Емельянов С.В. Новые типы обратной связи

Введение

В последние годы широко распространилась точка зрения, что разра­ ботка принципиальных вопросов теории автоматического управления в основном завершена, центр исследований сместился в область прило­ жений, создания эффективных методов анализа и проектирования си­ стем управления, а возникновение новых идей и принципов возможно лишь при переходе к объектам новой природы.

Нужно заметить, что для такой точки зрения действительно име­ ются основания, и весьма веские. Теория автоматического управле­ ния достигла впечатляющих успехов, сегодня она в состоянии пред­ ложить широкий спектр методов решения разнообразных задач при­ кладной автоматики. Поле практического применения теории упра­ вления огромно, и невозможно представить современную технологию без средств автоматизации, а значит и без использования рекомен­ даций теории управления. Это один аспект. Другой аспект состоит в том, что в теории управления все активнее используется самый со­ временный математический аппарат, а выходящие по теории управле­ ния книги и журнальные публикации в основном имеют обобщающий, подытоживающий характер. Может показаться, что существуют яв­ ные признаки того, что теория управления близка к совершенству и заканчивает свое развитие.

Действительно ли положение таково и в теории управления есть готовые решения для каждого конкретного случая? В некоторых слу­ чаях это в самом деле так, но гораздо чаще теория управления дает не рецепты, а лишь рекомендации, которые еще должны пройти экс­ периментальную проверку на адекватность рассматриваемой ситуа­ ции. Поэтому неслучайно существует общепринятая последователь­ ность этапов разработки систем автоматического управления: разра­ ботка математической модели объекта, исследование и идентифика­ ция модели, формулировка требований к свойствам системы, подбор закона управления и проведение имитационного эксперимента, техни­ ческая реализация системы и проведение натурного или полунатур­ ного эксперимента, отладка системы. При этом вся цепочка разра­ ботки или некоторые ее звенья могут использоваться многократно. Если к тому же учесть, что реализация каждого этапа требует опреде-

12 Введение

ленных творческих усилий, то становится ясно, что процесс создания и эксплуатации систем весьма сложен и требует привлечения специа­ листов высокой квалификации. Это требование очевидным образом вступает в противоречие с массовым характером автоматизации.

Следовательно, такие этапы, как разработка, проектирование и поддержание системы управления являются "узким местом", сдержи­ вающим прогресс в технологии автоматизации. Это своего рода вы­ зов для теории управления, которая должна дать надлежащие методы и инструменты, позволяющие эффективно разрабатывать и эксплуа­ тировать системы управления малыми силами и без привлечения вы­ сококвалифицированных специалистов.

В определенной степени разрешению этой ситуации могут способ­ ствовать системы автоматизированного проектирования (САПР),' но не только они. САПР — это инструмент, который только тогда эф­ фективен, когда он хорошо "оснащен" теоретически. В противном случае САПР может справиться с рутинной фазой разработки, но не продвинет решение творческих задач автоматизации, для кото­ рых, собственно, и требуется высокая квалификация. Только развитая теория, дающая не только жесткие рекомендации для определенного класса ситуаций, но и предлагающая правила разумного действия в нестандартных положениях и способы получения адекватного реше­ ния для каждого конкретного случая, может стать тем фундаментом, на котором возможен дальнейший качественный прогресс в автомати­ зации. САПР с элементами "интеллекта" в теоретическом базисе — вот то, что сегодня необходимо.

Удовлетворяет ли этому требованию (требованию высокого "ин­ теллекта") современная теория управления? Приходится с сожале­ нием констатировать, что нет, не удовлетворяет. Причин здесь много.

Разработчику системы управления все чаще приходится разрешать объективное противоречие между детальностью описания объекта и возможностями дальнейшего аналитического исследования системы, идентификации ее параметров и проблемами синтеза регулятора. По­ жалуй, это самый трудный этап, формализация которого едва ли воз­ можна. И хотя в основе разработки, как правило, лежит некоторый реальный процесс, в автоматике стремятся к построению не точной, а лишь имитационной модели процесса, отражающей его "важнейшие свойства" по отношению к заранее заданным входным и выходным пе­ ременным. Это основное, что отличает модели теории управления от моделей, эксплуатируемых в таких фундаментальных дисциплинах, как физика, химия и т.п. При этом понятие "важнейшие свойства" очень часто имеет интуитивный смысл, плохо поддающийся форма­ лизации. Возможно, поэтому при построении системы управления

приходится итеративно возвращаться к данному этапу и вносить не­ обходимые исправления.

