7.2. Компоненты деформаций
Разложим перемещения частиц деформированного тела на компоненты U, V и W, параллельные соответственно координатным осям x, y и z. Эти компоненты малы и меняются непрерывно по объему тела. В данном случае нас не интересует анатомическая структура деформируемого тела и будем считать, что вещество заполняет его непрерывно (как говорят, тело обладает сплошностью). Цель этого допущения состоит в использовании вычислительных упрощений, которые дает анализ бесконечно малых при изучении непрерывных функций. Рассмотрим малый элемент упругого тела (рис. 114).
Рис. 114
Если тело деформируется и U, V и W – компоненты перемещения в точке Р, то перемещения в направлении х в точке А, расположенной на оси х, с точностью до величины первого порядка по dх будут
,
ввиду
возрастания функции U
на величину
с увеличением координаты х.
Увеличение длины РА,
вызванное деформацией, равно
.
Таким
образом, относительное удлинение в
точке Р
в направлении х
составит
.
Подобным образом относительные удлинения
в направлениях у
и z
соответственно будут
и
.
Аналогичные рассуждения дадут также выражения деформаций сдвига
,
,
.
Итак
. (7.3)
Шесть величин x, y, z, xy, yz, zx называются компонентами деформации. Совокупность этих компонент образует тензор деформации
. (7.4)
Элементы тензора () должны подчиняться уравнениям совместности (неразрывности, условию сплошности тела). Дифференцируя попарно компоненты в (7.3) и исключая члены, содержащие производные от U, V и W , получим эти уравнения
. (7.5)
Уравнения совместности носят общий характер в том смысле, что они позволяют для раскрытия статической неопределенности уйти от предварительных предположений о характере распределения напряжений в опасных сечениях, как это делалось, например, при расчетах на кручение и изгиб.
7.3. Выражение деформаций через напряжения
Имея в виду закон Гука
и соотношение
,
где – коэффициент Пуассона, можно найти
. (7.6)
, (7.7)
где
,
.
7.4. Плоский случай (двухосное напряженное состояние)
Многие детали машин и сооружений работают в условиях плоского напряженного состояния. Тензор напряжений при плоском напряженном состоянии условимся обозначать так
.
(7.8)
Его элементы связаны уравнениями равновесия
. (7.9)
Элементы тензора деформаций
подчинены условию совместности
.
(7.10)
Уравнения (7.10) – (7.11) будут достаточными для решения плоской задачи, если к ним добавить еще физический закон, выражающий связь между () и (). Кроме того, необходимы еще граничные условия, например, в напряжениях
, (7.11)
где n – внешняя нормаль к границе области; рx и рy – проекции на координатные оси вектора плотности сил, приложенных к границе тела.
Граничные условия (условия на поверхности) – условия равновесия элементарной призмы, вырезанной у поверхности тела. Они связывают компоненты напряжений на площадке поверхности, направляющие косинусы нормали, к которой cos(nx), cos(ny), cos(nz), с напряжениями в общем случае в трех взаимно перпендикулярных площадках в той же точке.
Уравнения равновесия и условия на поверхности нужно рассматривать совместно. Уравнения равновесия без граничных условий не имеют определенного решения.
Именно таким образом решалась задача о концентрации напряжений, решение которой мы рассматривали во 2-й главе; контактная задача (задача Герца), решение которой мы использовали в главе 5-й при расчете на прочность зубчатых передач. Также методами теории упругости решалась и задача о напряжениях в стенках толстостенных цилиндров (рассм. В 2.11). И многое другое.
Однако, отметим, что, например, решая задачу кручения круглого стержня методом теории упругости, в котором не делается предварительных предположений о линейном распределении напряжений по радиусу, получаем те же формулы, что были выведены элементарными средствами сопротивления материалов.
То же имеем и с случае чистого изгибаю Это говорит о практической целесообразности использования элементарных средств сопротивления материалов для определения напряжений и деформаций в относительно простых, и часто встречающихся на практике, случаях.