Емельянов С.В. Новые типы обратной связи
.pdf2.3. Стабилизация регулятором переменной структуры |
111 |
характеристического полинома замкнутой системы |
|
a(s)S'(s)s'"+^-\-k'y{s) |
(2.46) |
требуется выполнение неравенства deg f{8) > m + 1. Если полином (2.46) гурвицев, то система слежения без ошибки воспроизводит по линомиальный сигнал (2.45), и тогда говорят, что регулятор
R{8) |
fis) |
(2.47) |
|
'+1 S'{s) |
|||
|
|
обеспечивает астатизм (m + 1)-го порядка. Заметим, что, в силу из вестного разложения экспоненты
»а« = Е{atrг!
т=0
задачу слежения за экспоненциально растущим сигналом
y'{t) = y4oy
можно интерпретировать как задачу построения системы с бесконеч ным порядком астатизма.
Ясно, что указанным выше способом построить такую систему слежения нельзя из-за неограниченно возрастающей сложности регу лятора. Это наблюдение только подтверждает сделанный ранее вывод о том, что
•в рамках линейной теории невозможно построение робастной аста тической следящей системы.
Может показаться, что и в рамках принципа комбинированного управления, когда управляющий сигнал формируется в виде суммы сигнала обратной связи по ошибке слежения и^ = Ле и сигнала прямой связи по нагрузке Uy = Ну' (рис. 2.59), этот принципиальный вывод неверен.
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
Uy |
S |
У^ ^ « |
R |
ue |
J |
|
|
"Ч > — 1 |
у
W(s)
Рис. '2.59
112 Глава 2. Некоторые принципы построения нелинейных регуляторов
Разберем и эту ситуацию, полагая, как и ранее, что W{s) ~ l/a(s), R[s) = j{s)/5{s). Из рис. 2.59 имеем следующее уравнение движения относительно ошибки:
a{s) е — a{s) у' — и |
= |
[a{8)-H{s)]y'-R{s)e. |
|
u=Hy'+Re |
|
|
|
После приведения подобных имеем дело с уравнением |
|
||
[ais)S{s)+y{s)]e |
= S{s)[a(s) |
- H{s)]y'. |
(2.48) |
В (2.48) оператор прямой связи H{s) надлежит выбрать так, |
чтобы |
||
правая часть обратилась в тождественный нуль. Имеется несколько очевидных возможностей решения этой задачи.
С п о с о б I. Можно, например, положить
H{s) = a{s),
тогда прямая связь определяется выражением
«у = a(s) у'
и предполагает п-кратное точное дифференцирование задающего сиг нала (напомним, что deg a(s) = п). По неоднократно приводившимся выше соображениям от этого решения, как неробастного, приходится отказываться.
С п о с о б П. Можно понизить кратность дифференцироваЦия вос производимого сигнала y'(t), если
deg /C(s) < deg a{s),
где K.{s) — оператор, аннулирующий y'[t). В самом деле, поделим по лином a{s) на IC(s), так как, вообще говоря, все нули tC{s) не являются нулями oi{s). В результате деления получится некий остаток y{s), т.е.
a{s) = a'{s)ICis) + T,is), |
(2.49) |
причем справедливы неравенства
deg y{s) < deg K-{s) < deg a{s).
Теперь для достижения г1статизма достаточно (при том условии, что характеристический полином (p(s) = a(s) J(s) + j(s) — гурвицев) по ложить
H(s) = ф). |
(2.50) |
Подставляя (2.50) в (2.49), а результат — в (2.48), получаем уравнение
[а{8) Sis) + f(s) ] е = 5(8) [e'(s) IC{s) + ф) - n{s) |
]у'=0, |
из которого и следует сказанное выше.
2.3. Стабилизация |
регулятором |
переменной |
структуры |
113 |
|
С п о с о б III . Если же |
|
|
|
|
|
|
deg K.{s) |
> deg |
a{s) |
|
|
и у оператора K{s) |
есть устойчивые нули, т.е. он представим в виде |
||||
|
IC{s) |
= |
lC-{s)K+{s), |
|
|
где /C_(s) — гурвицев полином, то эти нули можно включить в число нулей полинома S(s), т.е. взять последний в виде
S(s)^S'(s)IC-{s).
