- •Оглавление
- •1. Основы механики твердого тела 15
- •2. Основы механики деформируемого тела 23
- •5.1. Задачи науки 95
- •10. Список литературы 223 предисловие
- •Введение
- •Основы механики твердого тела;
- •Основы механики деформируемого тела;
- •1. Основы механики твердого тела
- •1.1. Статика
- •1.2. Кинематика
- •1.3. Элементы динамики
- •2. Основы механики деформируемого тела
- •2.1. Задачи науки
- •2.2. Общий подход
- •2.3. Перемещения и деформации
- •2.4. Напряжения
- •2.5. Модель деформируемого тела
- •2.6. Определение напряжений при растяжении
- •2.7. Механические свойства материалов
- •2.8. Сдвиг
- •2.9. Кручение круглых стержней
- •2.10. Изгиб прямого бруса
- •2.11. Сложное сопротивление
- •2.12. Прочность при циклически изменяющихся нагрузках
- •2.13. Колебания
- •2.14. Концентрация напряжений
- •2.15. Устойчивость равновесия упругодеформированных систем
- •2.16. Основы расчетов на прочность за пределами упругости
- •3. Металлоконструкции
- •4. Элементы механики механизмов и машин
- •4.1. Задачи механики машин
- •4.2. Основные определения
- •4.3. Кинематика шарнирно-рычажных механизмов
- •4.4. Силовой (кинетостатический) анализ механизмов
- •4.5. Механизмы для преобразования вращательного движения
- •5. Основы расчета на прочность типовых деталей машин
- •5.1. Задачи науки
- •5.2. Основные вопросы конструирования деталей
- •5.3. Передачи
- •5.4. Прямые круглые валы
- •5.5. Подшипники качения4
- •5.6. Соединения
- •6. Инженерное проектирование. Принятие инженерных решений
- •7. Более общие методы решения прочностных задач. Численные методы
- •7.1. Компоненты напряжений
- •7.2. Компоненты деформаций
- •7.3. Выражение деформаций через напряжения
- •7.4. Плоский случай (двухосное напряженное состояние)
- •7.5. Метод конечных элементов
- •7.6. Несколько слов об исчислении конечных разностей
- •8. Механика и экономика. Некоторые замечания.
- •9. Курсовое проектирование
- •9.1. Курсовое проектирование и его роль в подготовке инженера.
- •9.2. Указания по объему, содержанию, характеру проекта и порядку его выполнения.
- •9.3. Общие требования к выполненному проекту и его защите.
- •9.4. Содержание задания.
- •9.5. Примерный укороченный порядок выполнения курсового проекта (подробнее см. 9.2.1 - 9.2.30 и 9.3.1 – 9.3.10).
- •9.5.1. Последовательность работы.
- •9.6. Возможные варианты заданий.
- •9.7. Приложения. Нормативные материалы.
- •Механические характеристики сталей, применяемых в качестве материала для валов
- •Шарикоподшипники радиальные однорядные
- •Крышки глухие и сквозные
- •Шпонки призматические.
- •Втулки для подшипников качения
- •Нормальные диаметры валов (по госТу 6270)
- •9.8. Домашние задания.
- •10. Список литературы к главе 1
- •К главе 2
- •К главе 3
- •К главе 4
- •К главе 5
- •К главе 6
- •К главе 7
- •К главе 8
- •К главе 9
2.12. Прочность при циклически изменяющихся нагрузках
Многие детали машин и конструкций в процессе работы испытывают напряжения, циклически меняющиеся во времени. Например, вращающиеся валы, хотя внешние силы могут оставаться неизменными. Это связано с тем, что частицы вращающегося вала оказываются попеременно то в растянутой, то в сжатой зонах (рис.37).
, и .
Рис. 37
Таким образом, напряжения меняются по синусоиде с амплитудой (рис.38)
Рис. 38
Опыт показывает, что при переменном напряжении после некоторого числа циклов может наступить разрушение детали, тогда как при том же неизменном во времени напряжении разрушения не происходит. Число циклов до разрушения зависит от величины а и меняется для разных материалов в весьма широких пределах. Зависимость между действующим напряжением и числом циклов до разрушения N выражается так называемой кривой усталости, получаемой экспериментально (рис. 39).
