Емельянов С.В. Новые типы обратной связи
.pdf6.3. Статическая операторная обратная связь |
221 |
6.3.5. Инерционно-релейная координатно-операторная обратная связь
при неизвестном параметре при упрхшлении
Вэтом пункте для стабилизации Ре-объекта (6.8)
^= 2(d-g/i)^ + b/i-|-a-g/i, b = b + 2qd
аеА, |
be В, |
|
|
применяется инерционно-релейная КО-связь вида |
|
||
qfi — b~fi = ksgn^, |
к = const > О, |
(6.20) |
|
b- =b- |
+ 2qd, |
||
|
|||
которая может быть использована и тогда, когда значение параме тра 6 неизвестно. Отметим, что допускаются изменения неизвестных параметров а, 6 во времени произвольным образом. Структура ре гулятора (6.20) совпадает со структурой регулятора на рис.6.8 при замене 6 на 6~.
Подстановка (6.20) в (6.8) дает уравнение замкнутой системы в
следующем виде: |
|
i = 2{d- qn)i + (6 - b-)ii -ksgni + a. |
(6.21) |
Поскольку и в этом случае переменная ц равномерно ограничена (при g < 0), то, очевидно, существует такое число а", что при fc > а° в точке ^ = О возникает скользящий режим.
В скользящем режиме можно считать выполненными равенства
^ = 0, ^ = 0,
тогда из уравнения (6.21) эквивалентное значение разрывного сигнала определяется в виде
^sgneq^ = a - | - (6 - 6")/j .
После подстановки этого значения в уравнение регулятора (6.20) находим уравнение движения операторной переменной /i в скользящем режиме
g/i-6/i = a, |
(6.22) |
которое в точности совпадает с уравнением скольжения для перемен ной /* из предыдущего пункта. Поэтому верны все сделанные ранее выводы и, в частности, о том, что уравнение скольжения по основной переменной после окончания переходного процесса уравнения (6.22) дается выражением
XI = -{d + qa/b)xi.
Следовательно,
•и в этом случае имеет место неустранимый (хотя и сколь угодно малый при q —> —0) динамический статизм.
222 |
Глава 6. Теория операторной обратной связи |
Сохраняются также все замечания и о прочности системы управления, и о физическом смысле эффекта компенсации возмущений а, Ь.
Ход проекций фазовых траекторий на множество Gt в плоскости {xi,X2) показан на рис. 6.5, а для получения структуры системы до статочно в схеме на рис. 6.11 заменить параметр 6 на 6~ и добавить двойную стрелку J^ 6 € В, действующую на объект Р и отражающую влияние фактора неопределенности.
Достоинство регулятора (6.20) состоит в том, что он эффективно действует при любых неизвестных параметрах а^ А,Ь ^ В.
6.3.6. Интегрально-релейная координатно-операторная обратная связь
Максимально возможное упрощение системы управления достигается при использовании интегрально-релейного закона
g/i = Jk8gn^. |
(6.23) |
В этом случае замкнутая система управления описывается (6.23) и уравнением
^ = 2((f-?/i)^-|-6/i-»-a-Jtsgn^, b = h-{-2qd. |
(6.24) |
При возникновении скользящего режима можно считать выполнен ными в надлежащем смысле равенства
а поэтому эквивалентное значение разрывного сигнала имеет следую щее значение:
После его подстановки в уравнение регулятора (6.23) находим точные и асимптотические уравнения скольжения для переменных /i и zi в виде известных уже из предыдущего выражений
qii-bn = a, |
xi = -{d-qn)xi- |
(d + qa/b) xf, |
|
tioo=-a/b, |
xi = |
-{d+qa/b)xi. |
|
Поэтому справедливы все выводы, сделанные в пунктах 6.3.4 и 6.3.5. Единственная трудность в проведенном рассуждении состоит в том, что факт возникновения скользящего режима в точке ( = О не просто усмотреть из уравнений замкнутой системы (6.23), (6.24). По скольку нас интересует анализ в малом, то этот вопрос^можно иссле
довать с помощью функции Ляпунова вида
« = ( 1 / 2 ) ^ |
(6.25) |
6.3. Статическая операторная обратная связь |
223 |
Действительно, полагая для простоты, что параметры а,Ь = const, после дифференцирования функции (6.25) в силу уравнений движения (6.23), (6.24) находим
v = i = ^[2(d- qn)i + bfi + a- |
asgn^] = |
|
|
|
(6.26) |
= 2{d-qfi)e-\^\[d-(b(i |
+ |
^)4t^a |
Далее заметим, что в положении равновесия
^ = О, 1/1 + 0 = 0,
поэтому в его окрестности в (6.26) доминирует член —d|^|. Следова тельно, существует число 7 > О такое, что
11 < -7lf I = -7\/2и = -7*>А.
Решая последнее дифференциальное неравенство, находим оценку
из которой следует, что в некоторой окрестности положения равнове сия скользящий режим всегда возникает через конечное время, что и требовалось доказать.
Структурная схема синтезированной бинарной системы управле ния представлена на рис. 6.13. Пожалуй, она наиболее простая из всех рассмотренных ранее, причем основные стабилизирующие свойства сохраняются.
