обратной связи и = —кег, тогда в замкнутой системе, описываемой уравнением

г=-(''"^)"-'р

компенсация достигается при к -^ оо, когда приведенное возмущение (f/k) -^ 0. В этом случае компенсирующая сила образуется в резуль­ тате умножения большого к на малый сигнал (т.

Релейное управление

и = —«" sgn or, и° = const

также "силовым" способом подавляет действие возмущения /:

& = d(r — и°Ь sgn <т + f,

которое теперь, однако, должно быть равномерно ограничено:

1/1 < «°.

При этом в нуле переменной <т существует скользящий режим и сред­ нее значение разрывного сигнала с точностью до знака совпадает с компонентой u/ в методе прямой компенсации

и° sgn^ (т = f/b. Таким образом, во всех указанных случаях

•идея силовой компенсации возмущения реализуется с помощью от­ рицательной обратной связи.

258Глава 8. Ограничения, физические основы компенсации

кзадаче стабилизации скалярного объекта Ро:

& = d<r+ Ьи + a,xi + f, а, = а — d^.

Как обычно, при управлении вынужденным движением выберем управление в виде суммы

где компонента Ux стабилизирует свободные колебания объекта Pi:

а = diT + bux + a,xi,

акомпонента и/ стабилизирует вынужденные колебания объекта Pj:

а= buj + /.

Как и ранее, предполагается, что

а G Л, 6 6 5, / € F.

При использовании разрывных управлений из стабилизации Рх и Рг-объектов следует стабилизация Р<,-объекта, В самом деле, разрыв­ ные стабилизирующие управления «,, u/, очевидно, удовлетворяют условиям

Поскольку это так, то и их сумма удовлетворяет аналогичному усло­ вию

(T{da + 6(«, -I- U/) -I- а . ц -f- /) < О, которое эквивалентно неравенству

<Tff<0,

влекущему за собой стабилизацию Р,-объекта в нуле.

Законы управления, разрешающие неравенства (8.18), (8.19) при

Алгоритмы управления (8.20), (8.21) стандартны для теории СПС. При переходе от разрывных алгоритмов стабилизации к непрерыв­

ным можно поступить следующим образом. Используя стандартные

Возьмем теперь формулу (8.24) при синтезе непрерывного закона за основу, но вместо релейного КО-регулятора применим, к примеру,

где к\, как будет видно далее, уже не коэффициент, а некоторая функ­ ция, зависящая от фазового вектора и мажоранты возмущения.

Для нахождения этой функции к\, гарантирующей «т-условную ин­ вариантность множества Gt, т.е. выполнение неравенства |^| < 6, если ^(0) = О, воспользуемся уравнением изменения 0-переменной ^ в множестве Gt. Это уравнение выводится стандартным образом и имеет следующий вид:

Xi Xi

Поскольку, согласно (8.24),

то искомое уравнение окончательно можно записать в виде

Из (8.24) имеем 1/^1 < 1, следовательно, для правой части уравнения (8.26) в Gt верна оценка

l^|<2.,+**(. + iZ«) + .; +/м^

За время t переменная ^ возрастает с нуля (^(0) = 0) не более чем на величину |^тах| {х\ можно считать постоянной, так как движение происходит в Gf, а J и f малы), где

Полученная величина не превысит допустимый предел &, если за время t, согласно (8.22), 0-переменная ц гарантированно примет зна­ чение // = —sgn^. Но это может быть только тогда, когда