В силу отмеченного обстоятельства самым естественным пока­ зался путь к "настолько простым моделям, насколько это возможно". Это привело к образованию набора стандартных моделей, которые в основном и эксплуатируются в теории управления. В настоящее время этот арсенал достаточно беден, и его основу составляют линейные или близкие к ним модели.

Таким образом, часто в ущерб реальности, но в угоду теории, сформировался банк упрощенных моделей, с которым и по сей день, в основном, имеют дело в управлении, и что по сути дела является одним из препятствий, о которое "спотыкается" теория управления на практике.

Итак, приоритет в направлении развития теории был отдан ана­ литике, и это, в свою очередь, привело к гипертрофированному раз­ витию аналитических методов, часто похожих по своим конечным ре­ зультатам, но различающихся способами их достижения и условиями применения: передаточных функций, дифференциальных уравнений, отображений вход-выход, частотных и временных характеристик и т.д. Но даже при мощном аналитическом аппарате сфера примени­ мости простых моделей не может быть распространена за границы, определенные уровнем их адекватности реальному процессу.

Особенно это касается систем автоматического управления, так как разработке вопросов синтеза регуляторов уделялось явно недоста­ точное внимание. Фактически эта область теории управления оста­ ется почти нетронутой. Существует довольно ограниченный набор способов синтеза для небольшого числа стандартных ситуаций.

Без преувеличения можно сказать, что сегодня процессы возник­ новения регуляторных механизмов совершенно не ясны. Во всех слу­ чаях появление нового метода синтеза скорее обязано изобретению, чем теории. Поэтому весьма привлекательной представляется задача поиска общих принципов синтеза, позволяющих в конкретных обстоя­ тельствах как бы автоматически получать требуемый закон управле­ ния. Разработка таких общих принципов и предопределит, по нашему мнению, развитие теории управления в ближайшем будущем.

Можно попытаться предугадать некоторые черты такого разви­ тия. Прежде всего ясно, что нелинейность должна стать неотъемле­ мым элементом теории. Во-первых, это требование практики: огра­ ничения, нелинейность элементов и т.п. Но дело не только в этом. Примеры других наук (да и теории управления тоже) наглядно де­ монстрируют тот факт, что учет нелинейных явлений многократно обогащает теорию содержательно: нелинейный "мир" несоизмеримо

богаче линейного, и именно на этом пути возникают новые явления, принципы и законы.

В качестве иллюстрации можно привести пример, когда теория автоматического управления существенно обогатилась благодаря ре­ шению задач об абсолютной устойчивости, исследованию автоколе­ бательных процессов, адаптивного управления. Примеры из других наук, например физики или химии, еще более выразительны. Но эта констатация почти очевидна, гораздо труднее указать какой-либо кон­ структивный путь, ведущий в нелинейный "мир". Существует ли он?

По нашему мнению, да, существует. И этот путь лежит в направле­ нии систематического использования важнейшего принципа киберне­ тики — принципа обратной связи. Надо только научиться правильно его применять в нестандартных ситуациях. Сегодня ясно, что этот принцип является основой саморегуляции и развития всего живого. В теории автоматического управления в полную силу пока "рабо­ тают" только отрицательная обратная связь и, соответственно, устой­ чивые процессы. Широкому использованию положительной обрат­ ной связи и неустойчивых процессов препятствует "гнет" линейности. И только при переходе к принципиально нелинейным системам воз­ можно активное вовлечение в оборот новых эффектов, связанных с использованием положительной или знакопеременной обратной связи. Данная монография служит иллюстрацией этой научной парадигмы.

Часть I

Принципы построения систем автоматического управления

В первой масти монографии дается краткое описание основных прин­ ципов построения систем автоматического управления. Основное вни­ мание уделяется методам компенсации влияния внешнего возмуще­ ния на регулируемую координату. Для простоты рассматриваются только скалярные стационарные объекты управления, что позволяет при необходимости представлять операторы их вход-выходного соот­ ветствия передаточными функциями.

Принята форма изложения с параллельным использованием наибо­ лее употребительных в теории автоматического управления способов описания динамических систем: структурного и пространства состо­ яний. Это обеспечивает возможность всестороннего анализа рассма­ триваемых проблем, а также разнообразных интерпретаций получае­ мых решений. Кроме того, на различных примерах можно сравнить достоинства и ограничения обоих способов.