Рис. 39
Под циклом понимается совокупность последовательных значений напряжений за период, т.е. наименьший отрезок времени, по истечении которого ситуация повторяется. Опытное испытание стальных образцов показывает, что если образец не разрушился за 107 циклов, то он не разрушится и при значительно более длительном испытании. Число циклов, до которого ведется испытание называется базовым числом или базой. Для стали – это 107. Для цветных металлов – 108. В результате испытания устанавливается то наибольшее значение максимального напряжения цикла при котором образец не разрушается до базы испытания. Это напряжение называется пределом усталости, и при симметричном цикле нагружения обозначается . В грубом приближении можно считать для сталей
,
для цветных металлов
.
2.13. Колебания
Собственные колебания систем с одной степенью свободы. Нужно построить модель этого явления. То есть представить его в виде задачи такой формы. С которой мы могли бы разговаривать языком математики. Поэтому деформирование всякой упругой системы удобно для ряда задач имитировать движением жесткой массы, связанной с безмассовой пружиной (динамические задачи прочности). Рассмотрим простейшую схему: пружина – подвижная жесткая масса m (рис. 40).
Рис. 40
При составлении уравнения движения используется принцип Даламбера, состоящий в том, что к движущейся с ускорением системе могут быть применены соотношения статики, при условии, что в число внешних сил включается сила инерции (уравнения равновесия переходят в уравнения движения). Имеем одно перемещение x и силу инерции .
Поскольку упругое перемещение равно произведению силы на жесткость (закон Гука), то получим
.
Под понимаем перемещение массы под действием статически приложенной единичной силы, определяемое жесткостью пружины. Получаем уравнение
или ,
где , , Т – период колебания.
Решение будет
,
где А – амплитуда, – фаза.
Если предположить, что собственные колебания системы происходят без затухания, т.е. при отсутствии сил сопротивления, то они будут продолжаться неопределенно долго. В действительности всегда есть силы, направленные против движения масс и приводящие к постепенному уменьшению амплитуды собственных колебаний. Природа сил сопротивления может быть разной (сопротивление воздуха, воды, масляного слоя в подшипниках, внутренней вязкости массы и т. п.).
Вынужденные колебания. Если, например, на систему действует сила, изменяющаяся по гармоническому закону
,
где F0 – максимальное значение силы, – круговая частота ее изменения , то уравнение движения примет вид
,
где – коэффициент пропорциональности между силой и скоростью. Или
.
Решение будет
,
где
,
.
Как видно, система участвует одновременно в двух колебательных движениях:
собственном колебательном движении, амплитуда и фаза которого определяются начальными условиями, это колебание является затухающим;
вынужденном колебательном движении с частотой возмущающей силы и сдвигом фазы . Оно не затухает. Это колебание называется вынужденным.
Амплитуда вынужденных колебаний
.
Перемещение, которое получила бы масса m при статическом приложении нагрузки F0 было бы F0. Следовательно, коэффициент
показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний больше статического перемещения.
При отсутствии затухания (n=0) и совпадении частот собственных и вынужденных колебаний (/=1) величина обращается в бесконечность, т. е. амплитуда неограниченно возрастает. При наличии затухания (n0) значение остается ограниченным, но в зоне совпадения частот имеет максимальное значение. Явление повышения амплитуды при совпадении собственных частот и возмущающей силы называется резонансом. C прочностной точки зрения резонанс всегда опасен.
Напряжения и перемещения при колебаниях. При колебаниях систем с одной степенью свободы полные деформации системы в каком-либо сечении могут быть найдены сложением статической деформации с добавочной деформацией при колебаниях. Для проверки прочности системы необходимо найти опасное сечение с наибольшей в процессе колебаний суммарной величиной деформации. В простейшем случае для этого можно сложить наибольшую статическую деформацию (перемещение) с наибольшей амплитудой
.
Пока система деформируется в пределах упругости, напряжения пропорциональны деформациям. Тогда
(2.21)
где КД – коэффициент динамичности при колебании. Условие прочности будет
.
И, наконец, заметим, что вибрация является источником шума в работающих машинах.