Емельянов С.В. Новые типы обратной связи

Но даже при постоянных параметрах и / = О качество переходных про­ цессов может сильно варьироваться с изменением параметров и не соответ­ ствовать предъявляемым к системе требованиям.

Таким образом, может быть сформулирована следующая проблема:

•как добиться независимости свойств замкнутой системы от факто­ ров неопределенности при ограниченных коэффициентах передачи в каналах обратной связи?

4.1.3. Фазовое пространство координата—оператор

Принцип скаляризации тесно связан с новыми типами обратной связи и принципом бинарности. Именно, если переменную <г взять в каче­ стве ошибки КО-контура регулирования и использовать КО-обратную связь, то естественным образом возникает стандартная для теории бинарного управления структура, изображенная на рис. 4.5. При этом

Рис. 4.5

центральными Становятся следующие проблемы выбора: оператора R^, оператора Д^, типа бинарной операции.

Перейдем к решению этих проблем, однако напомним, что при этом важная роль отводится нижеследующим преобразованиям.

Довольно очевидно, что движение в системе

xi = —dxi -f- (Г,

& = d<r + a*xi + bu + f, а* = а — (Р

близко к требуемому, задаваемому уравнением xi = —dxx, и слабо зависит от факторов неопределенности { а , / } , если при достаточно мгшом числе S > Q выполнено следующее неравенство:

\<T\<SW\. (4.14)

Это утверждение довольно ясно также из геометрических пред­ ставлений, так как выполнение условия (4.14) означает, что фазо­ вая траектория не покидает секториального множества d (рис. 4.6), окружающего прямую (т = 0. Поэтому целью управления может быть

<T=S\x^\

q=.S\x^\

<T=-J| Xjl

Рис. 4.6

приведение и удержание фазовой точки в GgДля анализа движения и синтеза управления в множестве Gs = {х \ \сг\ < S\xi\} удобно ис­ пользовать нелинейную замену координат ^ = (T/XI. Геометрический смысл указанной замены поясняет рис. 4.7, откуда следует, что ^ опре­ деляет наклон прямой (т = ^xi. Поэтому ^ можно считать параметром

<т=4х

Рис. 4.7

или, более общо, операторной переменной, если воспользоваться сле­ дующими соотношениями. Переменные <7 и xi связаны дифференци­ альным оператором ir(d/dt):

(т ^ xi -\- dx\ = dt •¥d xi ='Шх\.

Аналогичную связь можно установить между переменными а^ и xi:

4.2.1. Прямая компенсация

Вуравнении (4.15) параметр d^ можно интерпретировать как извест­ ное возмущение, и при известном параметре 6 с помощью прямой ком­ пенсации

влияние этого "возмущения" устраняется, ибо i=2d^ + bfii + а.

Если же параметр 6 неизвестен, то прямая компенсация в "лоб" не проходит, но ее можно успешно сочетать с идентификацией параме­ тров. Об этом скажем чуть позже, а сейчас заметим, что управлению (4.16) в исходных переменных отвечает обратная связь вида

d^

и = ЦХ1 = 1Л1Х1 + -7-Xi,

имеющая бинарную и линейную составляющие.

Заметим, что если параметр а тоже известен, то необходимости в бинарной компоненте не возникает.

4.2.2.Асимптотическое оценивание или косвенное измерение О-воэмущения

Рассмотрим вариант задачи стабилизации объекта ^

когда параметры а, Ь фиксированы, 6 известен, а — любой элемент из А. Для получения оценки а неизвестного параметра а используем наблюдатель

После вычитания (4.17) из (4.18) и введения обозначений

е = (р —^, а z=a — а

сучетом того, что параметр о фиксирован, т.е.

а= 0,

получим уравнения наблюдателя относительно ошибок (е, а)

'Здесь и далее для простоты вместо а' = а — tfi пишем а, полагая, что компо­ нента d? уже скомпенсирована.

и является гурвицевым при выполнении неравенств Агг > О, fci > 2d. Поэтому оценка а асимптотически (экспоненциально) сходится к чи­ слу а. Если теперь управление ц сформировать в виде

то произойдет асимптотическая компенсация возмущения а, так как

^ = 2d^ + bni + a- о,

и, следовательно, а — а —> 0.

Таким образом, при выборе управления ^i достаточно иметь дело со свободным движением объекта:

i= 2d^ + bfix.

Висходных переменных алгоритму управления (4.20) соответствует алгоритм вида

•описанный способ асимптотического оценивания постоянного воз­ мущения а реализует стандартную процедуру адаптивного упра­ вления.

но неизвестно начальное условие а(0), что делает возмущение а неиз­ вестным.

следует по уравнениям (4.21), (4.22) составить уравнения наблюда­ теля, вырабатывающего асимптотическую оценку а возмущения а. Такой наблюдатель строится стандартным образом и имеет вид

а = —ра - г — к2(<р - <).

После почленного вычитания (4.21) и (4.22) из (4.23) и перехода к ошибкам оценивания

е = (fi — ^, а = а — а

уравнения наблюдателя принимают вид

е = ( 2 ^ - Ы е + а, а = —ра — «ге.

Характеристический полином системы (4.24) дается выражением

= s^ + (p + ki2d)s + к2+ p{ki - 2d) = О,

и ясно, что наблюдатель экспоненциально устойчив, когда

ki>2d-p, k2>p{ki-2d).

Последнее условие легко выполнить, и, следовательно, наблюдатель (4.24) дает асимптотическую оценку

~ ехр

а—^а.

В силу полученной асимптотической оценки управление

а

peuieieT задачу компенсации переменного возмущения a(t) и сводит исходную задачу стг^билизации к тривиальной задаче стабилизации объекта

^ = 2de + 6^i.

Отметим, что аналогичный результат невозможно получить, дей­ ствуя в рамках стандартной концепции адаптивного управления.

4.2.4. Релейная К О-стабилизация

При отсутствии волновой модели 0-возмущения, но при известной ма­ жоранте а°, т.е. такой функции или постоянной, что

\a{t)\<a°,

для стабилизации объекта

возможно применение разрывной, в частности, при а° = const, релей­ ной обратной связи

И = - * s g n ^ .

существует окрестность, в которой нуль уравнения (4.25) асимптоти­ чески устойчив.

Представление о качественном поведении решений уравнения

можно получить из рис. 4.9а, изображающего многообразие решений уравнения (4.26), или рис. 4.96, на котором показан ход фазовых тра­ екторий в КО-пространстве (iCi,^). Скользящий режим в релейной

J

к+а 1

Скользящий режим ' ~

^

-S О

-к+а

Рис. 4.9

системе не является прочным и "размывается" до реального скользя­ щего режима при введении пространственной задержки Д или малого запаздывания в переключения, т.е. если вместо (4.26) мы имеем дело с уравнениями вида