3.2. Властивості симетричних каналів ізk-значним кодуванням

У реальних умовах інформаційна швидкість передавання та перепускна здатність залежать від співвідношення сигнал/завада, що призводить до порушення однозначної відповідності між вхідними та вихідними повідомленнями каналу. Внаслідок випадкового характеру завад неможливо наперед точно встановити, який сигнал отримаємо на виході апаратурного каналу після посилання певного вхідного сигналу. Мова може йти тільки про ймовірності отримання на виході каналу елементарного сигналу y_i за умови, що було подано на вхід каналу сигнал x_i.

Якщо однакові всі ймовірності правильного передавання k-значних сигналів і ймовірності спотвореного передавання, то такий канал називається симетричним, що й прийнято нижче в аналізі властивостей k-значного апаратурного каналу зі завадами. Крім того, розглянемо канал без пам’яті, оскільки, з огляду на специфіку k-значних сповіщень, у таких каналах завади не викликають додаткових кореляційних зв’язків між символами алфавіту.

Зобразимо інформаційний канал у вигляді послідовного з’єднання (рис. 3.3) апаратурної частини з k-значним кодуванням та каналу, якими й надходить повідомлення. Окремо виділено k-значну структуру, а всі випадкові завади та впливи віднесено до послідовного з’єднання частин каналу зі шумами відмов апаратури та завад.

Рис. 3.3. Модель k-значного симетричного каналу зі завадами

Інтенсивність відмов статичної просторової k-значної структури суттєво залежить від режиму роботи, інтенсивності відмов радіоелектронних компонентів, а також параметричних і часових відмов типу збій, зумовлених дією зовнішніх факторів. Виходячи із [160, 161], приймемо, що для інтенсивності відмов апаратурного каналу ₁ та експоненційної залежності його структурної надійності й відсутності надлишковості ймовірність правильного проходження символу k-значного коду через апаратурний канал визначиться як

P(y_i/x_i) = H(t, k) = exp(–₁t), (3.5)

де ₁ = k₀ – інтенсивність структурних відмов апаратурного каналу; ₀ – інтенсивність відмов однієї питомої одиниці обладнання просторової k-значної структури, t-час.

Відповідно, ймовірність помилки під час формування й передавання елементів коду [159]:

(3.6)

де k – значність коду; t – час.

Узявши похідну по k та враховуючи (1.14), отримуємо:

. (3.7)

Прирівнявши похідну I(X) = 0, на основі екстремального аналізу, отримуємо залежності k_опт = f(₀, t) (рис. 3.4) та знаходимо діапазон зміни ₀ у межах 10^-7... 10^-5 1/г і значень часу безвідмовної роботи каналу t = 10³ ... 10⁵г. При цьому виявляється, що зі зростанням ₀ оптимальні значення k різко падають від 40 ... 30 – для ₀ = 10^-7 1/г до 2 ... 12 – для ₀ = 210^-7 1/г. У діапазоні ₀ = 210^-7... 10^-5 1/г, k_опт перебуває в межах 2 ... 4. Зменшення часу роботи до 10³ г веде до зростання оптимальної значності до величини 8 ... 12.

Рис. 3.4. Залежність оптимальної значності від інтенсивності структурних відмов у інформаційному апаратурному каналі зі завадами

Аналіз результатів оцінок ентропії фактично переданих послідовностей k-значним систематичним кодом, отримані згідно з (1.15), для різних значень r, n, k, показали (рис. 3.5), що зміна значності коду в межах k = 3 ... 16, при фіксованих значеннях n та r забезпечує збільшення обсягу інформації, що передається k-значним апаратурним каналом. Ентропія повідомлень зростає за умови r  n. Якщо n  r і r/n0,5, спостерігається різкий спад ентропії повідомлень і коли r/n0,6, то навіть суттєве збільшення k не веде до поліпшення ситуації і величина ентропії повідомлення в каналі спадає до нуля. Таким чином, у разі застосування систематичних k-значних кодів необхідно виконувати умову r/n  0,5, що дозволяє зберегти ентропію повідомлень в апаратурному каналі на рівні каналів без завад.

Рис. 3.5. Залежність ентропії фактично переданих послідовностей від

значності, числа помилок та числа елементів кодової комбінації

Дослідження величини R верхньої межі перепускної здатностi (1.16) і залежності її від параметрів k-значних апаратурних каналів, здійсненні за умов, що k = 3...16; n = 3, 10, 50, 100; r = 1, 2, 9, 10, 20 та ₀t = 0,08; 0,1; 0,12; 0,3; 0,5; 1. Отримані результати (рис. 3.6) показали, що R суттєво залежить від значності k у випадках, коли n  r. При цьому, якщо величина k₀t0,7, спостерігається різке збільшення перепускної здатності просторового апаратурного каналу з k-значним систематичним кодуванням.

Рис. 3.6. Залежність верхньої межі перепускної здатності R від параметрів k-значних апаратурних каналів (n = 10; ₀t = 0,01 ... 1,0; r = 1; k = 3 … 16)

У разі, якщо rn та k₀t більше чи менше 0,7, спостерігається суттєве зниження верхньої межі перепускної здатності. Верхня межа перепускної здатності знижується зі збільшенням величини добутку ₀t, причому величина ₀t > 0,3 не має смислу для просторових k-значних апаратурних каналів зі значностями k > 3. Отже, використовуючи отримані в результаті аналізу оцінки й обмеження на значність, інтенсивність структурних відмовлень і середній час безвідмовної роботи, можна оптимальним чином вибрати вказані параметри й характеристики статичних просторових k-значних апаратурних каналів і систематичних k-значних кодів.

Аналіз залежності (1.21) (рис. 3.7) показує, що верхня межа можливих послiдовностей М для k-значного коду з надлишковiстю, що коректує r помилок, задовольняє умову m  2r + 1 і надає можливість сформувати множину E_k елементів коду, потужність якої дозволить відшукувати й скоректувати задане число помилок. При зменшенні співвідношення r/n та збільшенні k верхня межа М зростає, що дозволяє вибрати необхідний обсяг М-послідовностей для забезпечення й збереження перепускної здатності апаратурного каналу. Результати досліджень метрики M-послідовностей також показують, що використання систематичних k-значних кодів дозволяє ефективно виправляти лише одно- та двократні помилки, оскільки при k = 16 для r/n = 1/10 – M  810⁹, а для r/n = 9/10 – M = 2. Значно пізніші дослідження [127] k-значних лінійних систематичних кодів підтвердили отримані вище результати та висновки.

Рис. 3.7. Залежність верхньої межі можливих послідовностей М для k-значного коду з надлишковістю (n = 7; r = 1 ... 5; k = 3 … 16)