Емельянов С.В. Новые типы обратной связи
.pdf9.2. Следящие дифференцирующие системы |
281 |
В скользящем режиме е = О, т.е. z = д, среднее значение сигнала у определяется выражением
и, следовательно, на выходе инерционного фильтра имеем оценку про изводной Xf (<), подобную установленной в предыдущем пункте. Именно
.гШ
г(0)
'9Н)
5(0) |
^^PN |
СКОЛЬЗЯЩИЙ |
r*;J |
режим |
\
0
Рис. 9.29
при аналогичном предположении |^| < М и при идегшьных переключе ниях справедлива оценка
I =^f(О - т \<ТМ+{у\ д{0) \ + ТМ) е-*/^.
При наличии пространственной задержки Д > О в переключениях имеем реальный скользящий режим (рис. 9.30). Точность дифферен-
zit)
|
|
/ . 9(t) |
9(0) |
'" |
Реальный скользящий |
|
||
г(0) |
|
режим |
0 |
|
( |
Рис. 9.30
цирования в реальном скользящем режиме характеризуется оценкой
2А |
(7И0)| + Г М + ^ ) ,-tlT |
|
282 |
Глава 9. Дифференцирование сигналов |
Несмотря на то что класс допустимых сигналов теперь включает экспоненты, принципиальных изменений не произошло.
•По-прежнему трудно разрешим компромисс между инерционно стью фильтра и его фильтрующими свойствами в режиме реаль ного скольжения. Кроме того, при несовпадающих знаках д{0) и z(0) дифференциатор неработоспособен.
Вследствие этого использование его для дифференцирования синусо идальных сигналов неэффективно.
Для преодоления указанных трудностей можно в замкнутом кон туре управления применить сочетание релейного (линейного) и СПСрегуляторов. Структурная схема системы приведена на рис. 9.31. В
Ф- э.
-^ |
\|/ |
•^ |
Ts+1 |
|
|
|
Рис. 9.31
этом случг^е уравнение замкнутого контура имеет вид
e = -{k3\z\ + k2)sgn |
e-kie+g |
и класс дифференцируемых сигналов удовлетворяет условию
\д\ < к2 + кз\д\, ^ь^г.^з = const > 0.
Все остальные события разворачиваются описанным выше образом. Указанные трудности преодолеваются, однако проблема точности дифференцирования остается и для ее разрешения нужны иные схемы. Другие подходы требуются и для реализации повторного дифферен цирования, так как производная х разрывна и возникает необходи мость в дополнительном фильтре либо ином принципе построения
дифференциатора.
9.3. Следящий асимптотический бинарный дифференциатор |
283 |
9.3.Следящий асимптотический бинарный дифференциатор
Структура бинарного дифференциатора изображена на рис. 9.32, где не определен пока вид КО-регулятора Д^. Регулятор R^ должен вы бираться так, чтобы при гладкости выходного сигнала у, что устра няет необходимость использования выходного фильтра Fout и создает
9 Г^ "' Т М
•49 • Kj
1
S
Рис. 9.32
предпосылки для повторного дифференцирования, обеспечить, кроме того, прочность системы дифференцирования.
Уравнения бинарного дифференциатора таковы:
е = д- Z, |
ц = R^e, |
у = kafiz, z = у. |
(9.27) |
Пусть сигнал д удовлетворяет условию д ^Т, где |
|
||
Г = { « / I |д|<7|</1. |
7 = c o n s t > 0 } . |
|
|
При дальнейшем исследовании удобно использовать 0-переменные |
|||
i |
= е/</, |
а = д/д. |
(9.28) |
Теперь стабилизацию ошибки е в нуле можно заменить стабилизацией функции ^ в нуле, при этом а будет выступать в роли равномерно ограниченного возмущения (|а| < 7)- При получении уравнения дви жения замкнутого контура относительно 0-ошибки ^ сначаша имеем из (9.27) и (9.28)
^ _ ё |
ёд _д-у |
сЗ - ( \ |
t)^ |
^3/iz |
_ |
= ( i - 0 ^ - * 3 / i ( i - 0
или после замены д/д из (9.28) получаем искомое уравнение
^ = ( l - 0 ( a - * 3 ^ i ) , | а | < 7 - |
(9.29) |
284 |
.. |
Глава 9. Диффереицироваине сигналов |
Если а — неизвестная функция, то стабилизацию в малом ошибки ^ в нуле гарантирует при кз> f разрывной закон
|
fi = sgn^. |
(9.30) |
При идеальных переключениях этот закон приводит к дифферен |
||
циатору переменной структуры, так как в этом случае |
|
|
/* = 8gn -е |
= sgn е sgn д — sgn е sgn z |
|
9 |
|
|
и далее |
кзг(л = fcaklsgne, |
|
у = |
|
|
а это и есть выход СПС дифференциатора.
