7.3. Чотиризначний матричний множник елементів поляґалуаGf(28)

Аналізуючи структуру алгоритму обчислень процесора CIRC-декодера, в підрозділі 4.2 показано, що спосіб організації обчислень передбачає наявність підсумовувача та множника, що виконують відповідні операції над елементами поля ґалуа GF(2⁸). Попередньо проведені відповідні дослідження [164–166, 168] щодо створення й побудови швидкодіючих базових структур операційних блоків для процесора CIRC-декодера базувались на двозначних зображеннях операндів та на двозначній елементній базі. Вони показали, що перехід до створення двозначних просторових швидкодіючих операційних блоків призводить до значного їх ускладнення, зокрема зростання числа входів, виходів та внутрішніх з’єднань.

Для подолання цих недоліків у роботі [167] розроблено метод побудови та синтезовано паралельний 4-значний матричний множник елементів поля ґалуа GF(2⁸), що є базовим пристроєм при виконанні операцій A  N, AN + B та розглядається дальше. Пристрій забезпечує реалізацію операцій над елементами поля ґалуа GF(2⁸) із породжуючим поліномом a(x) = x⁸ + x⁴ + x³ + x² + x, примітивним елементом  = 00000010 та арифметичними операціями, визначеними у 4-значній логіці. Вибір 4-значної логіки як еквівалента для поля ґалуа GF(2⁸) пов’язаний із легкістю переходу від одного модуля до іншого та можливостями І²Л-схемотехніки під час мікроелектронної реалізації k-значних структур.

Для обґрунтування процедур обчислення суми та множення над полем GF(4) встановимо відповідність між 4-значною логікою і полем ґалуа GF(2⁸). Із двійкових значень коефіцієнтів полінома a(x), при усіх його степенях, утворюємо набір однорозрядних двозначних чисел <1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1>, визначаємо відповідність елементів основного поля GF(2⁸) із їх зображенням в E₄  {0, 1, 2, 3}, де впорядковані елементи поля ґалуа GF(4): 0, ⁰ = 1, ¹ = 2, ² = 3. Скориставшись ваговими коефіцієнтами породжуючого полінома a(x), задамо відповідності: <00> = 0; <01> = 1; <10> = 2 та <11> = 3 і розіб’ємо справа наліво коефіцієнти полінома a(x), при всіх його степенях, на дворозрядні двійкові числа: <01, 00, 01, 11, 01>. Таким чином, отримуємо для породжуючого полінома a(x) такий кортеж 4-значних коефіцієнтів, при усіх його степенях: <1, 0, 1, 3, 1>.

Звідси видно, що перетворення двозначних зображень елементів поля ґалуа GF(2⁸) у 4-значні, і – навпаки, легко здійснюються з допомогою ПЗО [79-81, 84], що доводить необхідність і доцільність розгляду такого виду засобів на рівні загальної теорії побудови k-значних структур у розділі 5.

Операція множення елементів поля ґалуа GF(2⁸), яким у відповідність поставлено елементи поля GF(4), визначається таблицею (табл. 7.1) істинності 4-значної логіки.

Таблиця 7.1

Tаблиця істинності операції множення елементів поля ґалуа GF(2⁸)

f()	x1
x2	00	01	10	11
00	00	00	00	00
01	00	01	10	11
10	00	10	100	110
11	00	11	110	101

Ця таблиця містить двозначні еквіваленти значень 4-значної логіки й отримана на основі властивостей елементів поля ґалуа GF(2⁸) шляхом підняття до степеня примітивного елемента  та операції множення над елементами даного поля, наприклад: 0000 0011  0000 0011 = ²⁵  ²⁵ = ⁵⁰ = 0000 0101; 0000 0011  0000 0011 = ²⁵  ¹ = ²⁶ = 0000 0110 тощо.

У 4-значному поданні результати множення частково збігаються з результатами множення в полі GF(2⁸), але додатково з’являється ще й перенесення в старший розряд за межами mod 4. Перенесення R₊ виникає тільки для кількох наборів 4-значних вхідних сигналів <22, 32, 23, 33>, а саме перенесення приймає числові значення з множини {0, 1}, тобто R₊  {0, 1} (див. табл. 7.1). Таблиці істинності 4-значних операцій множення f(), додавання f(+) та перенесення R₊ наведено в табл. 7.2а - 7.2в. Таблиці дозволяють перейти до синтезу матричного множника елементів поля ґалуа GF(2⁸), який здійснює це в еквівалентному полі GF(4).