Изложение ведется в такой последовательности, которая дает воз­ можность проследить направление эволюции основных идей, принци­ пов и проблем теории управления, а также методов их решения. Это позволяет сформулировать некоторые актуальные проблемы теории управления, для разрешения которых требуются новые идеи.

Первая часть монографии состоит из двух глав. В первой главе рассматриваются принципы построения линейных систем автомати­ ческого управления, а во второй — некоторые принципы построе­ ния нелинейных регуляторов. Общие теоретические конструкции со­ провождаются примерами, которые позволяют на простых ситуациях прояснить слабые и сильные стороны каждого подхода.

Некоторые важные результаты и выводы, известные из теории автоматического управления и необходимые для лучшего восприя­ тия излагаемого материала оформлены в виде Примеров, являющихся

самостоятельной структурной единицей текста с названием и номе­ ром, что облегчает их поиск при ссылках. Ниже приведен список таких тем (в скобках указаны номера страниц):

•Программное управление неустойчивым объектом (30).

•Прямая компенсация возмущения (33).

•Косвенная компенсация возмущения (37).

•Стабилизация с использованием принципа двухканальности (45).

•Стабилизация методом /^-изображения (53).

•Устойчивость систем с обратной связью (60).

•Неустойчивость систем с обратной связью по отношению к сингу­ лярным возмущениям (63).

•Простейшая релейная система (69).

•Релейная стабилизация системы второго порядка (73).

•Релейная стабилизация неустойчивого объекта с относительным порядком, равным двум (74).

•Иерархия обратных связей (88).

•Метод включения (98).

•Синтез адаптивной системы управления (105).

•Точное слежение за задающим воздействием (113).

•Режим переключений в системах переменной структуры (117).

•Системы переменной структуры с движением по вырожденным траекториям (119).

•Скользящий режим на прямой (120).

•СПС при сингулярном возмущении (129).

•СПС при функциональном возмущении (130).

Главы сопровождаются кратким обзором соответствующей науч­ ной литературы в виде библиографического комментария.

Глава 1

Принципы построения линейных систем автоматического управления

Ниже вводятся базовые понятия теории автоматического управления и описываются основные механизмы компенсации внешнего возмуще­ ния для линейного объекта управления.

1.1.Постановка задачи управления и предварительные сведения

Втеории автоматического управления имеют дело с математическими моделями реальных процессов, которые, конечно, всегда неполны и лишь приближенно отражают те черты поведения реального процесса, которые важны в контексте конкретного исследования. Выбранную математическую модель называют объектом управления или просто объектом и для удобства прибегают к графическому его изображению

ввиде блока с входом и и выходом у (рис. 1.1). При таком структур-

Рис. 1.1

ном представлении объект характеризуется оператором вход-выход­ ного соответствия Р, т.е. оператором, устанавливающим связь между множествами входных и выходных сигналов

у = Ри.

Обычно вход объекта и называют управлением, а его выход у — ре­ гулируемой координатой.

В линейной теории управления оператор Р предполагается линей­ ным. Это означает, что для любых чисел ai, a<2 и произвольных вхо­ дов «1, «2 выполняется соотношение

P(aiUi + а2и2) = ociPui + а2Ри2.

Это допущение, конечно, сильно упрощает дело и обеспечивает воз­ можность аналитического решения задач теории управления, чего, во­ обще говоря, трудно ожидать в нелинейном случае.

Еще одно важное допущение, которое мы также примем, состоит в инвариантности оператора объекта Р при временном сдвиге. Такие объекты называют стационарными, т.е. не зависящими от времени, и они являются наиболее простыми объектами, изучаемыми в теории автоматического управления. Для стационарных объектов помимо оператора Р, устанавливающего связь между функциями времени, можно ввести эквивалентный ему оператор W{a), устанавливающий связь между преобразованиями Лапласа входа и выхода объекта при специальных, именно при нулевых, начальных условиях, т.е.

Y{8) = W{8)U{8),

где y(s) = £[i/], [/(s) = £[u], и для скалярных объектов, т.е. объек­ тов, имеющих один вход и один выход, по определению передаточная функция дается выражением

Wis) = ^

нач.услзО

В этих формулах s — комплексное число, участвующее в односторон­ нем преобразовании Лапласа, функции времени \{t) т.е.

00

e-4t.

