Емельянов С.В. Новые типы обратной связи

скольжения 2-го порядка. Именно, пусть t,- — моменты измерения функции (r(t) с постоянным шагом h = t.+i — t,-. Тогда релейный ал­ горитм реального скольжения 2-го порядка задается выражением

где Si(Ti = (Ti{ti) — <Ti{ti-i), a алгоритм дискретного скручивания, со­ ответственно, — выражением

5.3. Финитная стабилизация по выходу

Вновь рассмотрим задачу финитной стабилизации в нуле Е-систем1^

с уравнением выхода

(т •= ai.

Удобно уравнения Е-системы свести к одному уравнению второго порядка а = и. Зададимся обратной связью вида

особенность которой состоит в том, что коэффициент демпфирования Jt2/|<^P^^ в уравнении замкнутой системы

неограниченно нарастает при приближении к многообразию скольже­ ния

Мо = {х\(т{х) = 0}.

Именно с этим "физическим" эффектом связаны надежды на финитно стабилизационные возможности обратной связи (5.22).

Перейдем к анализу уравнения замкнутой системы (5.23). Прежде всего замечаем, что при замене <г —^ —<т вид уравнения, а значит, и его фг13овые траектории сохраняются, поэтому достаточно ограничиться анализом его решений при ег > О, так как траектории в квадрантах <т<г > О {(Т& < 0) подобны.

Качественно фазовые траектории исследуемого уравнения •^ + ПлП^ + fci sgn от = О

Таким образом, имеет место финитная стабилизация S-системы обратной связью вида (5.22). Проведенное исследование обосновы­ вает рис. 5.23, на котором изображен финитный переходный процесс, заканчивающийся к моменту времени т).

Рис. 5.23

в завершение данного раздела укажем причину, по которой обрат­ ная связь

и = —ki dsgn <r — ^2| ^ | l /2

названа обратной связью по выходу. Дело в том, что поведение ис­ следуемой выше Е-системы и нижеследующей системы, описываемой интегродифференциальным уравнением

&{t) = —ki I sgn crdr — k^ I \(r\^'^sgn adr + ao,

суть одно, но для реализации управления, стоящего в правой части последнего уравнения, требуется информация только о выходе <т.

Разумеется, все выводы сохраняются и в случае использования обратной связи вида

Наконец, заметим, что все изложенные выше результаты без суще­ ственных изъятий могут быть перенесены на произвольный порядок скольжения. Следует, однако, отметить тот факт, что при управлении неопределенной системой информация о переменных (Т,- (г > 1) может отсутствовать, а их оценивание с помощью стандартных наблюдений может оказаться невозможным. Это серьезная и пока не решенная проблема.

Глава 6 Теория операторной обратной связи

в данной главе свойства систем стабилизации из главы 3 улучшаются путем использования дополнительной нелинейной обратной связи опе­ раторного типа. Напомним, что "по легенде" операторная обратная связь должна обеспечить "сближение" динамических свойств задатчика и системы управления с координатной и координатно-оператор- ной обратными связями. Подобное сближение требуется осуществить без использования какой-либо информации о факторах неопределен­ ности, а только путем установления дополнительной нелинейной связи между переменными системы. Результатом использования такой не­ линейной связи должно быть повышение качества переходных процес­ сов и уменьшение их зависимости от факторов неопределенности.

6.1. О назначении операторной обратной связи

Втеории координатно-операторной обратной связи (глава 4) рассмо­ трены различные алгоритмы стабилизации простейшего неопределен­ ного объекта

с неизвестными параметрами, принадлежащими известным множе­ ствам

а£А, ЬеВ.

