1.6. Методи і засобиk-значного кодування з надлишком

1.6.1. Метод та засоби надлишкового двоосновного кодування

У разі k-значного відображення інформації існують додаткові можливості реалізації надлишкових кодів, що базуються на специфіці зображення інформації в дискретних пристроях під час використання некласичних позиційних систем числення [130, 131].

Суть такого способу надлишкового k-значного кодування інформації в тому, що значність k відображення інформації вибирається більшою, ніж числове значення основи системи числення r, за правилами якої опрацьовується інформація.

У позиційній системі числення довільне число зображається як

, (1.20)

де ,S_i – цифра та вага і-го розряду зображення числа відповідно; n – число розрядів у зображенні коду.

У випадках, коли основа r системи числення менша, ніж значність k зображення інформації (r < k), можливе надлишкове зображення довільного числа N k-значним кодом [131].

Оскільки попередні дослідження [58] показали, що просторові k-значні структури статичного типу дозволяють реалізувати значності k= 3...16, то метод надлишкового кодування може використовувати значення основ k = = 10...16 для першої системи числення, а для другої системи числення – основи r = 3, 4, 5, 6, 7. Це випливає з того, що при k2r неоднозначне зображення в надлишковій системі числення будуть мати практично всі числа, причому для r = 3, ..., 5 доцільно вибрати k = 10, а для r = 6...8 – k = 16.

Отже, нехай значність зображення інформації k = 10, основа системи числення r = 4. При цьому, для прикладу, число 230 може бути зображене одним із таких значень k-значного коду: 3212, 3206, 3152, 3146, 3086, 3092, 2606, 2612, 2552, 2492, 2546, 2486, 1952, 1946, 1892, 1886. Дійсно: 34³ + 24² + + 14⁰ = 34³ + 14² + 54¹ + 24⁰ = ... = 14³ + 84² + 84¹ + 64⁰ = 230. Таким чином, зображення числа 230 у цьому разі є надлишковим кодом із коефіцієнтом надлишковості = 16.

Наведені значення кодів формуються пристроєм (рис. 1.18) із допомогою алгоритму паралельно-послідовного віднімання від довільного числа N значень вагових констант , що надходять із блоку формування констант 1. Під час цього використовується набір цілих степенів основи системи числення, помножених на. Число констант, що віднімається з числаN та остачі R_i у блоках 2 віднімання всіх розрядів, дорівнює k– 1. Після віднімань на виходах остач кожного з блоків віднімання 2 з’являється k– 1 остача R_i. Із остач R_i віднімаються по k– 1 констант і тому в кожному наступному розряді, починаючи зі старшого, число віднімачів у блоках віднімання 2 дорівнює (k– 1)^j, де j – номер розряду, починаючи зі старшого. До складу блоків 2 віднімання входять віднімачі та ключі комутатора.

Рис. 1.18. Структурна схема просторового пристрою формування надлишкового двоосновного k-значного коду

1.6.2. k-значні коди Рiда – Соломона з крос-перемежуванням

Потрібно зазначити, що в реальних умовах помилки в бiльшостi випадкiв є залежними (корельованими) і згрупованi в пакети. Для боротьби з ними використовуються не систематичнi, а k-значнi каскаднi груповi коди [52, 131-138] із перемежуванням символiв скiнченного поля Ґалуа в процесi кодування, зокрема k-значні коди Рiда – Соломона з крос-перемежуванням (Cross-Interleaved Reed – Solomon Code (CIRC-коди)), властивості яких розглядаються далі.

Звичний для систем, у яких вимагається застосовувати дуже потужні коректуючі коди, метод реалізації полягає в каскадуванні двох чи більше лінійних кодів, що дозволяє підвищити кодову відстань d. Каскадні коди були уведені Г.Д. Форні [129] як метод практичної реалізації коду з дуже великою довжиною блоку та високою коректуючою здатністю. Використовуючи для зовнішнього коду код Ріда – Соломона та підбираючи відповідним чином внутрішній код, Форні довів, що у двозначному симетричному каналі при довільних швидкостях, що менші, ніж перепускна здатність, ймовірність помилки декодування для каскадного коду зі зростанням числа символів n₀ прямує експоненційно до нуля.

Найбільшого поширення набула схема з двома рівнями кодування. Одним із кодів, він називається зовнішнім, як правило, є код Ріда – Соломона; як внутрішній – можна використати будь-який інший код, та ми будемо опиратися на однотипні підходи в обох каскадах, тобто використовувати одноалфавітне кодування. Такі коди ще іноді називають ітеративними.

Нехай С₀ – лінійний (r₀, n₀)-код над полем ґалуа GF(k^m) та С₁ – лінійний (r₁, n₁)-код над полем GF(k). Каскадним кодом зі зовнішнім кодом С₀ та внутрішнім кодом С₁ називається лінійний k-значний (r₀r₁, n₀n₁)-код із кодовою відстанню d = d₀d₁, що будується таким чином. Повідомлення Q на першому кроці кодується зовнішнім (r₀, n₀, d₀)-кодом, а на другому – внутрішнім (r₁, n₁, d₁)-кодом, у проміжках – здійснюється перемежування.

Під час декодування кодового слова здійснюються такі операції (рис. 1.9): декодування внутрішнього (r₁, n₁, d₁)-коду, деперемежування, декодування зовнішнього (r₀, n₀, d₀)-коду. На перший каскад декодера покладається завдання знаходження помилок (до (d₁ – 1) одиниць); він також відмічає всі символи кодових слів, що містять помилки. Деперемежувач розносить ці символи по різних кодових блоках. Другий каскад декодування працює в режимі виправлення помилок (стирань) (до (d₀ – 1) одиниць). Комбінацію внутрішнього кодера, каналу та внутрішнього декодера називають суперканалом; комбінацію внутрішнього та зовнішнього кодерів називають суперкодером, а внутрішнього і зовнішнього декодерів – супердекодером [138].

Рис. 1.9. Блок-схема принципу двоетапного каскадного кодування з допомогою CIRC-коду

CIRC-код, що ліг в основу розробки математичних моделей, включає в себе два етапи кодування з перемежуванням, причому внутрішнім є код Ріда – Соломона (32; 28), а зовнішнім – код Ріда – Соломона (28; 24) над полем Ґалуа GF(2⁸). Оскільки кожний із вказаних кодів має мінімальну кодову відстань d = 5, то він може виправляти до двох помилок чи чотирьох стирань, або довільну комбінацію з r помилок та t стирань таких, що t + 2r d – 1.

Вiдповiдно до [133-137] процедура декодування, за якою на етапi декодування С1 виявляються та виправляються до двох помилок, а на етапi С2 – вiдшукуються до чотирьох помилок, отримала позначення, як стратегiя декодування С24.