2.14. Концентрация напряжений

При рассмотрении простого растяжения и сжатия в стержнях призматической фopмы мы предполагали, что при центральном приложении силы напряжения в поперечном сечении распределяются равномерно (рис. 41а). Такое же равномерное распределение напряжений предполагалось и в случае стержня переменного селения, но получаемые при этом результаты обладают удовлетворительной точностью, если только изменение размеров поперечных сечений происходит постепенно (рис. 41б).

Резкое изменение поперечных сечений создает неправильности в распределении напряжений. Эти неправильности особенно важно учесть при проектировании тех частей машин и конструкций, которые подвергаются действию переменных сил. Исследования неправильностей в распределении напряжений в таких частях показывают, что в некоторых точках напряжения значительно выше средних значений. Распределение напряжений в местах резкого изменения сечения очень далеко от равномерного (например, рис 41в). Значения максимального напряжения выражаются в таких случаях как

(2.22)

,

где К - коэффициент концентрации напряжений, обычно 1,3K2,8.

Коэффициент К выбирается по соответствующим таблицам в зависимости от соотношений и a.

Концентрация напряжений имеет место и при кручении, и при изгибе. Например, часто встречающийся случай соединения ва­ла с сидящими на нем деталями с помощью шпоночных и других соединений.

Следует отметить, что не только отверстия, трещины и другие пустоты могут быть причиной понижения прочности материала. Вызвать концентрацию напряжений может, наоборот, и добавка материала, если это приводит к резкому локальному увеличению жесткости. Так если поставить заплату из нового материала на старую одежду или толстый лист брони на тонкий борт военного корабля, из этого не получится ничего хорошего. Любой элемент конструкции, отличающийся от окружающих его элементов своими упругими свойствами, вызывает концентрацию напряжений и может быть опасным.

Представителям живой природы, в общем, неплохо удается избежать такого рода перенапряжений. Однако концентрация напряжений может быть существенным моментом ортопедической хирургии, особенно при соединении относительно мягких костей жесткими металлическими протезами.

Рис. 41

2.15. Устойчивость равновесия упругодеформированных систем

Как уже отмечалось, при расчетах на прочность нормируются ве­личины напряжений, возникающих в элементах конструкции при ра­боте. Если нормируются перемещения, то выполняются расчеты на жесткость. Но иногда оказывается, что помимо указанных расче­тов есть необходимость в рассмотрении вопросов устойчивости равновесия принятой формы проектируемых элементов конструкций. Пусть некоторая механическая система находится в равновесии. Мысленно сообщим точкам этой системы бесконечно малые скорости и рассмотрим ее движение под действием приложенных сил (возмущенное движение). Если с неограниченным возрастанием времени отклонения системы от равновесного положения остаются бесконечно малыми, то рассматриваемое равновесие называется устойчивым. В противном случае неустойчивым.

Устойчивость сжатого стержня. Наиболее простой и часто встречающейся инженерной задачей устойчивости упруго деформированной системы является устойчивость сжатого стержня. В таких условиях работают всевозможные колонны, опоры, стержни ферм мостов, подъемных кранов, перекрытий строительных конструкций и т. п. При действии осевой сжимающей силы на длинный и достаточно тонкий стержень может произойти его искривление, т. е. продольный изгиб (рис.42).

Рис. 42

То наибольшее значение сжимающей силы, при котором стержень еще остается прямым, или то наименьшее значение сжимающей силы, при котором стержень может начать искривляться, называется критической силой F_кр. Значение F_кр в соответствии с решением, данным Л. Эйлером, равно

.

Нужно иметь в виду, что величина критической силы зависит от способа закрепления стержней, который можно учесть некоторым «коэффициентом закрепления» . Тогда

.

Формулой Эйлера можно пользоваться при условии, что напряжения, возникающие при действии F_кр, меньше предела пропорциональности материала стержня.

Еще одним примером потери устойчивости может служить явление бокового опрокидывания балки, сопровождающееся ее закручиванием: оно может иметь место для узких балок без бокового опирания при некотором критическом значении внеш­ней нагрузки, значительно меньшим тех значений, при которых исчерпывается работоспособность на изгиб балки с боковыми опорами. Например, консоль с силой на конце (рис.43). Критическая нагрузка

Рис. 43

где А и В – жесткости на боковой изгиб и кручение, соот­ветственно. Этой нагрузке соответствует критический момент

При равномерно распределенной нагрузке

Еще пример (рис. 44). Свободно опертая балка постоянного сечения в форме прямоугольника (предпола­гается, что крайние сечения балки не могут поворачиваться отно­сительно продольной оси).

Рис. 44

Вообще говоря, многие крупногабаритные технические конструкции могут быть описаны с помощью потенциальной функции, минимальное значение которой определяет локально устойчивое состояние конструкции. Само состояние описывается положением точки в некотором пространстве состояний конструкции.

С увеличением нагрузки на конструкцию (мост, здание и т.д.) потенциальная функция изменяется. Значит, нагрузка может привести к потере устойчивости (т.е. к ее разрушению) вследствие нарушения локально-устойчивого состояния, которое является для данной системы расчетным.

В широкой постановке равновесие, устойчивость и потеря устойчивости рассматриваются математической теорией катастроф. Ее методы позволяют определить чувствительность критической или разрушающей нагрузки, как несовершенству конструкции, так и к динамическому воздействию. Они оказываются эффективными при изучении составных систем, для которых возможны различные виды разрушения. Последнее обстоятельство имеет важное практическое значение, т.к. свидетельствует о том, что в «оптимизационных» системах, составленных из нескольких конструкционных элементов, могут появиться неожиданные формы разрушения с жесткой чувствительностью к несовершенству, если между элементами существует сильная связь (например, разрушения опорных кронштейнов и пр.).

Изменения в очень многих случаях совершаются скачком (рис.45). Эти внезапные изменения вызываются обычно гладкими изменениями ситуации. Такие внезапные изменения и были названы «катастрофами» для того, чтобы отразить ощущение резкой и драматической перемены. Теряют устойчивость арки, пластины, оболочки (гофрируются).

Как оказалось, даже простые задачи классической статики таят в себе много тонкостей.

Анализ обнаруживает некоторые, лежащие в основе этих явлений, математические закономерности, позволяющие стандартным образом рассчитывать поведение таких систем.

Замечание о прочности материалов при быстро меняющихся нагрузках. Опыт показывает, что сопротивление материалов быст­ро меняющимся нагрузкам (деформациям) несколько отличается от сопротивления деформациям, протекающим очень медленно, «статически». Обнаружено следующее:

1) с повышением скорости деформирования предел упругости (текучести) возрастает;

2) динамические модули упругости мало отличаются от стати­ческих значений для тел с кристаллической структурой. В телах органических с высокомолекулярной структурой (резина, пласти­ки, высокие полимеры) влияние скорости деформирования заметно в пределах упругости;

3) предел прочности растет с увеличением скорости деформации и разрушение происходит более хрупко.

Диаграмма растяжения показана на рис. 46

Рис. 46