•+d |
|
P-,—, |
г- |
||
X. |
<r „ |
J |
- |
J |
1 |
' |
|||||
|
|
• |
-1 |
' -i> |
|
|
sgn |
|
|
|
_ I |
|
— i ^ — |
|
|
|
M |
|
|
|
|
q (Ч |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
b |
,; [ , |
|
|
|
|
и |
||
Xi
¥ sA
Рис. 6.13
224 |
Глава 6. Теория операторной обратной связи |
Проведенное исследование показало, что с помощью 0-связи можно значительно повысить качество переходных процессов бинарной си стемы управления, в частности:
•устранить колебательность фазового вектора в множестве Gs;
•повысить прочность системы управления путем уменьшения ко эффициентов передачи в главном канале и, более того, вовсе отка заться от использования в КО-законах демпфирующей компоненты
м = -Ы;
•понизить размерность замкнутой системы на 2 порядка, напри мер с 3-го до 1-го (при сочетании с динамической разрывной КОсвязью);
•сколь угодно точно достигнуть (правда, в ущерб прочности) тре буемого качества переходных процессов.
При этом статическую 0-связь неизбежно сопровождает статизм (ди намический статизм в основных переменных), что, впрочем, есте ственно для любой статической обратной связи. Вопрос об исполь зовании динамической 0-связи здесь не затрагивается. В следующей главе используем ОК-связь для устранения указанного статизма.
226Глава 7. Теория операторно-координатной обратной связи
Вкотором число роо определяет динамический статизм
Роо = -qa/kb, 6 = 6 - 2qd,
отклоняющий это предельное движение от эталонного движения, за данного уравнением xi = ~dxi (рис. 7.2).
аеА,ЬеВ
Рис. 7.1
Рис. 7.2
Статизм можно устранить устремлением Аг -> оо, но это понижает прочность системы управления. Можно, напротив, устремить пара метр ? -> О, что не исключается, но в пределе (т.е. при g = 0) 0-связь размыкается, а без этого для достижения аналогичного качества пе реходного процесса нужно увеличивать коэффициенты усиления либо согласиться на колебания фазового вектора относительно многообра зия <т = 0.
7.3. Статический ОК-регулятор |
229 |
аналогично распорядимся выбором бинарной операции в ОК-контуре:
где, как принято выше, /х и »/ — операторные переменные. При таком выборе уравнение (7.1) принимг1ет следующий вид:
i = 2df^ + 2dp + p + a + b(fi + r)), |
(7.2) |
где ц и Г) можно рг1ссматривать в качестве управлений. Сохраняя преемственность, положим 0-связь статической:
р = —qfi, q = const,
а воздействие на параметр 5е-задатчика — адаптивным: dp = d + р.
Тогда при интегрально-релейном КО-регуляторе
qfi = kisgn^, |
Ari = const, |
уравнение изменения операторной ошибки ^ (7.2) примет вид
i = 2{d-q(i)^ + bii-kisgn^ |
+ a + bT}, b = b-2qd. |
(7.3) |
Уравнение (7.3), дополненное уравнением изменения основной пе ременной
ii = -{d + p)xi+^xi, |
(7.4) |
и уравнение ОК-регулятора
т] = R^y, |
(7.5) |
где ОК-ошибка регулирования |
|
i/ = df,-d = p, |
(7.6) |
я R,, — оператор ОК-регулятора, описывают в множестве Gg замкну тую систему регулирования с четырьмя типами обратной связи. По скольку
i> = ^ = - * i s g n ^ , |
(7.7) |
то нужно позаботиться о надлежащем выборе оператора Д,,, гаран тирующего стабилизацию ошибки i/ в нуле. Ргьссмотрим некоторые варианты.
7.3. Статический ОК-регулятор
Пусть оператор R,j в (7.5) является простейшим линейным операто ром, т.е. т] = k^v- Тогда надлежит исследовать на устойчивость следу ющую систему уравнений, для удобства обозначаемую символом Е*^:
i = 2(d- qn)i + bn-ki sgn^ -|- kibu + a, |
(7.8) |
i> = - *isgn^ . |
(7.9) |
230 |
Глава 7. Теория операторно-координатной обратной связи |
Поскольку и = р, р= —9А«, то после введения обозначения
6* = (1 - 9*2)6 - 2qd,
эту систему можно переписать в более удобном виде
^ = 2(d - qfi)^ + ЬУ - ki sgn^ + а, i>= -kisgn^.
Уравнения, подобные уравнению (7.8) Е'-системы, подробно иссле довались в главах 4, б, поэтому можно утверждать, что при выполне нии неравенства fci > а° в точке ^ = О возникает скользящий режим. Поскольку при этом, кроме того, в определенном смысле ^ = О, то эквивалентное значение разрывного сигнала определяется следующим выражением:
*isgneq^ = 6*/i + a.
После подстановки этого выражения в уравнение (7.9) Е'^-системы находим уравнение изменения 0-ошибки i/ в виде i> = —b*fi — a. В силу того, что и = р= —qf^, окончательно имеем уравнение для ошибки i/:
й = —и-а. |
<7.10) |
Я |
|
Поскольку b*/q < О, то уравнение (7.10) асимптотически устойчиво и имеет положение равновесия в точке
j/<« = | ^ , b' = |
(l-qk2)b-2qd. |
Следовательно,
•статическая ОК-связь не устраняет динамический статизм, а лишь несколько уменьшает его величину по сравнению с рассмотрен ными выше системами управления.
Действительно, например, в системе со статической 0-связью вели чина статизма давалась выражением
Роо = qa/b, 6 = 6 — 2qd,
но так как 6* > 6, то очевидно имеем требуемое I/QO < Роо • Увеличением ^2 —> оо можно устранить статизм I/QO, НО при этом
будет нанесен ущерб прочности системы. Действительно, в этом слу чае вторая компонента управления линейно связана с основным упра^ влением
V = r]Xi = k2i^xi = —qk-iliXi = —qki^
и полное управление и' = и -\- v также пропорционгшьно основному управлению
u' = {\-qk2)u. |
(7.11) |