
- •Медведева н.С., Моисеева ю.А., Степанов а.Г., Усикова и.В. Системы поддержки принятия решения Оптимальные методы и теория принятия решений
- •Содержание
- •2.5. Однокритериальная статическая задача в условиях неопределенности 60
- •2.6. Многокритериальные задачи 79
- •2.7. Динамические задачи разработки управленческого решения 86
- •2.8. Рациональные решения 101
- •2.9. Экспертные методы 107
- •Введение
- •1.Оптимальные методы
- •1.1.Методы поиска экстремумов функций
- •1.2.Учет ограничений на значения переменных
- •1.3.Использование Excel для поиска экстремумов функций
- •Лабораторная работа №1. Методы поиска экстремумов с помощью надстройки Поиск решения пакета Excel Задание
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Отчет о работе
- •2.Теория принятия решений
- •2.1.Основные понятия теории принятия решений
- •2.2.Математическая классификация задач разработки управленческого решения
- •2.3.Однокритериальная статическая задача разработки управленческого решения в условиях определенности
- •Лабораторная работа №2. Решение однокритериальной статической задачи в условиях определенности Задание
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Отчет о работе
- •2.4.Однокритериальная статическая задача разработки управленческого решения в условиях риска
- •Метод сведения задачи в условиях риска к детерминированной
- •Лабораторная работа №3. Решение однокритериальной статической задачи в условиях риска методом сведения стохастической задачи к детерминированной Задание
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Отчет о работе
- •Методы оптимизации в среднем
- •Алгоритмический метод решения задачи в условиях риска
- •Лабораторная работа №4. Решение однокритериальной статической задачи в условиях риска алгоритмическим методом Задание
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Отчет о работе
- •Метод Монте-Карло при решении задачи в условиях риска
- •Лабораторная работа №5. Решение однокритериальной статической задачи в условиях риска методом Монте-Карло Задание
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Отчет о работе
- •Задачи в условиях риска с несколькими стохастическими параметрами
- •2.5.Однокритериальная статическая задача в условиях неопределенности
- •Игры с противником.
- •Лабораторная работа №6. Решение однокритериальной статической задачи в условиях неопределенности при играх с противником Задание
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Отчет о работе
- •Игры с природой.
- •Лабораторная работа №7. Решение однокритериальной статической задачи в условиях неопределенности при играх с природой Задание
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Отчет о работе
- •Игры с природой с экспериментами.
- •Лабораторная работа №8. Решение однокритериальной статической задачи в условиях неопределенности при играх с природой с экспериментами Задание
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Отчет о работе
- •2.6.Многокритериальные задачи
- •Лабораторная работа №9. Решение многокритериальной задачи Задание
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Отчет о работе
- •2.7.Динамические задачи разработки управленческого решения Общая постановка динамической задачи разработки управленческого решения
- •Метод сетевого планирования
- •Методы теории массового обслуживания
- •Метод динамического программирования
- •Задача управления запасами
- •Методы вариационного исчисления и теории оптимального управления
- •Метод сведения дискретной динамической задачи к статической
- •Лабораторная работа №10. Решение дискретной задачи разработки управленческого решения методом сведения динамической задачи к статической Задание
- •Порядок выполнения работы
- •Контрольные вопросы
- •Отчет о работе
- •2.8.Рациональные решения Общий алгоритм разработки управленческого решения
- •Нереализуемые оптимальные решения
- •Разработка альтернатив для принятия рациональных решений
- •2.9.Экспертные методы Определение круга экспертов
- •Задачи, решаемые при проведении экспертизы
- •Разработка анкеты
- •Разработка методов обработки результатов
- •Проведение анкетирования, обработка и выдача результатов и принятие решения
- •Литература
- •Приложение а. Пример титульного листа отчета о выполнении лабораторной работы3.
- •Приложение б. Содержание отчетов о выполнении лабораторных работ Пример содержания отчета по лабораторной работе №2 «Решение однокритериальной статической задачи в условиях определенности»
- •Пример содержания отчета по лабораторной работе №3 «Решение однокритериальной статической задачи в условиях риска методом сведения стохастической задачи к детерминированной»
- •Пример содержания отчета по лабораторной работе №4 «Решение однокритериальной статической задачи в условиях риска алгоритмическим методом»
- •Пример содержания отчета по лабораторной работе №5 «Решение однокритериальной статической задачи в условиях риска методом Монте-Карло»
- •Пример содержания отчета по лабораторной работе №6 «Решение однокритериальной статической задачи в условиях неопределенности при играх с противником»
- •Пример содержания отчета по лабораторной работе №7 «Решение однокритериальной статической задачи в условиях неопределенности при играх с природой»
- •Пример содержания отчета по лабораторной работе №8 «Решение однокритериальной статической задачи в условиях неопределенности при играх с природой с экспериментами»
- •Пример содержания отчета по лабораторной работе №9 «Решение многокритериальной задачи»
- •Пример содержания отчета по лабораторной работе №10 «Решение дискретной задачи разработки управленческого решения методом сведения динамической задачи к статической»
- •Предметный указатель
Игры с противником.
Рассмотрим
задачу разработки управленческого
решения с одним неопределенным фактором
,
принимающим только два возможных
значения
при выборе противником соответственно
стратегий
и
.
