3.3. Імовiрнiсть помилки пiд час декодуванняk-значних систематичних кодiв

Інформаційний k-значний апаратурний канал і код характеризуються ймовiрнiстю помилки P_пом [121–126], яка є одним з основних параметрiв (див. підрозділ 1.5). Якщо помилки в k-значному повiдомленнi виникають незалежно одна вiд одної, то їх розподiл пiдпорядковується бiномному розподiловi. Імовiрнiсть розподiлу помилок декодування Р_пом для даного числа символiв n та числа помилок r, що коректуються, описується спiввiдношенням:

, (3.9)

де i – кратнiсть помилки в послiдовностi; L = k₀t; k – значність; ₀ – інтенсивність структурних завад в апаратурному каналі; t – час безвідмовної роботи каналу.

Для аналiзу та розрахункiв ймовiрностi помилки пiд час розпізнавання k-значних коректуючих кодiв в апаратурному каналі використовується [123, 124] така форма запису даного розподiлу:

. (3.10)

На рис. 3.8 наведено результати оцінок ймовірності помилки кодового повідомлення із k-значним систематичним кодом, отримані згідно з виразом (3.10), за умов зміни значності в межах k = 3 ... 16; n = 3 ... 9, 20; ₀t = 0,001 ... 0,1; r = 0 ... 6.

Аналіз отриманих результатів показує, що ймовірність помилки під час приймання кодового слова зменшується зі збільшенням числа n розрядів коду та зменшенням абсолютної величини добутку ₀t і значності k. Так, змінюючи значність із 3 до 16, при n = 3, ₀t = 0,01 та r = 0 – P_пом = 0,00256 ... 0,05911, а при n = 9, ₀t = 0,01, r – 0 – P_пом = 0,02738 ... 0,39308.

Рис. 3.8. Залежність ймовірності помилки кодового повідомлення від значності при k-значному надлишковому кодуванні

Тривимірна картина (рис. 3.9) дає дещо повніше й складніше уявлення залежностей P_пом від параметрів і характеристик апаратурних каналів. Із неї видно, що зі зростанням k, при малих абсолютних величинах добутку ₀t, величина ймовірності суттєво зменшується, аналогічна картина спостерігається за умови інверсії змін вказаних параметрів. Різкий спад величини ймовірності помилки відбувається за умови, коли добуток k₀t0,7. Cтабільним і доконаним фактом є те, що значності порядку 2 ... 3 є найбільш нестійкими, тобто із високою ймовірністю помилки в повідомленні.

Рис. 3.9. Тривимірне зображення залежності ймовірності помилки від значності, інтенсивності відмов та часу

Слід зазначити, що в реальних умовах помилки в бiльшостi випадкiв є залежними (корельованими) і згрупованi в пакети. Для боротьби з ними використовуються не систематичнi, а k-значнi каскаднi груповi коди [52, 131, 132, 136, 137] із перемежуванням символiв скiнченного поля ґалуа в процесi кодування, зокрема k-значні коди Рiда – Соломона з крос-перемежуванням [Cross-Interleaved Reed – Solomon Code (CIRC-коди)], до розгляду властивостей P_пом для яких ми переходимо.

Звичний для систем, у яких вимагається застосовувати дуже потужні коректуючі коди, метод їх реалізації полягає в каскадуванні двох чи більше лінійних кодів, що дозволяє підвищити кодову віддаль d. Каскадні коди були уведені Г. Форні [131] як метод практичної реалізації коду з дуже великою довжиною блока та високою коректуючою здатністю. Використовуючи як зовнішній код Ріда – Соломона та підбираючи відповідним чином внутрішній код, Форні довів, що у двозначному симетричному каналі при довільних швидкостях, що менші, ніж перепускна здатність, ймовірність помилки декодування для каскадного коду зі зростанням числа символів n₀ прямує експоненційно до нуля.