Из теории этого интегрального преобразования известно, что ука­ занные операции имеют смысл лишь для функций времени ^{t), являю­ щихся оригиналами. В линейных стационарных системах это предпо­ ложение обычно выполнено. Поскольку дальше часто используются передаточные функции, имеет смысл отметить, что передаточные функции конечномерных линейных стационарных скалярных объек­ тов — всегда дробно-рациональные функции комплексной переменной S, т.е. функции, задаваемые отношением двух полиномов /?(в) и а(в) степени m = deg Д(в) и п = deg а(в), соответственно, т.е.

где а,', bj — фиксированные вещественные параметры объекта.

При выполнении принципа причинности (следствие не наступает ранее причины, его вызывающей) степень m полинома числителя /?(в) не превосходит степени п полинома знаменателя о(в) передаточной функции W(s) = I3(s)/a(s). Такие передаточные функции называют физически реализуемыми (осуществимыми).

Нули полинома y9(s) называют нулями передаточной функции W(8) или нулями объекта, нули же полинома а(в) — полюсами W{8) или полюсами объекта. Передаточная функция 1У(в) = /?(8)/а(в) — невы­ рожденная (несингулярная), если она не имеет совпадающих нулей и

полюсов, что и предполагается выполненным впредь. В этом случае для физически реализуемой передаточной функции число п = deg a(s) называют порядком объекта.

Используя невырожденную передаточную функцию объекта, не­ сложно получить дифференциальное уравнение относительно входвыходных функций времени, описывающее тот же самый объект. Дей­ ствительно, по определению имеем равенство

Y(S)=:W(S)U{8) = ^U{S),

которое после почленного умножения на a{s) преобразуется к виду

(s" -I- a„s"-i + ... + ai) У(5) = {bm+is"' + ... + 61) Uis).

После применения к этому соотношению обратного преобразования Лапласа получаем искомое дифференциальное уравнение объекта:

уМ + а„2/("-^) + ... -Ь ац/ = бш+хи^"*^ + ... + Ьщ,

где ^е*) = dl'^/dt'' — к-я производная по времени функции (^{i). От­ метим, что порядок старшей производной функции выхода, участву­ ющей в данном дифференциальном уравнении, совпадает с порядком объекта.

От одного дифференциального уравнения порядка п можно пе­ рейти к эквивалентной совокупности п дифференциальных уравне­ ний первого порядка, описывающей эволюцию исследуемого объекта в пространстве состояний.

Действительно, введем в рассмотрение п функций i j , хг, ... ,х„, связанных между собой, входом u{t) и выходом y{t) соотношениями

ii=«i-l-i, г = 1,2, ... , п - 1 ,

п

1=1

m+1

1=1

Нетрудно проверить, что передаточная функция такого объекта от U к J/ совпадает с исходной W{s) = /?(s)/a(s), и, значит, приведен­ ные соотношения также описывают исследуемый объект управления. При этом (a!i, ;Г2, • • •. Хп) образует набор некоторых фиктивных пере­ менных, характеризующих, в отличие, скажем, от у и и, внутреннее состояние объекта. Последнему может быть придан полезный геоме­ трический смысл, если воспользоваться декартовой системой коорди­ нат {xi,X2,.. .,Хп). Тогда каждому внутреннему состоянию объекта в соответствующем п-мерном пространстве отвечает точка х с коор­ динатами («1, «2, • •., Хп), которая также называется фазовой точкой.

При изменении времени она вычерчивает в п-мерном пространстве некоторую кривую !„((, х), являющуюся геометрическим образом ре­ шения системы дифференциальных уравнений первого порядка при

Xu(t,l)

Рис. 1.2

некоторой входной функции и(<) (рис. 1.2). Ортогональная проекция решения *;«(<) на нормаль с^ = (6i, 621 • • • > ^m+i, О, ... , 0)^ гипер­ плоскости у = сх и определяет соответствующий входу u(t) выход объекта j/(t).

Использование векторно-матричных обозначений

позволяет представить модель объекта в стандартном для современ­ ной теории управления виде

X = Ах + Ьи,

у- сх,

где дифференциальное уравнение называют уравнением состояния, а статическое соотношение — уравнением выхода. Ргизумеется, все три способа математического описания невырожденного объекта эквива­ лентны и нетрудно указать соответствующие взаимно однозначные преобразования. Подробности этих преобразований опускаем, приве­ дем лишь равенство

c(sE-A)-4 = a{s)'

в справедливости которого читателю предлагается убедиться само­ стоятельно.

Наконец, заметим, что упомянутую выше фиктивность вектора состояния x{t) нужно понимать в том смысле, что в качестве такого