Емельянов С.В. Новые типы обратной связи

шар вырождается в точку О, как это и должно быть. Шар диссипативности jBr(O) можно уменьшить, а значит, поднять точность стабилиза­ ции, введением надлежащих О- и ОК-связей. Подробное обоснование этого утверждения здесь не приводится.

Структурная схема синтезированной бинарной системы стгкбилизации вынужденного движения для случая, когда возмущение измеря­ ется, приведена на рис. 8.14. Завершг1я обсуждение данной темы, от-

Рис. 8.14

метим, что задачу стабилизации вынужденного движения можно ре­ шать и при отсутствии информации о мажоранте координатного воз­ мущения ftf и даже при нарушении МС-условия. В этом случае ком­ пенсация достигается сочетанием использования косвенной оценки возмущения через внутренние переменные объекта и знакоперемен­ ной обратной связи.

структуре дифференциатора часть, которая отвечает за собственно дифференцирование сигнала, от части, предназначенной для форми­ рования оценки производной. Последняя операция реализуется с по­ мощью некоторого фильтра Fouti и указанное разделение функций ил­ люстрирует рис. 9.4. Таким образом, не только дифференцируемый

'^out

Рис. 9.4

сигнал, но и полученная производная должны, вообще говоря, подвер­ гаться дополнительной обработке, с тем чтобы сделать задачу разре­ шимой, а оценку производной приемлемой, т.е. фактически подлежат синтезу операторы фильтров Fim^out и оператор дифференциатора D (рис. 9.5). Выбор фильтров зависит от многих обстоятельств, не

rout

Рис. 9.5

связанных напрямую с операцией "чистого дифференцирования" (на­ пример, от спектрального состава помехи, от наличия амплитудных ограничений и т.п.). Именно это делает декомпозицию оператора при­ ближенного дифференцирования на рис. 9.5 полезной.

Далее, полагаем, что сигнал g{t) "хорош" и поэтому можно поло­ жить Fin = 1-

9.1.1. Фильтрация

Фильтрация — операция выделения полезного сигнала из смеси сиг­ налов. Поскольку такое выделение неоднозначно, то для сравнения вариантов разделения вводят показатель качества или критерий филь­ трации. Экстремизация этого критерия дает оптимальный фильтр.

Для успешного разделения необходима априорная информация о полезном сигнале и помехе. Часто такой информацией служат дина­ мические системы, порождающие эти сигналы, иначе говоря, волно­ вые модели сигнала и помехи. В подобных случаях проблема филь­ трации может быть сведена к некоторой задаче дифференцирования. В то же время проблему дифференцирования всегда можно тракто­ вать как проблему фильтрации, т.е. между этими проблемами много общего, но они не тождественны.

Дело даже не столько в том, что задача фильтрации обычно рас­ сматривается в стохастической постановке, а задача дифференциро­ вания — в детерминированной. Основное различие сводится к тому, что обычно для решения задачи дифференцирования требуется мень­ ший объем априорной информации, нежели объем, необходимый для решения задачи фильтрации.

9.1.2. RC-цепочка

Вприложениях и по сей день для приближенного дифференцирования используются простейшие дифференциаторы, реализуемые на пассив­ ных электроцепях. Наиболее известным дифференциатором этого типа является ЛС-цепочка (рис. 9.6). Здесь д — входное напряже-

г-И^

9 -' Оi ] \\R

Рис. 9.6

ние, у — выходное напряжение, i — сила тока, R и с — параметры цепочки, сопротивление и емкость соответственно. По закону Ома

Дифференцируя это выражение и исключая силу тока i, получаем дифференциальное уравнение

где Г = КС — постоянная времени дифференцирования. Общее ре­ шение уравнения (9.4) имеет вид

У= е-^/^у{0)+Тд{1-е-*/^).

Исследуем дифференцирующие свойства ДС-цепочки, рассматри­ вая лишь вынужденную компоненту (у(0) = 0) решения (выхода), так как свободное движение экспоненциально затухает. Пусть сначала

д = const.