Найбільшого поширення набула схема з двома рівнями кодування. Одним із кодів, він називається зовнішнім, як правило, є код Ріда – Соломона, як внутрішній – можна використати будь-який код, та ми будемо опиратися на однотипні підходи в обох каскадах, тобто використовувати одноалфавітне кодування. Такі коди ще іноді називають ітеративними.

Вiдповiдно до [52, 132, 137] процедура декодування, при якiй на етапi декодування С1 виявляються та виправляються до 2 помилок, а на етапi С2 – вiдшукуються до 4 помилок, отримала позначення як стратегiя декодування С24.

Характерною особливістю будь-якої стратегiї, зокрема і С24, є можливiсть хибної тривоги [137], тобто визнання помилковим блоку, число помилок в якому не перевищує 4. Але остаточне рiшення щодо властивостей рiзних стратегiй декодування може бути прийняте тiльки на основi порiвняльного аналiзу та на основi аналiзу за критерiями ймовiрностi правильної роботи всього тракту CIRC-кодера/декодера. Імовiрнiсть помилкового байтного символу в блоках iз 28 символiв для стратегiї С24 визначається так:

, (3.11)

де ;– імовiрнiсть появи кодового слова з прапорцем пiсля процедури декодуванняС1, причому

–ймовірність появи mодноcимвольних помилок; IE (In Error) – ймовірність помилки на входi декодера; – імовiрнiсть появи помилки пiсля декодераС1.

Вираз справедливий за умови, що число помилок у С1 кодовій послiдовностi завжди кратне l.

Ураховуючи характерну властивість стратегiї С24 (можливiсть хибної тривоги), вiдповiдно до [137] використаємо поняття ймовiрностi «хибної тривоги», яка визначається як

. (3.12)

Із метою порiвняльного аналiзу введемо також поняття стратегiй С14 (на етапi С1 коректується одна помилка, на етапi С2 – чотири), С23 (етап С1 – до двох помилок, етап С2 – до трьох). Вiдповiдно вираз (3.11) для даних стратегiй буде такий:

а) для стратегiї С14

, (3.13)

де ;;;

б) для стратегiї С23

. (3.14)

Для даних стратегiй, за аналогiєю із (3.11), ймовiрностi хибної тривоги

, (3.15)

. (3.16)

На рис. 3.10 і 3.11 показанi відповідно розрахунковi залежностi ймовiрностi Р_пом на виходi CIRC-декодера вiд ймовiрностi P_вх появи помилки на входi декодера та P^хт хибної тривоги від протяжності помилок для стратегiй С12, С13, С22 [137], а також для стратегiй, що не дослiджувались у вказанiй роботi С14, С23, С24 [52].

Порiвняльний аналiз отриманих залежностей показує, що перевагу щодо ймовiрностi помилки на виходi декодера CIRC-коду мають стратегiї С14, С23 та С24 із вищими коректуючими можливостями. Але для помилок із бiльшою протяжнiстю (l > 4) значення оцiнок ймовiрностi помилки на виходi декодера збігаються для стратегiй С13 i С23, а також С14 та С24.

Дослідження ймовiрностей помилки пiд час декодування k-значних систематичних кодiв дозволяють розкрити суттєву відмінність апаратурних каналів із k-значним кодуванням порівняно з традиційними двозначними каналами, демонструють вагомість принципу симбіозу в разі застосування надлишкових кодів і його надзвичайно високу ефективність під час практичної реалізації коду з дуже великою довжиною блока та високою коректуючою здатністю. Ймовірність помилки, як універсальний параметр, є з’єднуючою ланкою для ряду граней загальної теорії k-значних структур, оскільки сполучає в єдине ціле ентропійні моделі апаратурних каналів із надійністю їх роботи та фізичними параметрами цих структур.

Рис. 3.10. Залежності ймовірності помилки на виході від ймовірності появи помилки на вході декодера

Рис. 3.11. Залежності ймовірності хибної тривоги від протяжності помилок для ряду ймовірностей появи помилок на вході декодера