1.5. Математичні моделіk-значного кодування

У науцi та технiцi сьогодення теорiя кодування базується переважно на двозначних зображеннях кодiв і використовується здебільшого термiнологiя та методи, що випливають із бiнарного зображення iнформацiї. В окремих роботах [120 - 126] автори дають загальнi визначення k-значного коду як вiдображення скiнченних чи зчисленних множин об’єктiв довiльної природи в множини послiдовностей із цифр <0, 1, ..., k– 1>, де k – деяке цiле додатне число (зокрема, k= 2). Практичних результатiв мало [1, 2, 127–129] і тому методи теорiї k-значного кодування вимагають відповідного опису, узагальнення й розвитку. З іншого боку, тільки в теорії інформації та кодування знаходимо ті першооснови, які від самого початку як формальні математичні поняття використовують k-значні основи і системи числення. Отже, теорія k-значного кодування випливає зі стику двох дисциплін, двох теорій: k-значної логіки та теорії інформації і кодування.

Попередньо дамо низку визначень та позначень, що вживаються при k-значному кодуваннi. Коди характеризують цiлий ряд параметрiв, cеред яких основними є довжина n, число iнформацiйних символiв r,  = r / n, кодова вiддаль d та ймовiрнiсть помилки P_пом [127–129].

Нехай E_k – довiльний алфавiт. Елементи алфавiту E_k назвемо літерами, а скiнченнi послiдовностi, складенi з літер, – словами в E_k. Довжина (число літер) слова позначимоn(). Для елементiв алфавiту справедливi теоретико-множиннi операцiї об’єднання, перетину, рiзницi та прямого добутку множин.

Довiльне вiдображення множини M повiдомлень у множину слiв у алфавiтi E_k будемо називати k-значним кодуванням множини М.

Коди, що частину знакiв використовують для передачi iнформацiї (тодi як iншi знаки використовуються для перевiрки та виправлення помилок) і мають кодовi комбiнацiї однакової довжини, називають систематичними k-значними кодами.

У рамках цього розділу розглядаються такі параметри, характеристики та методи теорії k-значного кодування: перепускна здатнiсть каналiв із k-значним кодуванням у присутностi завад [1, 2, 127–129]; ентропiя фактично переданих послiдовностей k-значним систематичним кодом; верхня межа числа можливих послiдовностей, що передаються (n, r)-k-значними кодами з корекцiєю помилок [2] та оцiнки ймовiрностi помилки пiд час приймання k-значних коректуючих кодiв.

Одним з основних завдань теорії передачі інформації є визначення залежності швидкості передачі даних та перепускної здатності параметрів каналу, характеристик сигналів і завад [1, 2]. Швидкість передачі даних у каналі з k-значним кодуванням визначається, за К. Шенноном [1], як середня кількість інформації, що передається каналом за одиницю часу. Найвищу, теоретично доступну для даного каналу швидкість передачі інформації назвемо перепускною здатністю каналу з k-значним кодуванням.

У каналах без завад, для тривалості інформаційного кодового імпульсу _i, кількість інформації в повідомленні, що триває Т, буде дорівнювати [58]:

, (1.12)

де I (X) – кількість інформації у повідомленні Х, Т – тривалість повідомлення; _i– тривалість інформаційного кодового імпульсу.

Оскільки повний цикл k-значного повідомлення містить у собі k імпульсів тривалості _i, то , а вираз (1.12) у граничному випадку перепишеться для повногоk-значного сповіщення як

. (1.13)

За наявності завад обсяг інформації, що передається каналом із k-значним кодом та просторовою k-значною структурною організацією, опишеться з допомогою моделі К. Шеннона ентропією сповіщення в каналах із завадами [1] таким виразом:

, (1.14)

де H (t, k) – структурна надійність k-значних структур.

Створення статичних k-значних просторових структур вимагає вирішення задачі забезпечення їх надійності. Ця обставина висуває на перший план дослідження та розробку методів забезпечення і підвищення надійності k-значних структур. Одним із найефективніших методів підвищення надійності є надлишкове кодування, що базується на застосуванні різних класів кодів зі знаходженням та виправленням помилок. Вибір таких методів для теоретичних досліджень визначається тим, що вони дозволяють виявити й усунути відмови та збої в каналах зв’язку, як зовнішніх, так і апаратних, у пристроях пам’яті, логічних елементах та структурах, арифметичних операційних пристроях тощо. Методи базуються на специфіці ентропійних моделей k-значних апаратурних каналів, а не на моделях інформаційних каналів зовнішнього зв’язку, отже, природним чином враховують особливості порушень k-значного структурного алфавіту за рахунок порушення алгоритму роботи k-значної структури.

Коди, що частину знакiв використовують для передачi iнформацiї (тодi як iншi знаки використовуються для перевiрки та виправлення помилок) і мають кодовi комбiнацiї однакової довжини, називають систематичними k-значними кодами, або (r, n)-кодами.

Для кодiв, що коректують r помилок та великого числа елементiв n у кодовiй комбiнацiї p = r/n, тому ентропiя фактично переданих послiдовностей запишеться так:

. (1.15)

Вiдповiдно [1, 2] верхня межа перепускної здатностi передачi iнформацiї апаратурним каналом зі систематичним k-значним коректуючим кодом є такою:

. (1.16)

Величина ймовірності помилки p символу в k-значному апаратурному каналі визначається [48] через його структурну надійність як:

, (1.17)

де L = ,k – значність; – інтенсивність структурних завад в апаратурному каналі;t – середній час безвідмовної роботи каналу.

Діапазон зміни p, у свою чергу, дає можливість визначити й діапазон зміни табульованих значень U залежно від зміни відповідних параметрів і характеристик k-значного апаратурного каналу.

Якщо помилки в k-значному повiдомленнi виникають незалежно одна вiд одної, то їх розподiл пiдпорядковується бiномному розподiловi. У цьому разі ймовiрнiсть враження кожного символу послiдовностi є постiйною величиною i ймовiрнiсть помилкового приймання для універсальних просторових статичних k-значних елементів та структур визначається згідно з (1.17). Імовiрнiсть помилки Р_пом пiд час декодування k-значних систематичних кодiв для даного числа символiв n та числа помилок r, що коректуються, описується [2] спiввiдношенням:

, (1.18)

де i – кратнiсть помилки в послiдовностi.

Для аналiзу та розрахункiв ймовiрностi помилки пiд час розпізнавання k-значних коректуючих кодiв в апаратурному каналі використовується [2] така форма запису даного розподiлу:

. (1.19)