При неидеальных переключениях, например, при пространствен ной задержке Д, имеем |^| < Д и, значит,
|е| < А\д\,
а не |е| < Д, как в СПС-дифференциаторе. Последнее означает, что
•при дифференцировании малых сигналов рассматриваемый бинар ный дифференциатор предпочтительнее СПС-дифференциатора.
Тем не менее релейный КО-регулятор ведет к разрывному выходному сигналу у и, как следствие, к необходимости использования выходного сглаживающего фильтра. Это не соответствует заявленным целям. Поэтому рассмотрим теперь интегрально-релейный КО-закон
/i = |
fc2Sgn[€-|-/i|^|], |
(9.31) |
который вместе с уравнением (9.29) задает подлежащую анализу за мкнутую систему.
Поскольку рассматривается стабилизация в мелом (|^|<^,<5<?С1), то заменой переменного
получаем эквивалентную задачу стабилизации |
Ef-системы |
||
ф = а — кзц, |
|
|
|
L |
г |
. .1 |
(9-32) |
ft =-k2Sgn |
[v + |
/^lvlj- |
|
Но это стандартная система, подробное исследование которой про водилось в КО'Теории (глава 4). Опираясь на установленные в КОтеории результаты, заключаем, что Е^-система при d = const диссипативна (рис. 9.33) и, следовательно, такой дифференциатор не дает асимптотически точного дифференцирования. Указанную трудность можно преодолеть двумя путями.
9.3. Следящий асимптотический бинарный дифференциатор |
285 |
Первый путь состоит в использовании линейного интегрально-ре лейного КО-регулятора
(9.33)
>^1=Ы, /i2 = *2Sgn [^ + А*2|^|].
Теперь, по описанной выше схеме, получаем уравнения замкнутой Е^- системы
ф = |
а-кзк1(р-кз^12, |
(9.34) |
fi = k2SgTL[ip + li2\'P\]- |
(9.35) |
|
Дифференцируя по t уравнение (9.34) и подставляя в результат ыг из (9.35), получаем при |;i| < 1 уравнение
(р + кзк1ф + кзк2sgn <р = а. |
(9.36) |
При кз к2 > sup \а\ это уравнение имеет нуль г1симптотически устой-
чивым положением равновесия. Следовательно, 0-переменная ^ —> О при < —> оо и, значит, исходная ошибка слежения е убывает.
Рис. 9.33
По доказанному выше е -»^ О при t -)• оо, значит, z -^ д при t -»^ оо,
а поэтому в силу гладкости z -^ |
д. Но |
|
Z =z и = у + |
kie, |
|
откуда и следует требуемое |
|
|
g(t) - y{t) |
- ^ 0 , |
f -> оо. |
На рис. 9.34 изображена структурная схема бинарного дифференциа тора с линейным интегрально-релейным законом стабилизации.
Второй путь достижения асимптотической точности дифференци рования основан на использовании инерционно-релейного КО-регуля тора (здесь уже проведена замена ^(^))
ii-\-k2fi = Аг2 sgn V- |
(9.37) |
286 |
Глава 9. Дифференцирование |
сигн&лов |
Это уравнение вместе с уравнением 0-объекта
ф = а — кзц
определяют замкнутую ^'^-скстещ.
Структурная схема бинарного дифференциатора с инерционно-ре лейным регулятором приведена на рис. 9.35. Для анализа устойчиво-
КИ
9 -».*
о 1^ =п
:;т М2
-й- к
-®
Рис. 9.34
9
"ЕЯ |
• |
»з |
" |
1
S
Рис. 9.35
СТИ замкнутого контура S3-системы продифференцируем по t уравне ние ^ = a—kafi, подставим в него /i из (9.37), а в полученном уравнении