Емельянов С.В. Новые типы обратной связи
.pdf9.2. Следящие дифференцирующие системы |
273 |
Пусть д — const, тогда (9.12) легко интегрируется и
e,(0 = f ( l - e - * ' ) .
Поскольку у = ке, то для оценки производной имеем формулу
Ь л ( 1 - е - * 0 .
Временные графики оценок при различных к {ki > /fj) приведены на рис. 9.17. Из графиков видно, что увеличение коэффициента усиления
Рис. 9.17
в обратной связи улучшает дифференцирующие свойства этой схемы. При этом, однако, нужно всегда помнить о том, что мы имеем дело с глубокой обратной связью. А именно, нужно при к —¥ оо учиты вать влияние ограничений и сингулярных возмущений на прочность системы. Если д ф const, то для уменьшения ошибки слежения также нужно устремлять fe -> оо.
Для анализа последствий, наступающих при сингулярном возму щении, положим, что в схеме на рис. 9.16 вместо чистого интегриро вания осуществляется интегрирование с малой временной задержкой г = const > О, т.е. исследуемая ситуация иллюстрируется рис. 9.18.
9 , е |
к |
'!/ |
'\ |
|
|
|
|
Z
S
Рис. 9.18
На этом рисунке уравнение в ошибках иное и дается следующей фор мулой:
'e{t) = -kt{t-T)^g. |
(9.13) |
274 |
Глава 9. Диффереицирование сигналов |
Теперь вопрос о том, принимать или не принимать во внимание свободную компоненту решения уравнения (9.13), зависит от устой чивости квазиполинома
<р(8) = 8 + ке^^'.
Но при ik ->• оо его нули стремятся к нулям уравнения е"'"' = О, кото рое имеет нули в бесконечности правой комплексной полуплоскости переменной s (Res > 0). Таким образом, исследуемый полином не устойчив, а поэтому неустойчива рассматриваемая дифференцирую щая система. Следовательно, устойчивость системы при сингулярном возмущении ограничивает коэффициент обратной связи критическим значением к < ксг-
Наличие критического коэффициента усиления определяет и пре дельно достижимые фазовые искажения при обработке синусоидаль ного сигнала. В самом деле, передаточная функция линейного диф ференциатора
^-W = Jjrrv |
(^•^^^ |
и, следовательно, минимально достижимая постоянная времени диф ференциатора Т = 1/Агсг, что, как уже указывалось при анализе RC- цепочек, и определяет фазовые искажения. Отметим справедливость сделанных ранее замечаний о свойствах дифференциаторов с переда точными функциями вида (9.14) и в этом случае.
Исследуем теперь влияние амплитудного ограничения на' выходе дифференциатора, представленного на рис. 9.19. Уравнения этого
е |
к |
У |
sat |
2 |
9 ' |
|
|||
|
|
|
|
г1
1
Рис. 9.19
дифференциатора отличаются от уравнений рассмотренного диффе ренциатора только уравнением выхода
J = sat (у),
где sat() — функция насыщения. Из схемы на рис. 9.19 видно, что
д = sat (ке), но при к -> оо
sat {ке) = sati/fc (е) -> sgne.
9.2. Следящие дифференцирующие системы |
275 |
Таким образом, в пределе, при к -¥ оо, наличие ограничения при водит к разрывному сигналу (рис. 9.20). Поэтому для получения при-
sat^^ (е) |
eatj^^ (е) |
|
fc — 00 |
Рис. 9.20
емлемой оценки неизбежно использование выходного фильтра Fout< надлежащим образом "усредняющего" разрывной сигнал sgny и не избежно вносящего дополнительные фазовые искажения (рис. 9.21).
|
е |
00 |
У |
1 |
Fout |
9 |
' |
|
-1 |
||
|
|
||||
|
|
|
|
|
1
1
Рис. 9.21
е |
к |
sat |
|
1
1
Рис. 9.22
Далее методы усреднения исследуются подробно, здесь же огра ничимся замечанием, что к исходным проблемам приводит наличие амплитудного ограничения в замкнутом контуре (рис. 9.22), когда предельный переход А; —^ оо приводит к релейному дифференциатору. К анализу свойств релейного дифференциатора теперь и переходим.