Таблиця 7.2

Таблиці істинності операцій множення, додавання та перенесення для поля GF(4)

f()	x1					f(+)	x1					R+	x1
x2	0	1	2	3		x2	0	1	2	3		x2	0	1	2	3
0	0	0	0	0		0	0	1	2	3		0	0	0	0	0
1	0	1	2	3		1	1	0	3	2		1	0	0	0	0
2	0	2	0	2		2	2	3	0	1		2	0	0	1	1
3	0	3	2	1		3	3	2	1	0		3	0	0	1	1
а)						б)						в)

Чотиризначний множник елементів поля ґалуа GF(2⁸) [167] містить у своєму складі (рис. 7.3) два байтних перетворювачі 1 (ПК 24) двозначних зображень елементів поля ґалуа GF(2⁸) у 4-значні [79-81], блок 2 множення з трьома групами входів 3–5 та перетворювач 6 (ПК 42) 4-значних елементів поля ґалуа GF(4) у байтні двозначні сигнали.

Рис. 7.3. Структурна схема 4-значного множника елементів поля ґалуа GF (2⁸)

Групи входів 7, 8 перетворювачів 1 утворюють розрядні входи двозначних байтних операндів, а їх виходи 3, 4 підключені до відповідних входів блока множення 2, виходи 9 якого підключені, відповідно, до входів байтного перетворювача 6 4-значних чисел у двозначні, а виходи 10 – утворюють сукупність паралельних виходів пристрою в цілому. Блок 2 множення (рис. 7.4) складається зі шістнадцяти комірок 11 формування часткових добутків (рис. 7.5), чотирьох комірок 12 нормалізатора першого роду (рис. 7.6), шести комірок 13 нормалізатора другого роду (рис. 7.7) та блока 14 додавання, комірка 11 формувача часткових добутків містить двовходовий множник 33 і підсумовувач 34.

Рис. 7.4. Структурна схема блока матричного множення

Рис. 7.5. Комірка формувача часткових добутків

Рис. 7.6. Функціональна схема нормалізатора першого роду

Рис. 7.7. Функціональна схема нормалізатора другого роду

У початковому стані на входи 7, 8 пристрою множення 4-значних елементів поля ґалуа GF(4) надходять два нульові байтні двійкові операнди з елементів поля ґалуа GF(2⁸). На виходах 3, 4 ПК24 теж будуть нульові вихідні сигнали. Аналогічно на виходах 9 блока 2 множення (див. табл. 7.2а, 7.2б і 7.2в) будуть сформовані нульові сигнали. Це забезпечує нульовий вихідний сигнал перетворювача 6 (ПК42) 4-значних елементів поля ґалуа GF(4) у байтні двозначні сигнали [167].

Принцип дії паралельного блока 2 множення 4-значних елементів поля ґалуа GF(4) визначається роботою комірки 11 формування часткових добутків (див. рис. 7.5), а також комірок нормалізаторів 12, 13 першого та другого ступенів, призначення яких розглянемо дальше.

У граничному випадку максимальних значень двох вхідних 4-значних операндів, що відповідає їх байтному формату в полі GF(2⁸), X₁ = X₂ = <3333>. Паралельний (матричний) алгоритм множення багаторозрядних елементів поля ґалуа GF(4), згідно з таблицями (див. табл. 7.2а, 7.2б і 7.2в) істинності для комірок формувачів часткових добутків, у даному разі дає такий результат:

де – добуток за mod 4;– сума за mod 4.

Із цього випадку видно, що матричне множення елементів поля ґалуа GF(4) веде до подвійного зростання числа розрядів результату за рахунок перенесення, у той час як операція багаторозрядного множення в полі ґалуа GF(2⁸) дає фіксовану розрядну сітку завдяки властивості циклічності, а звідси – і відсутності операції перенесення для цих же операндів. Двовходовий множник 33 формує результати множення за mod4 (див. табл. 7.2а) та перенесення R₊ (див. табл. 7.2в). Результат перенесення виникає тільки для декількох наборів 4-значних вхідних сигналів <22, 32, 23, 33>, тому в структурі блока 2 у кожному рядку матричного множника включено один нормалізатор 12 першого роду (рис. 7.6) та від одного до трьох нормалізаторів 13 другого роду, відповідно, у другому, третьому і четвертому рядках.

