- •Оглавление
- •1. Основы механики твердого тела 15
- •2. Основы механики деформируемого тела 23
- •5.1. Задачи науки 95
- •10. Список литературы 223 предисловие
- •Введение
- •Основы механики твердого тела;
- •Основы механики деформируемого тела;
- •1. Основы механики твердого тела
- •1.1. Статика
- •1.2. Кинематика
- •1.3. Элементы динамики
- •2. Основы механики деформируемого тела
- •2.1. Задачи науки
- •2.2. Общий подход
- •2.3. Перемещения и деформации
- •2.4. Напряжения
- •2.5. Модель деформируемого тела
- •2.6. Определение напряжений при растяжении
- •2.7. Механические свойства материалов
- •2.8. Сдвиг
- •2.9. Кручение круглых стержней
- •2.10. Изгиб прямого бруса
- •2.11. Сложное сопротивление
- •2.12. Прочность при циклически изменяющихся нагрузках
- •2.13. Колебания
- •2.14. Концентрация напряжений
- •2.15. Устойчивость равновесия упругодеформированных систем
- •2.16. Основы расчетов на прочность за пределами упругости
- •3. Металлоконструкции
- •4. Элементы механики механизмов и машин
- •4.1. Задачи механики машин
- •4.2. Основные определения
- •4.3. Кинематика шарнирно-рычажных механизмов
- •4.4. Силовой (кинетостатический) анализ механизмов
- •4.5. Механизмы для преобразования вращательного движения
- •5. Основы расчета на прочность типовых деталей машин
- •5.1. Задачи науки
- •5.2. Основные вопросы конструирования деталей
- •5.3. Передачи
- •5.4. Прямые круглые валы
- •5.5. Подшипники качения4
- •5.6. Соединения
- •6. Инженерное проектирование. Принятие инженерных решений
- •7. Более общие методы решения прочностных задач. Численные методы
- •7.1. Компоненты напряжений
- •7.2. Компоненты деформаций
- •7.3. Выражение деформаций через напряжения
- •7.4. Плоский случай (двухосное напряженное состояние)
- •7.5. Метод конечных элементов
- •7.6. Несколько слов об исчислении конечных разностей
- •8. Механика и экономика. Некоторые замечания.
- •9. Курсовое проектирование
- •9.1. Курсовое проектирование и его роль в подготовке инженера.
- •9.2. Указания по объему, содержанию, характеру проекта и порядку его выполнения.
- •9.3. Общие требования к выполненному проекту и его защите.
- •9.4. Содержание задания.
- •9.5. Примерный укороченный порядок выполнения курсового проекта (подробнее см. 9.2.1 - 9.2.30 и 9.3.1 – 9.3.10).
- •9.5.1. Последовательность работы.
- •9.6. Возможные варианты заданий.
- •9.7. Приложения. Нормативные материалы.
- •Механические характеристики сталей, применяемых в качестве материала для валов
- •Шарикоподшипники радиальные однорядные
- •Крышки глухие и сквозные
- •Шпонки призматические.
- •Втулки для подшипников качения
- •Нормальные диаметры валов (по госТу 6270)
- •9.8. Домашние задания.
- •10. Список литературы к главе 1
- •К главе 2
- •К главе 3
- •К главе 4
- •К главе 5
- •К главе 6
- •К главе 7
- •К главе 8
- •К главе 9
7. Более общие методы решения прочностных задач. Численные методы
Как мы уже знаем, задачи определения напряжений вы нагруженных элементах конструкций являются внутренне статически неопределимыми, т.е. уравнения статики не позволяют найти характер распределения напряжений в опасных сечениях, что необходимо для решения вопроса о прочности. А задаться особенностями такого распределения, как это делалось в задачах упругого кручения и изгиба стержней, в большинстве практических случаев не представляется возможным. Это было видно, например, в задаче о концентрации напряжений при наличии всевозможных выточек, резком переходе сечений и пр.
Обойти это затруднение позволяет общая теория напряженно-деформированного состояния.
Чем более общий характер носит метод, разработанный для решения прочностных задач (в принципе это справедливо в любой области. Еще древние говорили, что надежность истины пропорциональна ее общности), тем он более надежен. Тем менее приходится вводить в решение частные предпосылки суживающие область применения решения. Частные методы приходится применять тогда, когда не удается сформулировать более общий подход, обеспечивающий большую глубину постановки задач.
В ряде случаев получение точного решения прочностных задач наталкивается на большие математические трудности. Поэтому приходится прибегать к численным методам. Численное решение принципиальных трудностей не представляет, поскольку для этого существуют стандартные программы. И, следовательно, основной задачей в этом случае является формирование аппроксимирующей системы линейных уравнений. С математической точки зрения это означает переход к модельной линейной системе с разрывными кусочно-постоянными коэффициентами.
В общем случае напряженного состояния используются тензорные величины, обозначаемые как и их скалярные аналоги. Тензором второго ранга принято называть объект, который в трехмерном декартовом пространстве определяется таблицей из девяти величин aij, где i, j =1,2,3, если при преобразовании одной декартовой системы координат в другую эти величины изменяются по закону
Здесь λij – направляющие косинусы осей второй системы по отношению к первой. По определению скаляр – это тензор нулевого ранга, вектор-тензор первого ранга. Тензор второго ранга в фиксированной системе координат имеет 9 компонентов, которые могут быть записаны в виде матрицы. Вообще говоря, . В частном случае, когда , тензор называют симметричным. Тензор напряжений и представляет собой ортогональный симметричный тензор второго ранга.
7.1. Компоненты напряжений
Выделим из деформированного тела малый кубический элемент с гранями, параллельными координатным осям (рис. 113).
Рис. 113
Обозначения для компонент напряжений, действующих на гранях этого элемента, а также направления, которые считаются положительными, показаны также на рис. 113. Касательные напряжения разлагаются на две компоненты, параллельные координатным осям. Тогда, чтобы обозначить напряжения, действующие на шести гранях элемента, потребуются три символа x, y и z для нормальных напряжений и шесть xy, yx, xz, zx, yz, zy – для касательных. С помощью простой процедуры исследования равновесия элемента число символов для касательных напряжений можно сократить до трех. Из условия следует . Аналогично получим и . Полученный результат выражает закон сопряженности или взаимности касательных напряжений. Таким образом, тензор напряжений изображается так
. (7.1)
Элементы тензора () связаны уравнениями равновесия
. (7.2)
Три уравнения содержат шесть неизвестных x, y и z, xy=yx, xz=zх, zу=yz. Следовательно, задача об определении напряжений как функций координат деформируемого тела является статически неопределимой. Эта неопределенность раскрывается путем учета физических свойств деформируемого тела.