2.4. Аналіз узагальнених статистичних параметрівk-значних структур

Сучасні результати досліджень [76], що стосуються визначальних внутрішніх характеристик і параметрів k-значних структур, не описують і не вирішують проблеми створення (проектування, забезпечення працездатності, взаємозамінюваності тощо) на їх основі універсальних k-значних статичних просторових структур. Подальший прогрес у розвитку теорії суттєво залежить від узагальнення і систематизації на єдиній методологічній основі зі застосуванням взаємопов’язаних методів подання k-значної структури у вигляді єдиного інформаційного каналу. Такий підхід [158, 159] дає можливість математичного опису і відповідної формалізації накопиченого досвіду, розвитку й удосконалення системи понять, узгоджених із термінологією і поняттями теорії інтелекту. Зокрема, для цього необхідні узагальнені математичні моделі точності дії k-значних структур на етапах розпізнавання та формування багаторівневих сигналів, які теоретично доповнили б і розвинули принцип базису.

Оскільки k-значні структури симбіотично включають до свого складу і двозначні (значність k = 2 є складовою частиною будь-якої вищої значності), то почнемо випрацювання критеріїв їх сумісного співіснування, виходячи з аналізу оцінки точності роботи структур з одиничним кроком квантування, тобто з аналізу властивостей двозначних структур. При цьому середньоквадратичне відхилення _ кроку квантування визначається [58] через абсолютне відхилення кроку квантування  і параметр інтеграла ймовірностей U, який відповідає заданому рівню ймовірності безвідмовної роботи):

(2.14)

Лема. У k-значних структурах, де вхідні/вихідні повiдомлення передаються та перетворюються в дискретно-квантованi сигнали з рiвномiрним кроком квантування, функцiя розподiлу похибки описується нормальним законом, а відносне середньоквадратичне вiдхилення  одиничного кроку квантування (як рiвня напруги чи струму) визначається відношенням величини абсолютного вiдхилення  кроку квантування до математичного очікування кроку квантування та параметра iнтеграла ймовiрностейU, що вiдповiдає заданому рiвню ймовiрностi безвiдмовної роботи.

Доведення. Приймемо, що похибка (величина абсолютного вiдхилення) кроку квантування для довiльної k–значної структури залежить вiд багатьох випадкових факторiв, кожний з яких впливає незначно, порiвнюючи зі сумарною дiєю всiх решти, тому функцiя розподiлу похибки описується нормальним законом i, як наслiдок, імовiрнiсть того, що вихiдний сигнал структури потрапить у заданий припустимий дiапазон вiдхилень, визначається iнтегралом ймовiрностей із вiдповiдним значенням параметра U, тобто P = f(U):

, (2.15)

де – функція Лапласа.

Перейдемо до нормованого параметра – вiдносного середньоквадратичного вiдхилення (ВСВ) кроку квантування, роздiливши праву та лiву частини виразу (2.14) на математичне очікування кроку квантування :

. (2.16)

Таким чином, лема доведена. Отримана дискретно-аналогова математична модель описує ВСВ сигналів структури з одиничним кроком квантування (двозначної структури).

Аналiз [158, 159] показав, що для двозначних структур величина припустимого ВСВ кроку квантування перебуває в межах 0,133...0,38 при забезпеченнi означеного дiапазону ЙБР. Зауважимо, що для двозначних структур потрібне значення ЙБР забезпечується за наявностi запасу порядку 10³ щодо точностi, порiвняно з точнiстю мікроелектронних аналогових перетворювачiв.

Таким чином, результати оцiнок показують наявнiсть значного запасу точностi у двозначних структур, що й пiдтверджується їх високою надiйнiстю та взаємозамiнюванiстю, оскільки нескладно задовольнити нежорсткі вимоги щодо припуску на відхилення вихідних та вхідних сигналів порядку 20–35%.

За індукцією, перейдемо до оцінок точності роботи k-значних структур, накладаючи відповідні обмеження на роботу двозначних.

