7.5. Метод конечных элементов

Как уже отмечалось, еcли получение точных решений оказывается затруднительным, используются численные методы. Наиболее подходящим во многих случаях является метод конечных элементов. Этот метод универсален и его можно использовать для областей любой формы.

Метод конечных элементов по существу сводится к аппроксимации сплошной среды с бесконечным числом степеней свободы совокупностью подобластей (или элементов), имеющих конечное число степеней свободы.

При количественном описании технических задач инженер обычно cводит их к некоторой системе дифференциальных уравнений, справедливой в определенной области, и налагает на эту систему краевые и начальные условия. Однако точному решению поддаются пока лишь уравнения относительно простого вида. Чтобы преодолеть эти затруднения и воспользоваться машинным счетом, нужно преобразовать задачу к чисто алгебраической форме, включающей только основные арифметические операции. Для достижения этой цели используются различные виды дискретизации непрерывной задачи, определенной дифференциальными уравнениями. При этом бесконечное множество чисел, представляющих неизвестные функции, заменяется конечным числом неизвестных параметров, и для этого процесса требуется некоторая форма аппроксимации. Иначе говоря, метод конечных элементов сводится к разбиению сплошного тела на отдельные элементы, взаимодействующие между собой только в узловых точках, в которых вводятся фиктивные силы, эквивалентные поверхностным напряжениям, распределенным по границам элементов. Аппроксимация выполняется конечно-разностными уравнениями. Итак:

1. Сплошная среда разделяется воображаемыми линиями или поверхностями на некоторое число конечных элементов.

2. Предполагается, что элементы связаны между собой в узловых точках, расположенных на их границах. Основными неизвестными будут перемещения этих узловых точек.

3. Выбирается система функций, определяющая перемещения внутри каждого конечного элемента через перемещения узловых точек.

4. Функции перемещений однозначно определяют деформации внутри элемента через узловые перемещения. Эти деформации при известных начальных условиях и, например, упругих свойствах элемента позволяют определить напряжения как внутри элемента, так и на его гранях.

5. Определяется система сил, сосредоточенных в узлах, уравновешивающих напряжения на границе и некоторые распределенные нагрузки, а затем записываются соотношения жесткостей.

Выбор формы элемента и функций перемещений для конкретных задач зависят от изобретательности, мастерства и вкуса инженера.

Для примера на рис. 96 показаны треугольные конечные элементы, использованные для представления профиля плотины.

Рис. 96

7.6. Несколько слов об исчислении конечных разностей

Конечные разности являются удобным аппаратом для численного решения дифференциальных уравнений. В исчислении конечных разностей изучаются функции при дискретном (прерывном) изменении аргумента. Конечными разностями «вперед» для последовательности значений функции , соответствующих последовательности значений аргумента, называются выражения

(разность 1-го порядка),

(разность n-го порядка).

Связь между конечными разностями и производными устанавлива­ется формулой

,

где .

Для приближенного решения дифференциального уравнения заме­няют входящие в него производные соответствующими разностями и решают полученное разностное уравнение.

7.7. Об экстремальных принципах в теории упругости, пластичности и ползучести. Рассматривать их не будем, только упомянем о них, как делали это в предыдущих разделах.

Эти принципы играют значительную роль в расчетах на прочность. Основная идея экстремальных принципов заключается в том, что с их по­мощью определяется класс функций, которые удовлетворяют некоторым(но не всем) требованиям полного решения. Показывается, что некоторое функциональное выражение, определенное для этого класса функций, яв­ляется минимальным для тех функций, которые удовлетворяют отдельным требованиям полного решения. Конкретная форма экстремального прин­ципа будет, естественно, зависеть от частного вида соотношений между переменными задачи. Однако для всех принципов некоторые черты явля­ются общими, остальные аналогичными. И последнее замечание. Классические теории пригодны только для описания явлений первого порядка. Но не надо думать, что эффекты перво­го порядка всегда играют большую роль, чем эффекты второго порядка.