Функцію, що реалізується нормалізатором 12 першого роду, можна визначити так. Під час виникнення сигналу перенесення R₊ на виході крайньої зліва комірки 11 формувача часткових добутків у кожному рядку множника, він надходить на вхід формувача 37 вагових коефіцієнтів <0131> породжуючого полінома a(x). Ваговий коефіцієнт при максимальному степені опущений через специфіку обчислень у полях ґалуа. Коефіцієнти породжуючого полінома в нормалізаторі 12 надходять на відповідні входи підсумовувачів 34, на інші входи яких надходять результати часткових добутків із даного рядка матричного множника.

У всіх рядках матричне множення виконується згідно з таблицями істинності і на виходах 15 (див. рис. 7.4) кожного рядка матричного множника формуються комірками 11 зі зсувом на один розряд уліво результатів часткових добутків множеного на один розряд множника, безпосереднє підсумовування яких веде до збільшення розрядності остаточного результату. Це явище поставило завдання розроблення методу та введення засобів нормування результатів множення.

Дослідження процедури нормалізації показало [167], що її здійснюють у два етапи: 1) зсув уліво результату множення на один розряд; 2) якщо перенесення в крайній лівій комірці матричного множника R₊ = 1 – до решти розрядів додаються значення вагових коефіцієнтів <0131>; якщо R₊ = 2, то доданок становить (20131)mod4 = 0322 та, якщо R₊ = 3 – (30131)mod4 = 0213. Звідси зрозуміло, що до складу множника в кожному рядку матричного множника необхідно включити нормалізатор першого роду, який здійснює множення вагових коефіцієнтів породжуючого полінома на «1» та їх порозрядне додавання зі зворотно зсунутими результатами часткових добутків, оскільки перенесення R₊ для них набирає значення «1».

Оскільки результат додавання на виході 16 підсумовувача 34 у нормалізаторі 12 першого роду приймає довільне значення із E_k  {0, 1, 2, 3}, то й на вході 16 після зсуву вліво результату нормалізації першого ступеня дає будь-яке з k значень. Тому для завершення всієї процедури нормалізації необхідний нормалізатор 13 другого роду (рис. 7.7), до складу якого замість репродукційного пристрою 37 уведені двовходові множники 11, що перемножують значення на вході 16.3 на відповідні вагові коефіцієнти породжуючого многочлена. У подальшому в кожній комірці 13 нормалізатора другого роду схемотехнічно здійснюється зсув на один розряд (див. рис. 7.7) результатів нормалізації першого ступеня чи результатів нормалізації другого ступеня для третього та четвертого рядків матричного множника (див. рис. 7.4). Ці зсуви й визначають число комірок 13 у кожному рядку множника 2: у першому рядку – комірка 13 відсутня, у другому їх дві, у третьому – дві, а в четвертому – три.

Повертаючись до нашого прикладу, зауважимо, що в першому рядку матричного множника результат перенесення завжди дорівнює «1» (див. табл. 7.2в), тому на виході комірки 12 нормалізатора першого роду отримуємо (0001 + 0131)mod4 = 0130 у другому рядку, за рахунок зсуву та двох етапів нормалізації та того, що перенесення на вході 16.3 комірки 13 нормалізатора другого роду дорівнює «0», маємо 1300, у третьому (перенесення з попереднього ступеня нормалізації дорівнює «1») – (000 + 0131)mod4 = 3131, у четвертому (перенесення дорівнює «3» на вході третього нормалізатора другого ступеня): (1310 + 0213)mod4 = 1100.

Аналіз властивостей побудованої k-значної структури просторового типу, яка здійснює 4-значне множення елементів поля ґалуа GF(2⁸), показав зменшення удвоє числа функціональних зв’язків, а також забезпечення повної однорідності та однотипності всіх субблоків і гранично високої швидкодії порівняно зі двозначними засобами такого типу. Однотипність усіх схемотехнічних рішень гранично спрощує топологію ВІС, зменшуючи час на її проектування і ймовірність виникнення помилок при цьому.