Теорема. Відносне середньоквадратичне відхилення (ВСВ) вхідного чи вихідного сигналу довільної k-значної структури, що забезпечує заданий рівень ймовірності її безвідмовної роботи, визначається відношенням відносного відхилення фізичного значення кроку квантування до величини значності, що реалізується структурою, та значення параметра інтеграла ймовірностей для заданого рівня надійності:

_Xвих . (2.17)

Доведення. У загальному випадку для k-значних структур, зображених у вигляді єдиного інформаційного каналу, число рiвнiв квантування збiльшується зі зростанням значностi структурного алфавiту. Отже, зі зростанням амплiтуди вихiдного сигналу зростає число квантiв, що входить у динамiчний дiапазон зміни k-значних сигналів. Через цю обставину величина ВСВ вихiдного сигналу повинна бути в k– 1 разів меншою, порівняно зі двозначним випадком, для надiйного потрапляння амплiтуди k-значних сигналів у заданий дiапазон допустимого відносного вiдхилення під час їх формування та розпізнавання [158].

Тодi теорему (2.17) про ВСВ вихідного/вхідного сигналу k-значної структури, що визначає задану ймовірність правильної роботи, доведено.

Отримана аналiтична залежнiсть є узагальненою математичною моделлю точної дії статичних k-значних структур із довiльною значнiстю структурного алфавiту, оскільки охоплює своїм описом як дво-, так i k-значнi структури. Крім того, уперше, під час оцінки точності роботи цифрових структур із довільною вихідною інформаційною ознакою, вжито ймовірність P {x₁ < X < x₂} потрапляння випадкового k-значного сигналу (у даному разі дискретизованої фізичної величини вхідного чи вихідного сигналу структури), яка підпорядковується нормальному законові, в інтервал  (крок квантування). Це й дало суттєво новий підхід до оцінки точності роботи k-значних структур і нову узагальнену фізико-математичну модель оцінки й опису роботи довільної k-значної структури та принципів її побудови, проектування та оптимізації, нову їх теорію точності. Через оцінки точності дії k-значних структур вперше встановлено їх місце у проміжку між аналоговими та цифровими засобами у ряду мікроелектронних засобів моделювання систем штучного інтелекту.

Для ілюстрації порівняльного аналізу дво- та k-значних структур на рис. 2.5, наведена тривимірна залежність _Xвих = f(P_пом) для k = 3, 4, 8, 16; = 0,5 iР_пом = 10^-3...10^-4. Перехід до Р_пом, як аргументу функції, пов’язаний із тим, що саме цей параметр вживається як основний в теорії кодування і дає можливість ув’язати в єдине ціле результати дослідження точності з інформаційними параметрами та характеристиками апаратурних каналів із k-значним кодуванням.

Рис. 2.5. Залежність ВСВ від ймовірності помилки та значності для

k = 3, 4, 8, 16; = 0,5 iР_пом = 10^-3...10^-4

Аналiз цих залежностей показав, що правильна робота k-значних структур та їх взаємозамiна, при заданому рiвнi ЙБР, можуть бути забезпеченi для k = 3...16 та припуску _Xвих = 18...0,88%, відповідно.

Аналіз залежностей показує, що величина припустимого ВСВ вихідного сигналу суттєво залежить від значності й приймає екстремальні значення в області k = 2...4, зростання величини ймовірності помилки P_пом також веде до зростання ВСВ, і навпаки – зі зростанням k спостерігається різкий спад величини ВСВ. Крім цього, слід зауважити, що отримана залежність має далеко не лінійний характер, що надає широкі можливості для оптимального вибору параметрів k-значних структур і розробки відповідних методів їх оптимізації.

Таким чином, порiвняно зі двозначними структурами статичні k-значнi структури володiють 80-кратним запасом жорсткостi припускiв на вiдхилення своїх квантованих за рiвнем сигналiв i k-значні структури займають проміжне становище щодо жорсткості припусків ВСВ між двозначними та аналоговими й крайньою гранню забезпечення працездатностi i взаємозамiнюваності є значнiсть порядку 16. Бiльше того, оскільки k-значнi структури є дискретно-аналоговими структурами, то можна стверджувати, що створення статичних k-значних просторових структур, у такому разі, не вимагає нових схемотехнiчних рiшень і може бути забезпечене шляхом симбiозу сучасних двозначних та аналого-дискретних засобiв.