Если при этом еще окажется, что
deg lC+{s) < d e g a(s),
то возможен синтез оператора прямой связи H{s) по той же схеме, что и в Способе II. При невыполнении последнего неравенства использо вание прямой связи по нагрузке кардинальным образом не влияет на возможность построения астатической следящей системы.
Из приведенного выше анализа следует, что в любом случае потре буется операция точного многократного дифференцирования, что не позволяет говорить о решении рассматриваемой задачи.
П р и м е р 14. Точное слежение за з а д а ю щ и м воздействием . Про иллюстрируем теоретические выкладки предыдущего раздела на простей шем примере и рассмотрим следующую постановку задачи: требуется син тезировать обратную связь, обеспечивающую точное слежение регулируе мой координатой у за задающим воздействием у' (рис. 2.60). Уравнение
S
.6 |
|
е |
R |
|
J |
' |
|||
•V |
||||
У |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
S |
Рис. 2.60
системы слежения относительно ошибки е таково: ё = у' и. Если у' = О, то задачу решает любг1я обратная связь вида
и = ке, к = const > О,
так как в этом случае уравнение замкнутой системы ё — —ке экспоненщ1ально устойчиво. Если же у' ^ О, нашример у' = const (т.е. задание растет линейно), то статическая обратная связь и = ке уже не решает за дачу, так как уравнение движения в отклонениях имеет ненулевую правую
114 Глава 2. Некоторые прииципы построения нелинейных регуляторов
часть в положении равновесия ё = —ке + у', и, следовательно, появляется статииеская ошибка, т.е. установившееся при t —> оо значение ошибки регу лирования е(оо) = у'/к. Разумеется, увеличением коэффициента усиления обратной связи к эту погрешность слежения можно устранить, но при этом возникают характерные для систем с глубокой обратной связью проблемы, о которых говорилось в главе 1. Если в системе на рис. 2.60 дополнительно использовать прямую связь по нагрузке, т.е. сформировать управление в виде суммы U = ке + у', то получится астатическая следящая система со структурной схемой, приведенной на рис. 2.61, и уравнением движения вида ё = —ite. Последнее асимптотически устойчиво при А; > О, что и решает рассматриваемую задачу.
|
|
S |
|
|
|
|
Uy |
S |
yS f ^ |
к |
" «'<W L |
у
1
S
Рис. 2.61
Иными словами, построена астатическгш комбинированнгья следящая си стема, в которой для достижения астатизма необходимо использовать опе рацию точного дифференцирования, и это в таком тривиальном случг^е!
В этой связи естественным представляется следующий вопрос:
•нельзя ли обеспечить астатизм (нулевую установившуюся ошибку) при ограниченных коэффициентах регулирования и без использо вания операции точного дифференцирования?
2.3.2. Астатизм 2-го порядка
Впредыдущем примере у' = const. Продифференцируем по t уравне ние объекта ё = у' — и и введем обозначение
и = V. |
(2.51) |
Тогда получим уравнение вида ё = —v. Следовательно, рассматрива емая задача слежения сведена к задаче стг^билизации свободных коле баний. Последняя задача решается, например, применением линейной обратной связи
v = k2e + kie |
(2.52) |
при положительных коэффициентах ki, к^-
2.3. Стабилизация регулятором переменной структуры |
115 |
Действительно, соответствующая замкнутая система управления описывается устойчивым уравнением ё + Лгё + kie = 0. Из (2.51) и (2.52) получг^м искомую обратную связь в виде пропорционально-
S ^
1— к, — 1
у
1
я
Рис. 2.62
интегрального или ПИ-закона
и = Лгс + ki I е dt.
Структурная схема соответствующей следящей системы представлена на рис. 2.62.
