2.11. Сложное сопротивление

Мы рассмотрели основные виды деформирования стержней: растяжение, сжатие, сдвиг, кручение, из­гиб. Каждому из них соответствует своя специфическая схема нагружения с определенными силовыми факторами. Перейдем к общей задаче: дан призматический стержень, нагруженный произвольной системой сил. Нужно рассмотреть его напряженное и деформированное состояния. В такой постановке задача расчета стержней называется задачей сложного сопротивления.

Итак, в общем случае действуют силовые факторы

Как видно, сила F_х вызывает растяжение или сжатие, силы F_y и F_z – сдвиг, пара с моментом М_x – кручение, пары с моментами M_y и М_z – изгиб.

Таким образом, в задачах сложного сопротивления имеем те или иные сочетания из основных видов деформирования стержней. Рассмотрим некоторые задачи, наиболее часто встречающиеся в инженерной практике:

1. Изгиб с растяжением или сжатием.

2. Изгиб с кручением.

2.11.1. Изгиб с растяжением или сжатием. Совместное действие продольных и поперечных сил. Балка нагружена, например, силой F и поперечными силами, расположенными в одной из главных плоскостей балки (равномерно распределенные силы q) (рис. 34).

Рис.34

Действуют силовые факторы , , . .Сила F_x вызывает сжатие, сила F_z – сдвиг, момент M_y – изгиб. Пользуясь принципом независимости действия сил, определим напряжения от продольной силы и изгибающего момента от силы F_x , от момента : .

Полное нормальное напряжение в любой точке поперечного сечения будет

.

Наибольшее по абсолютной величине напряжение будет

Условие прочности будет .

Касательными напряжениями от перерезывающей силы в большинстве практических случаев можно пренебречь из-за их малости. Еще раз обратим внимание на то, что расчетные уравнения получены в предположении, что прогибы малы, что в большинстве случаев имеет место.

2.11.2. Изгиб с кручением. На практике изгиб довольно часто сопровождается кручением. Практически все валы машин и механизмов работают в таких условиях нагружения. Рассмотрим простую задачу на примере вала, нагруженного крутящим моментом Т, подаваемым на вал двигателем. Этот момент снимается с вала и передается дальше с помощью ременной передачи (рис.35).

Рис.35

Крутящий момент на валу Т=P/, окружная сила на шкиве ременной передачи F=2T/D (D – диаметр шкива). Прикладываем к оси вала (точка 0) две равные и противоположно направленные силы F'=F''=F. Получаем два силовых фактора: изгибающую силу F_y=F и крутящий момент М=Т. Расчет ведется по так называемому приведенному моменту

.

Напряжение определяется выражением . Должно соблюдаться условие .

Косой изгиб. Если изгибающий момент М не совпадает по направле­нию с одной из главных осей инерции сечения, то он разлагается на составляющие М_у и М_z по главным осям инерции. Имея в виду принцип суперпозиции, нормальное напряжение в точке с координа­тами y, z будет

(*)

Нейтральная ось определится из (*), в которой нужно положить =0.

2.11.3. Толстостенные цилиндры. В качестве третьего примера задачи на сложное сопротивление рассмотрим прочность толстостенной трубы, случай также широко встречающийся в инженерных расчетах. Подобные детали широко распространены в различных промышленных аппаратах и устройствах. Пусть цилиндр нагружен осесимметричной нагрузкой, не меняющейся вдоль оси цилиндра. Размеры цилиндра произвольны и на соотношение между внутренним и наружным радиусами ограничений не накладывается. Чаще всего нагрузкой цилиндра является внутреннее давление p₁. Для оценки прочности цилиндра нужно знать напряжения в его стенках (рис. 36).

Рис. 36

Опуская процедуру решения задачи запишем само решение

,

где _r – напряжение в радиальном направлении и _t – в тангенциальном;

r – текущий радиус.

Существенно проследить, как меняются напряжения _r и _t по мере уменьшения толщины стенки цилиндра. Принимая r₂=r₁+, получим

При малом 

.

Значения _r у внутренней поверхности равны -р₁, а у внешней –нулю, независимо от толщины цилиндра. Таким образом, при малом  напряжение _t распределяется по толщине стенки почти равномерно и радиальные _r малы по сравнению с окруж­ными _t в той же мере, как мала  по отношению к r . При r₂  (цилиндр бесконечной толщины)

,

т. е. радиальные напряжения в каждой точке равны окружному и при отсутствии осевых напряжений все точки находятся в состоянии чистого сдвига. При отношении можно считать цилиндр бесконечной толщины.