Одним из наиболее эффективных и простых в реализации оказался пропорционально-интегргшьно-релейный закон стабилизации

где ki,k2 — фиксированные параметры обратной связи. Структурная схема соответствующей замкнутой системы (6.1), (6.2) приведена на рис. 6.1 (смысл стрелок на интеграторе в законе (6.2) будет пояснен позднее). Уравнения движения замкнутой системы в пределах линей­ ной зоны интегратора (рис. 6.1) и при постоянных параметрах а и Ь в координатно-операторном пространстве следуют из (6.1), (6.2) и

xi = —dxi +^xi,

откуда ясно, что чем больше коэффициент jfcj (т.е. чем "глубже" ли­ нейная обратная связь), тем выше темп затухания операторной пере­ менной ^. Это и является целью решаемой задачи стабилизации. Но

Рис. 6.1

для фактического управления верно следующее выражение:

и = fixi = —к2(г - kixi / sgn {(TXi) dt,

из которого видно, что с увеличением параметра *2 растет воздей­ ствие по переменной <т и, следовательно, прочность замкнутой си­ стемы снижается.

При увеличении же параметра к\ переходный процесс по оператор­ ной переменной становится колебательным. Поэтому важно изыскать средства, которые:

•обеспечат достаточное демпфирование переходных процессов в си­ стеме (6.3) без увеличения коэффициента ki, а быть может, позво­ лят и вовсе отказаться от линейной компоненты в обратной связи (*2 = 0);

•позволят устранить колебательность операторной переменной ^,

что «есьма желательно по причинам, упоминавшимся выше. Кроме того, если параметр 6 меняется, то закон стабилизации (6.2)

неизбежно приводит к статизму по операторной переменной ^, что, как известно, эквивалентно динамическому статизму по основной пе­ ременной XI.

Отметим, без подробного комментария, что изменения параметра а с ограниченной скоростью, т.е. когда

\а\ < const < bki,

закон (6.2) допускает. В связи с этим возникает вопрос о принци­ пиальной достижимости сформулированных выше целей упраления и путях их достижения.

Можно, конечно, анализируя уравнение (6.1)

^ = 2d^ + bn + а,

попытаться угадать соответствующий алгоритм стабилизации опера­ торной переменной ^ в нуле, что, конечно, возможно. Но кажется бо­ лее предпочтительным попытаться воспользоваться рекомендациями общей теории, изложенной в главе 3. Именно, использовать для ре­ шения поставленной задачи операторную обратную связь (далее, для краткости, 0-связь), реализуемую по схеме рис. 6.2. Это вполне есте-

Рис. 6.2

ственно, так как с физической точки зрения назначение 0-связи со­ стоит в сближении динамических свойств задатчика 5е и объекта Р^. Понятно, что при наличии такого сближения "легче" управлять объ­ ектом и потому коэффициенты усиления в КО-контуре можно умень­ шить.

Если в предыдущей схеме символом Ре обозначить объект опера­ торного типа с выходом /л и входом р, то проблема синтеза оператора 0-связи Rp, по крайней мере в содержательном плане, может быть

сведена к стандартной проблеме синтеза обратной связи, которую ил­ люстрирует рис. 6.3. Разумеется, при этом проявятся важные особен-

ц Rp

Рис. 6.3

ности В управлении таким объектом, и прежде всего принципиальна нелинейность его уравнений движения. Поэтому в первую очередь получим уравнения движения исследуемой системы, поскольку пара­ метры d эадатчика Se в схеме на рис. 6.2 теперь переменны и зависят от р, т.е. dp = d{p), и если р = p{t), то dp = dp{t).

6.2.Уравнения движения в пространстве координата-оператор

Напомним, что в исходном (ri, а;2)-координатном пространстве ста­ билизируемый объект описывается следующими уравнениями:

XI = Х2, Х2 = axi + bu.

Следуя общей процедуре синтеза бинарного управления, введем КО-ошибку

сГр = Х2 + dpXi = xi + dpXi,

которую впредь будем помечать индексом р, отличая ее тем самым от прежней ошибки <г = хз + dxi. Теперь можно определить в области

Gs = { (хьагз) I \<г\ < 5\xi\, S = const }

новую операторную переменную

Для перехода к описанию в координатно-операторном, далее, для краткости, КО-пространстве («i,^) потребуется уравнение изменения операторной переменной ^. Дифференцируя выражение (6.4) и исполь-