2.2. Формалізація принципу симбіозу багатовходовихk-значних структур

Для того, щоби в узагальненому вигляді аналітично описати та сформулювати принцип симбіозу в просторових k-значних структурах, укажемо, що присвоювання значень алфавіту E_k  {0, 1, 2, ..., k– 1} здійснюється за рахунок вхідних сигналів X  {0, 1, 2, ..., k– 1}. У загальному випадку кожному станові вхідного сигналу X відповідає певне значення вихідного сигналу Y{0, 1, 2,...,k–1}. Функціональний перетворювач є багатополюсником, що має n входів і один вихід, який відображає прямий добуток n множин {x}_i (i = 1, 2, ..., n) на множину {y}. Об’єднання множин називається вхідним алфавітом, а множинаY – вихідним.

В узагальненому вигляді універсальні просторові k-значні структури [16-50, 77-88], згідно з узагальненим способом завдання функцій k-значної логіки з допомогою таблиць істинності [3, 4] та принципу симбіозу [140] дво- та багаторівневого кодування і засобів, включають до свого складу такі компоненти: паралельний аналого-цифровий перетворювач (елемент розпізнавання k-значної змінної); дешифратор (ДШ), селектор, комутатор, паралельний цифро-аналоговий перетворювач (ключовий комутатор, або підсумовувач струмів).

Елемент розпізнавання k-значної змінної (один пороговий елемент розпізнавання поодинокого k-значного рівня) реалізує предикат [148]:

, (2.1)

де t – двозначна (логічна) змінна; X – k-значна вхідна змінна; k_і  {0, 1, ..., k–1}, i - і-те значення k-значної змінної.

Оскільки рівнів k, то і вихідних сигналів розпізнавання для просторового набору порогових елементів буде k: t₀, t₁, t₂, ..., t_{k– 1}  {0, 1}.

За допомогою ДШ на другому етапі здійснюється перехід до двозначного просторового відображення результату розпізнавання. Введемо такі позначення для формалізації алгоритму: t₁ ... t_{k– 1} – сигнали прямих виходів компараторів; – сигнали інверсних виходів компараторів; & – операція кон’юнкції;– вихідні сигнали розпізнаванняk-значних змінних, що приймають значення з множини E₂  {0, 1}.

Логіку роботи дешифраторів описує така система предикатних рівнянь:

(2.2)

Вихідні сигнали першого та другого розпізнавачів вхідних змінних надходять на входи селектора матричного для однозначного встановлення відповідності кортежу вхідних сигналів X₁X₂ ... X_n для кожного значення таблиці істинності k-значної функції.

Логіку роботи селектора матричного у випадку двовходової одновихідної універсальної k-значної структури (рис. 2.2) описує така система рівнянь алгебри скінченних предикатів:

(2.3)

де f_mn – вихідні сигнали матричного селектора, що приймають значення з множин E₂  {0, 1}, m, n = E_k  {0, 1, ..., k – 1}.

Комутатор для двовходової універсальної k-значної структури є двовимірним просторовим утворенням, що має дві групи по k входів двовходових елементів І, на першу з яких надходять сигнали t від дешифратора схеми керування, а на іншу – від селектора. Відповідні виходи елементів І об’єднані разом і утворюють виходи комутатора. Формально, в явному вигляді, робота просторового комутатора описується такою системою рівнянь алгебри скінченних предикатів:

(2.4)

Рис. 2.2. Двовходова універсальна k-значна просторова структура

Для тривходової універсальної структури просторового типу тримісної k-значної функції з її таблиці істинності (табл. 2.1) випливає внутрішня потреба в таких структурних одиницях: три набори алфавітних розпізнавачів, що складаються з порогових елементів (ПЕ, компараторів) із дешифраторами, тривимірні просторові селектор і комутатор та схема керування вибором виду реалізованої функції.

Логіку роботи матричного селектора у випадку n = 3 описує така система із k рівнянь:

(2.5)

Порівняно з одно- та двовходовою структурою [86, 87], тривимірний матричний селектор (рис. 2.3) складається із k груп двовимірних селекторів, побудованих на тривходових елементах І. Дві групи входів елементів І підключені до відповідних виходів алфавітних розпізнавачів X₁ та X₂, а третя група входів, у кожній з k груп, підключена до виходів алфавітного розпізнавача змінної X₃. У кінцевому підсумку маємо в тривимірному селекторі kⁿ виходів, що відповідає числу f_mnp у таблиці істинності. Усі kⁿ виходів необхідні для здійснення однозначного автоматичного вибору значень f_mnp (m, n, p  E_k = {0, 1, ..., k – 1}), використовуючи просторовий характер дії розпізнавачів вхідних змінних.