Заметим, что хотя мы не знаем, какие
конкретно значения на практике будут
принимать неопределенные факторы, но
мы можем предположить, что они примут
определенные значения и вести дальнейшие
рассуждения в отношении именно
предполагаемых нами значений
.
Будем считать, что этот фактор влияет
на критериальную функцию
или на ограничения
.
Найдем два оптимальных решения
и
,
с учетом двух возможных и предполагаемых
нами стратегий противника
и
соответствующие выражениям
Полученные
решения
и
представляют собой наши наилучшие
действия (стратегии)
и
в том случае, когда мы угадали дальнейшее
развитие событий. Используя уже полученные
решения
и
,
рассчитаем значения показателя
эффективности при условии, что мы не
угадали ответ противника:
Занесем полученные значения в так называемую платежную матрицу, где строки и представляют собой наши возможные стратегии, а столбцы и возможные стратегии противника
Стратегии |
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что аналогичная матрица может быть построена и при большем числе возможных стратегий , а также при большем числе неопределенных факторов .
Отыщем
решение игры, пользуясь методами теории
игр. Найдем нашу оптимальную стратегию,
не зависящую от действий противника. В
этом случае возникает вопрос о выборе
критерия оптимальности. Например, в
качестве используемой стратегии можно
выбрать стратегию, которая приносит
возможный максимальный выигрыш. Такая
стратегия может оказаться весьма
рискованной, поскольку в конкретной
ситуации противник может ответить
стратегией, приводящей к большему
проигрышу. Более разумным представляется
воспользоваться стратегией, которая
минимизирует наш возможный проигрыш.
Обозначим
минимальный выигрыш при выборе стратегии
при всех возможных стратегиях противника
.
Из всех возможных наших стратегий выберем стратегию, которая обеспечит нам наибольшее значение нашего минимального выигрыша
.
Назовем
нижней ценой игры (наш гарантированный
выигрыш при любой стратегии противника).
Если цели игроков противоположны, что имеет место в антагонистической игре, то противник заинтересован уменьшить наш выигрыш, и будет выбирать соответствующие стратегии. Вполне естественно предположить, что противник владеет методами оптимизации и теории игр и в свою очередь проводит аналогичные вычисления. Тогда полученная им платежная матрица будет иметь другие числовые значения, но ее смысл в отношении выбираемых стратегий не изменится. Поэтому мы можем анализировать возможные стратегии противника исходя из имеющейся у нас нашей платежной матрицы. Очевидно, что все это справедливо только в том случае, когда мы рассмотрели все возможные стратегии противника.
Примечание. Если противник не будет пользоваться оптимальными методами, то это просто приведет к его дополнительному проигрышу.
Найдем наш максимальный выигрыш при каждой стратегии противника
.
Для того чтобы минимизировать свой проигрыш, противник выберет стратегию, в которой наш выигрыш минимален
.
Назовем
выигрыш
верхней ценой игры. Очевидно, что если
по каким-то причинам противник не
воспользовался своей оптимальной
стратегией, то наш выигрыш только
возрастет. Если верхняя и нижняя цены
игры совпадают, то их значение
называют чистой ценой игры
.
Стратегии,
соответствующие чистой цене игры,
называются чистыми, а их совокупность
дает оптимальное решение. Используя
оптимальное решение, мы получаем
минимальный гарантированный выигрыш
независимо от поведения противника.
Пара чистых стратегий
и
дает оптимальное решение игры тогда и
только тогда, когда соответствующий им
элемент
является одновременно наибольшим в
своем столбце и наименьшим в своей
строке. Такая ситуация называется
седловой точкой, а соответствующая ей
игра - игрой с седловой точкой.
Если
седловая точка в платежной матрице
отсутствует, то существует несколько
наших чистых стратегий и стратегий
противника, позволяющих получить цену
игры. Выбор нами одной из стратегий
наталкивается на естественное
противодействие противника, желающего
минимизировать свой проигрыш и выбирающего
ответную стратегию с учетом информации
о нашем выборе. Это обстоятельство
приводит к тому, что мы вынуждены хранить
свой выбор в тайне и, кроме этого,
чередовать свои стратегии при многократном
повторении игры по случайному закону.
Если так не делать, то противник привыкнет
к тому, что мы играем одинаково, и с
учетом этого будет строить свою игру.
Смешанной стратегией
называется применение стратегий
,
,...,
с вероятностями
,
,…,
,
причем
.
(8)
Будем записывать смешанные стратегии в виде матрицы
,
или в
виде вектора
.
Смешанные стратегии противника запишем
аналогично, обозначая соответствующие
вероятности буквой
:
,
,
или
.
Найдем оптимальную стратегию
,
обеспечивающую нам средний выигрыш не
меньший, чем цена игры
(
).
Математическое ожидание нашего выигрыша
при реализации противником стратегии
.
Если
- цена игры, то при условии
имеем набор
ограничений
.
Учитывая
(8), будем искать набор
,
обеспечивающий максимальную цену игры
,
для чего сделаем замену переменных
.
Запишем итоговые выражения для целевой
функции и ограничений задачи оптимизации
выбора стратегий
и решим
задачу линейного программирования.
Элементы нашей оптимальной смешанной
стратегии
определяются подстановкой
.
Оптимальная смешанная стратегия
противника определяется аналогично:
а задача линейного программирования формулируется в виде
Тогда результатом решения задачи разработки управленческого решения будет последовательность наших стратегий, реализуемых по случайному закону с заданными вероятностями их появления.