12.2. План перевірки статистичних гіпотез

1. Формулюють нульову Н₀ та альтернативну Н₁ гіпотези;

2. Вибирають статистичну характеристику Z, за значеннями якої перевіряють правильність гіпотези Н₀;

3. Визначають рівень значущості α і відповідне йому критичне значення Z_1-α; залежно від формулювання гіпотез Н₀ і Н₁ крити­чна область може бути одно- або двосторонньою;

4. За результатами вибірки розраховують фактичне (вибірко­ве) значення статистичної характеристики Z, яке порівнюють з критичним Z_1-α; якщо Z > Z_1-α, гіпотеза Н₀ відхиляється, при Z < Z_1-α – приймається.

12.3. Критерії

1. Критерій Пірсона (c²).

Для перевірки гіпотези про розподіл генеральної сукупності засто­со­вують критерій Пірсона (χ²). Для перевірки основної гіпотезу H₀ про те, що генеральна сукупність розподілена нормально (при заданому рівні значу­що­сті a), треба

1. обчислити теоретичні частоти n(;k для варіант вибірки;

2. обчислити спостережене значення критерію c² за формулою

;

3. знайти ступінь свободи за формулою k = m – 3 (m – кількість варіантів вибірки або часткових інтервалів варіант);

4. в таблиці знайти критичну точку , яка відповідає заданому рівню значу­щості a та ступенем свободи k;

5. якщо , то гіпотезу H₀ треба прийняти; якщо , то гіпотезу H₀ треба відхилити.

2. Закон Ст’юдента.

Нехай є дві нормально розподілені генеральні сукупності, що ма­ють рівні дисперсії, а математичні сподівання, взагалі кажучи, різні. Із сукупностей зробимо вибірки об’єму відповідно n₁ та n₂ і знайдемо вибіркові середні та , а також виправлені дисперсії S₁ та S₂ відповідно. Перевіримо гіпотезу H₀: a₁ – a₂ = c₀ (H₁: a₁ – a₂ ¹ c₀).

Для цього за вибіркову функцію візьмемо функцію

,

яка розподілена за законом Ст’юдента зі ступенями волі, що дорівнює n₁ + n₂ –2. Для заданого рівня значущості a за допомогою таблиць можна знайти критичну область для статистич­ної характе­рис­ти­ки n з врахуванням альтернативної гіпотези H₁.

12.4. Приклад перевірки статистичної гіпотези

Порядок перевірки статистичних гіпотез розглянемо на прикладі співвідношення середніх двох сукупностей. Припустимо, ведеться вибірковий контроль тривалості служби деталей одного виду, виго­товлених за різними технологіями. Контролю піддано 5 деталей, ви­готовлених за старою технологією, і 4 – за новою, тобто п₁ = 5, п₂ = 4. Вибіркові оцінки середніх і дисперсій відповідно становили: = 580 год. при = 308; = 612 год. при = 329.

Різниця між середніми ( – ) = (612 – 580) = 32 год.

Потрібно визначити, чи істотна ця різниця, тобто чи зумовлена вона відмінностями технологій, чи випадкова. Нульова гіпотеза формулюється на припущенні, що відхилення середніх випадкові Н₀: = . Альтернативна гіпотеза передбачає, що нова технологія збільшує тривалість служби деталі: Н_a: > . За такого формулю­вання Н_a виконується одностороння (правостороння) перевірка.

Статистичною характеристикою гіпотези Н₀: = є нормо­ване відхилення середніх

,

яке підпорядковане розподілу Ст’юдента з числом ступенів сво­боди .

У нашому прикладі = 5 + 4–2 = 7; оцінка дисперсії розрахо­вується як середня арифметична зважена з дисперсій, що харак­теризують варіацію тривалості служби деталей за кожною техно­логією

;

значення t-критерію

.

Перевіримо гіпотезу Н₀ проти Н₁ з рівнем значущості α = 0,05. За даними табл. 12.2 критичне значення t₀,₉₅(7) = 1,89, що менше за фактичне (t = 2,37). Отже, нульова гіпотеза Н₀: = відхиля­ється, і з імовірністю 0,95 можна стверджувати, що нова техноло­гія збільшує термін служби деталей.

Таблиця 12.2.

Значення квантілів розподілу t розподілу Стьюдента α = 0,05

Число ступенів свободи	Для критерію
	двостороннього	одностороннього
4 5 6 7 8 10 15 20 30	2,78 2,57 2,45 2,38 2,31 2,23 2,13 2,09 2,04 1,96	2,13 2,01 1,94 1,89 1,86 1,81 1,75 1,73 1,70 1,64

У разі двосторонньої перевірки гіпотези, коли Н_a:   ≠  , використовують критичне значення для , наприклад при α = 0,05 це буде t₀,₉₇₅( ).

Процедура перевірки гіпотез використовується при порівнянні вибіркових характеристик (середньої, частки, дисперсії) з відпо­відними нормативами, порівнянні характеристик двох вибіркових сукупностей, оцінюванні істотності розбіжностей двох розподі­лів, у дисперсійному та кореляційному аналізі.