2.3.3. Астатизм порядка т
По индукции ясно, что если у' (t) — полином по t степени т, т.е. в нуль тождественно обращаются все его производные, начиная с ( т + 1)-й, то для достижения астатизма в этом случае потребуется не менее, чем m интегрирований ошибки слежения (рис. 2.63). При m —> оо по-
|
|
|
|
ki |
|
yS |
|
е |
^ , |
S |
,6 |
S |
||
|
У- |
кг |
||
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
S |
Рис. 2.63
116 Глава 2. Некоторые принципы построения нелинейных регуляторов
рядок линейного регулятора растет до бесконечности, что, конечно, практически неприемлемо. В частности, таким путем нельзя постро ить астатическую систему для экспоненциально растущего задания у' = е"', а = const > О, так как
=" иг = Ет !
и для этого по указанной методике потребуется использование беско нечномерного регулятора. Как же быть?
2.3.4.Астатическая следящгкя система
переменной структуры
Исследуем систему, структурная схема которой дана на рис. 2.64. Особенность рассматриваемой системы состоит в том, что знак ко-
S |
,e^'^ |
> |
е |
|
"V 1 |
|
|
|
У |
±к |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
S |
Рис. 2.64
эффициента обратной связи по выходу у определяется знаком ошибки слежения е. Именно, уравнение движения имеет вид у = ку sgn е, и если ^ > О, то при е > О выход объекта экспоненцигшьно нарастает (рис. 2.65а), так как у =^ ку, у = у(0)е*', а при е < О выход объекта экспоненциально убывает (рис. 2.656), так как у = —ку, у = у(0) е~**.
.у
н
У(0)'
0 |
't |
Рис. 2.65
2.3. Стабилизация регулятором переменной структуры |
117 |
Если теперь положить к > а и sgn j/(0) = sgn /?, то при |j/(0)| < (/?| экспонента j/(0) е**, а при |j/(0)| > |/?| экспонента у(0) е~*' за конечное время "догонит" задающую экспоненту /Зе"*^ (рис. 2.66). Возникает
I/
|
у(0)е'=' |
|
|
1 |
^/^ |
|
_^J_ -^Jr^C^ |
— Скользящий |
fi |
Tlv^ |
режим |
У(0) |
1 Ч |
|
1 ^ ^ |
y^e-^^W-*!) |
|
0 h
Рис. 2.66
режим переключений, и выход объекта y[t) точно воспроизводит за дание y'{t) By скользящем режиме. Следовательно,
• астатиэм оо-го порядка достигнут с помощью статической раз рывной обратной связи с конечными коэффициентами усиления и без использования производной от задания.
Рассмотренный случай демонстрирует эффективность использо вания разрывной знакопеременной обратной связи. Оказалось, что это не исключение, а правило, т.е. регулярное использование неустой чивых структур является фундаментальной идеей теории обратной связи, альтернативной другим фундаментгшьным идеям теории упра вления (идеям точной компенсации и глубокой обратной связи) и от крывает путь к построению робастных систем управления, в том чи сле и робастных следящих систем. Эта идея явилась ключевой для теории систем управления переменной структуры, фрагменты кото рой излагаются далее на конкретных примерах.
Пример 15. Режимы переключений в системах переменной структуры. Рассмотрим задачу стабилизации в нуле объекта второго порядка у = и при условии, что имеется информация только о координате у и знаке ее производной у. Поскольку ни при кгжом фиксированном к обратная связь
U = -ку |
(2.53) |
не является стабилизирующей, то ясно, что линейными средствами эту за дачу не решить.