Рис. 2.3. Структура селектора тривходового функціонального перетворювача

Таблиця 2.1

Узагальнена таблиця істинності тримісної k-значної функції

x3

0

0

…

0

1

…

1

…

k– 1

k– 1

…

k– 1

x2

0

1

…

k– 1

0

1

…

k– 1

…

0

1

…

k– 1

0

f000

f010

…

f0(k – 1)0

f001

f011

…

f0(k – 1)1

…

f00(k – 1)

f01(k – 1)

…

f0(k – 1)(k – 1)

1

f100

f110

…

f1(k – 1)0

f101

f011

…

f1(k – 1)1

…

f10(k – 1)

f11(k – 1)

…

f1(k – 1)(k – 1)

.

.

.

…

.

.

.

…

.

…

.

.

…

.

.

.

.

…

.

.

.

…

.

…

.

.

…

.

.

.

.

…

.

.

.

…

.

…

.

.

…

.

k – 1

f(k – 1)00

f(k – 1)10

…

f(k – 1)(k – 1)0

f(k – 1)01

f(k – 1)11

…

f(k – 1)(k – 1)1

…

f(k – 1)0(k-1)

f(k – 1)1(k-1)

…

f(k – 1)(k – 1)(k – 1)

x1

f

77

Для керування роботою комутатора із kⁿ вихідних сигналів селектора формується k груп по k² виходів, у кожний такт роботи селектора активним є тільки один вихід із kⁿ.

Формально, в явному вигляді, робота просторового комутатора, у разі n = 3, описується такою системою рівнянь алгебри скінченних предикатів:

1. для першої площини комутатора при нульових значеннях X₃ та керуючих сигналах y₄, що відповідають будь-якому значенню із E_k = {0, 1, ..., k – 1}:

(2.6)

2. для другої площини комутатора при одиничних значеннях X₃ та керуючих сигналах y₄, що відповідають будь-якому значенню із E_k = {0, 1, ..., k – 1}:

(2.7)

2. для k-ї площини комутатора при k– 1-му значенні X₃ та керуючих сигналах y₄, що відповідають будь-якому значенню із E_k = {0, 1, ..., k – 1}:

(2.8)

Структурно комутатор для реалізації тримісної функції теж є тривимірним просторовим утворенням, що має k площин матричних комутаторів розмірності k²  k. На перший вимір (на k² рядків КМ) надходить один із сигналів від селектора, а на другий (на k стовпців КМ) – від входу керування вибором виду реалізованої функції. Третій вимір виникає через те, що змінна X₃ утворює в таблиці істинності k субтаблиць розмірності k² значень f_mnp і в процесі пробігання змінною X₃  E_k = {0, 1, ..., k– 1} викликає відповідну просторову зміну площини селекції та площини k² вихідних сигналів селектора. Такий підхід зберігає однорідність проміжних просторових перетворювачів та величину затримки в один такт на кожному з них. Можливе інше вирішення [108] алгоритму дії та структури комутатора з використанням базової моделі (див. рис. 1.6) ієрархічних бан’яноподібних комутаційних структур, але з втратою незмінності затримки на один такт проміжних перетворень.

Таким чином, структурно будь-яка площина комутатора може бути реалізована на базі матриці розмірності k²  k двовходових елементів І, на один вхід яких надходять сигнали , а на інший – f_mnp. Один вхід для k² сигналів f_mnp достатній, оскільки в кожному такті роботи структури в цілому можлива поява тільки одного з них. Багатовходова функція АБО в такому разі реалізується без додаткових затрат із допомогою шинного об’єднання всіх k² cигналів f_mnp. Відповідно вихідні сигнали комутатора в цілому будуть утворені за рахунок провідного АБО сигналів із однаковими індексами, але з різних площин комутації:

(2.9)

Остаточний результат універсального перетворення формально можна подати у вигляді операторного зображення:

, (2.10)

де <g₀, g₁, ..., g_k–1> = PS_f – сигнали налагоджень вихідних функцій універсальної структури.

Отже, зростання значності та числа вхідних змінних універсальної k-значної структури веде до суттєвих змін у побудові компонентів, що входять до її складу. Зокрема, на вході структури зростає пропорційно k число елементів розпізнавання; структури селекторів і комутаторів перетворюються в n-вимірні об’ємно-просторові утворення, а на виході структури зростає пропорційно k число ключів. Таким чином, в узагальненому вигляді універсальна просторова структура (рис. 2.4) може бути описана такою системою ознак SPVPS, де V – об’єм (вимірність простору селектора і комутатора).

Вирішення задач формалізації принципів організації багатовходових k-значних структур забезпечує побудову новітньої концепції синтезу структур для високошвидкісних обчислювальних систем; застосування просторового та часового паралелізму на структурному й алгоритмічному рівнях та k-значних методів кодування; створення процедурних і функціональних мов, паралельних машин баз знань і логічного виводу.

Рис. 2.4. Узагальнена структурна схема тривходового універсального просторового функціонального перетворювача