9.2. Следящие дифференцирующие системы |
277 |
Действительно, из (9.16) и (9.15) имеем уравнение фильтра
Тх + х = д-ё,
вынужденнее компонента решения которого дается хорошо известной формулой
|
t |
|
x,(t) = ^е-Ч^ |
J e^'^{9(r) - ё{г)) dr. |
(9.17) |
о
Пусть существует и равномерно ограничена вторе1Я производная
сигнала д, т.е. |
|
1 у I < М, М = const > О, |
(9.18) |
а скользящий режим возник при / = О, тогда справедлива следующая цепочка равенств:
/ е^/'Гё(г) dT = j |
е^/^ rfe(r) = |
|
|
о |
|
(9.19) |
|
* |
t |
||
|
|||
= е(г)е^/^ |
/ e ( r ) e - / ^ d ( r / r ) = 0 . |
|
|
о |
о |
|
Следовательно, (9.17) можно упростить до выражения
с
(9.20)
для дальнейшего преобразования которого вновь воспользуемся инте грированием по частям. В результате имеем
je^l'^ad{rlT)=iade^l'^=ge^l'^ |
|
|
о |
о |
(9.21) |
|
|
|
- / |
e'lTg dT = g е^/^ - д(0) - / е^/^ д dr. |
|
Последнее слагаемое в этой формуле оценивается с учетом (9.18) сле дующим образом:
j |
e'/'^gdr |
<Je^''^\g\dT< |
(9.22) |
|
|
< M /оe ^ / ^ d r = T M ( e * / ^ - l ) . |
|||
|
|
|||
После подстановки (9.21) в (9.20) |
находим, что |
|
||
Xfit) = g{t) - |
д{0) е-'/^ |
- е"^ J |
е^'^д dr = g{t) + e{t). |
(9.23) |
9.2. Следящие дифференцирующие системы |
279 |
симая динамикой фильтра, однако теперь \e{t)\ |
< А и оценка (9.22) не |
имеет места. Используя выражение из (9.22), находим оценку, при годную для этого случая. Имеем
1/',т/Т г(<) dT < I e(t) еЧ'^ - е(0) | + 0 | e{t) \ {е"'^ - 1) < 2Д (е""^ - 1).
После подстановки найденной оценки, (9.23) и (9.24) в (9.17), устана
вливаем справедливость оценки погрешности |
дифференцирования: |
||
2А |
/ |
2А |
|
\xf{t)-g{t)\<TM^--+(k |
+ TM^ |
— ) е ' / ^ |
(9.26) |
Теперь видно, что при Т -> О погрешность не уменьшается, как ожи далось, а напротив, увеличивается.
Точность дифференцирования действительно будет повышаться, если имеет место условие
• • |
Д п |
hm -= = 0. |
|
т->о |
Т |
С физической точки зрения последнее соотношение означает (9.26), что высокочастотная составляющая сигнала y(t) действительно от фильтрована и выделена только полезная составляющая д. Проведен ное исследование показало, что
•в релейном дифференциаторе невозможно выбором единственного
параметра Т одновременно уменьшить погрешности, вносимые ди намикой фильтра {ТМ) и неидеальностями переключений (А/Т). Ангшогичный результат имеет место и тогда, когда вместо инерь ционного фильтра на рис. 9.23 используется фильтр "скользящего" среднего, представленный на рис. 9.27. Кроме того, под ограничение
е к |
!/ |
X |
-к Ts
г1
!
Рис. 9.27
1^1 < А; не попадают экспоненциальные, полиномиальные или высоко частотные гармонические сигналы. Поэтому представляет интерес исследовать возможности, возникающие при использовании регуля тора переменной структуры в замкнутом контуре дифференциатора.
280 |
Глава 9. Дифференцирование сигналов |
9.2.3. Дифференциатор переменной структуры
Структурную схему дифференциатора переменной структуры, кото рому соответствует пара
изобразим в стандартном для теории СПС виде (рис. 9.28). Уравнения
•Ф
¥ |
Ts+l |
Рис. 9.28
дифференциатора переменной структуры (далее называемого СПСдифференциатором) имеют вид
e=a-z, |
// \ |
f |
кг, |
ez < |
y=i>(z,e) |
= i^ |
_^^_ |
^ ^ ^ |
|
Z = у, |
Тх -{• X = у, |
к,Т |
= const > 0; |
|
выход X принимается за оценку производной д. Поскольку данную ^-ячейку можно описать формулой
у = ipiz, e) = |
k\z\sgne, |
то уравнение движения замкнутого контура дифференциатора имеет следующий вид:
ё = -*г I г I sgn е -I- ^.
Если знаки д{0) и z(0) совпадают и сигнал g{t) принадлежит классу сигналов Г, т.е.
9{t)£T= |
{д\ \д\ < 7 | д | , \9\<М, М,7 = const > О } , |
то при выполнении условия к > у сигнал
нарастая (убывая) по экспоненте, за конечное время "догонит" сигнал g{t), и в нуле z = О возникнет скользящий режим (рис. 9.29).