Будем менять коэффициент обратной связи (2.53) в зависимости от у и sgn у, например, следующим образом:
к(у,у) = { ки |
УУ>0, |
* 2 , |
УУ<0. |
118 Глава 2. Некоторые принципы построения нелинейных регуляторов
Тогда замкнутая система упргшления имеет разрывную обратную связь и описывгкется уравнением
у = |
-к{у,у)у. |
(2.54) |
Пусть О < к2 < 1 < ki, тогда при к = ki фазовыми траекториями системы будут эллипсы, вытянутые вдоль оси у (рис. 2.67а), а при к = к2 — эллипсы, вытянутые вдоль оси у (рис. 2.676). "Сшивание" отрезков фазовых трг1екторий дг1ет итоговый фг13овый портрет устойчивой системы (рис. 2.67в). Поскольку 1/L = /cj/fci, то ординаты точек последовательного переключе-
е |
|
_ |
К®) |
||
^•?гV 1 |
^V• |
|
U |
• |
. ^ |
Рис. 2.67
ния фазовой траектории оси у образуют геометрическую прогрессию со знаменателем
ki ,
что и влечет асимптотическую устойчивость нуля системы (2.54). Заметим, что построенная система прочна, т.е. ее качественное поведе
ние сохраняется при малых задержках (временных или пространственных) в переключениях. Структурнгш схема исследованной системы приведена на
рис. 2.68. Вновь мы имеем |
дело с обратной |
связью, параметры которой |
|
претерпевают разрывы в функции фазового состояния системы. |
|||
У |
1 |
У |
1 |
|
S |
|
S |
kl.kj
Рис. 2.68
2.3. Стабилизация регулятором переменной структуры |
119 |
Пример 1в. Системы переменной структуры с движением по вырожденным траекториям. Рассмотрим задачу стабилизации в нуле объекта
у=и
при условии, что в обратной связи может быть использована информация о регулируемой координате у и знаке линейной комбинации
(Г = у + су, с = const > 0. |
(2.55) |
Вновь ясно, что никакгш линейнгья обратная связь вида
U = -ку
не решсъет задачи стабилизации. Сделгъем коэффициент к разрывным, на пример, по следующему пргшилу:
I / |
\ |
/ с^. |
ус^ > О, |
тогда получим систему с разрывной обратной связью, описываемую ургшнением
У= -c^|y|sgn а.
Для анализа этой системы используем метод фазовой плоскости. В области ytr > О (на рисунке она обозначена знаком ф) поведение системы описывается уравнением у = —с'у, его фазовые траектории — эллипсы (рис. 2.69а). При у<т < О (на рисунке эта область обозначена знаком G) движение подчинено уравнению у = с*у и его фазовые траектории — ги перболы (рис. 2.696). В результате "сшивания" фазовых траекторий по гра ницам разрыва получгьем асимптотически устойчивую систему (рис. 2.69в). В исследуемой системе стсъбилизации каждая тргъектория за конечное время
сг=0
Рис. 2.69
достигает линии <г = О и далее не покидает ее. Действительно, в силу (2.55) выполнено равенство
у-1- су = О
иy(t) —> О при t —> О, что и требовалось.
120 Глава 2. Некоторые принципы построения нелинейных регуляторов
Недостаток данной системы управления состоит в ее непрочности. Малые задержки в переключениях качественно меняют ее поведение: апериодические переходные процессы могут стать колебательными (рис. 2.70а) или даже может наступить неустойчивость (рис. 2.706).
1
\1
s^^ \ \ |
1 |
1 |
|
\ |
0, |
; |
/ |
|
;ч
Рис. 2.70
2.3.5. Скользящий режим на всей прямой
При рассмотрении режимов переключения и движения по вырожден ным траекториям выявляются определенные достоинства принципа переменности структуры, в том числе: простота закона обратной связи, уменьшение объема информации, необходимой для стабилиза ции объекта по сравнению с линейной обратной связью. Но видны и недостатки этих режимов: колебательность переходного процесса в режиме переключений и трудность организации движения по выро жденным траекториям при изменении параметров объекта и действии внешних сил. Не имеют в этих случаях простого ответа и вопросы, связанные с прочностью систем управления, а также с возможностью переноса методов синтеза на многомерные системы. Поэтому актуа лен следующий вопрос:
•возможно ли при сохранении достоинств принципа переменности
структуры устранение или ослабление указанных выше недостат ков?
Ответ на этот вопрос положителен, но для этого следует использовать скользящий режим на прямой.
Пример 17. Скользящий режим на прямой. Вновь рассмотрим задачу стабилизации в нуле объекта
|
у = и |
при условии, |
что в обратной связи возможно использование информации |
о координате |
у и знаке линейной комбинации <т = у -)- су, с = const > 0. |
Ясно, что линейнс1я обратная связь и = —ку ни при каком фиксированном коэффшдаенте к задачу не решает.