В этом случае из уравнения

у = Т у ( 1 - е - ' / ^ )

видно, что у -^Тд при f -> оо, причем с уменьшением Т "темп" сходи­ мости возрастает, но одновременно уменьшается коэффициент перед производной (рис. 9.7, где 7i > Тг). Таким образом, ДС-цепочка осу-

Рис. 9.7

ществляет дифференцирование с точностью до переходного процесса, который, однако, неустраним.

Пусть теперь g{t) — гармонический сигнал, т.е.

</(<) = е^"',

где О, — частота, j — мнимая единица. Тогда вынужденное решение уравнения

где А — амплитуда, а у> — фаза выходного сигнала ДС-цепочки. Под­ ставляя (9.6) в (9.5), получаем соотношение

(jfi + l/r)Ae^*' = j n .

Из этого равенства находим выражение для амплитуды и фазы:

Поскольку "чистая" производная дается выражением

то величины П—Л, itl2—ip уместно назвать искажениями по амплитуде и фазе соответственно.

П -> О, т.е. при дифференцировании постоянного сигнала. При нали­ чии помехи, т.е. когда дифференцируется сигнал g{t) = е^^* + ее-''^*, где частота помехи w 3> П, а амплитуда е <^\, выход ЛС-цепочки при у(0) = О можно представить в виде суммы у — I/n(0 + !/w(Oi где первая компонента — оценка производной полезного сигнала, а уо, — оценка производной помехи. Поскольку для компоненты УшЩ справедливы приводившиеся выше формулы (9.5), (9.6) и связанные с ними, то вно­ симый ею дополнительный вклад в погрешность дифференцирования определяется ее амплитудой А^ и фазой ^ш'-

Из выражений для амплитуды и фазы следует, что для устранения вредного влияния помехи следует увеличивать постоянную времени ДС-цепочки, но тогда возрастают фазовые искажения в полезной со­ ставляющей. Поэтому здесь возможен компромисс. Лучший выход, однако, может состоять в поиске таких схем дифференцирования, в которых имеется несколько свободных параметров, позволяющих не­ зависимо решать задачу "фильтрации" помехи и уменьшения ампли­ тудных и фазовых искажений.

Перейдем к рассмотрению подобных схем дифференцирования, но прежде заметим, что передаточная функция ЛС-цепочки имеет вид

s+l/T'

который нетрудно установить по ее дифференциальному уравнению

1

Такой передаточной функции соответствует упрощенная струк­ турная схема на рис. 9.11, которую можно развернуть в виде системы, представленной на рис. 9.12, где z — выход следящей системы, е — ее

ошибка, в схемах всего один настраиваемый параметр Т, что и пре­ допределяет их возможности. Если вместо тождественного преобра­ зования в прямом канале использовать иные законы обратной связи, то можно рассчитывать на получение лучших дифференциаторов.

9.1.3. Дискретно-разностные аппроксимации

Кулучшенным методам дифференцирования относятся методы, осно­ ванные на использовании дискретных разностей различных порядков дифференцируемой функции. Например, оценкой производной функ­ ции g{t) может служить разность

где h = const > 0. Заметим, что для линейных функций эта оценка (9.7) производной совпадает с ее точным значением. В общем случае имеет место равенство

g{t) = g{t -h)+ g{t) h + g{t + dh) —,

где d — некоторое число из интервала [0,1], и, следовательно, оценка (9.7) имеет погрешность порядка О(Л^).

Использование дискретных значений в (г + 1)-й точке для форми­ рования оценки

г

к=0

при надлежащем выборе параметров а* позволяет повысить точность аппроксимации до 0{h^). Кажется, что устремлением Л —> О задача дифференцирования исчерпывается. Однако это не так и при наличии помехи возникают проблемы, родственные описанным в предыдущем пункте. Именно, пусть вместо g{t) дифференцируется по схеме (9.7) сигнал де = g(t) + е sin uit, тогда оценка его производной д^ дг1ется выражением

Следовательно, помеха вносит в оценку (9.8) дополнительную и, вообще говоря, сколь угодно большую погрешность

д^ °i д — ей {sin ut + cos ut),

неустранимую при уменьшении Л —> 0.