1.2. Кинематика

Кинематика изучает движение материальных тел без учета их масс и действующих на них сил.

Основные определения. Под движением тела подразумевается изменение во времени его положения в пространстве по отношению к другим телам. Обычно с телом, по отношению к которому изучают движение, связывают какую-нибудь систему координат, которую вместе с выбранным способом измерения времени называют системой отсчета.

В зависимости от формы траектории движение точки бывает прямолинейным и криволинейным. Уравнение движения точки можно записать так

,

где S – путь, м, (мм); t – время, с, (ч).

Уравнение плоского движения точки в координатной форме выглядит так (рис.8)

Рис. 8

Скорость есть мера движения точки (тела), V (м/сек).

.

Скорость – величина векторная, так как она так же, как и сила, имеет направление и может быть выражена направленным отрезком.

При любом движении скорость точки равна первой производной координаты (т.е. расстояния от начала отсчета перемещения) по времени

.

Ускорение – это мера изменения скорости, также величина векторная. Ускорение в прямолинейном движении равно

.

Ускорение в криволинейном движении. При движении точки по кри­волинейной траектории скорость меняет свое направление. Таким образом, ускорение в криволинейном движении равно векторной производной скорости по времени. Обычно вычисляют не векторную производную, а более удобные для использования ее проекции на касательную и нормаль к точке, для которой вычисляют ускорение (рис.9).

Рис. 9

Тогда полное ускорение а будет равно геометрической сумме

или ,

Так как вектор характеризуется двумя параметрами, то векторная производная должна давать изменение обеих составляющих скорости – её абсолютной величины и направления

где – нормальная составляющая полного ускорения, всегда направлена в сторону вогнутости траектории; – касательная составляющая полного ускорения.

Простейшие движения твердого тела. Поступательное движение. Все точки твердого тела имеют одинаковые траектории, скорости и ускорения (рис.10).

Рис. 10

Вращение вокруг неподвижной оси. Наглядный и наиболее часто встречающийся в жизни случай – вращение диска на оси О (рис.11).

Рис. 11

Вращательное движение можно характеризовать углом , на ко­торый повернулось тело за время t. Угловое перемещение выражается в радианах (рад) или оборотах. Таким образом

.

Обозначив путь А₁А₂ = S можно записать

,

где r – расстояние точки А до оси вращения.

И скорость любой точки диска определится так

.

Выражение обозначим  и назовем угловой частотой (скоростью).

рад/сек.

Один оборот соответствует углу  = 360° = 2 радиан. Если диск делает n оборотов в минуту, что соответствует углу  = 2n радиан, то угловая частота  в рад/сек будет

.

Сложение скоростей. Пусть в неподвижной системе коор­динат ХYZ (например, связанной с Землей) движется тело М, с которым связана система координат Х₁Y₁Z₁ (например, пароход плывет по реке). И пусть по телу М движется точка (например, человек идет по палубе парохода).

Рис. 12

Движение точки А относительно тела М называется относительным движением. Движение тела М относительно неподвижной системы координат XYZ называется переносным. Движение точки А относительно неподвижной системы координат ХУZ называется абсолютным. Скорости в каждом движении, будучи вектор­ными величинами, складываются геометрически (рис.12).

.