§6. Барометрическая формула

Хаотические молекулярные движения приводят к тому, что молекулы газа равномерно распределяются по объёму сосуда, что концентрация частиц во всех частях сосуда становится одинаковой. В равновесном состоянии давление и температура газа также одинакова во всём объёме. Но это возможно только тогда, когда на молекулы не действуют внешние силы. При наличии таких сил, молекулярные движения приводят к особому поведению газов. Рассмотрим газ, находящийся в поле силы тяжести. Если бы отсутствовало тепловое движение молекул, то все молекулы под действием силы тяжести упали бы на поверхность земли, и весь воздух собрался бы тончайшем слое. Если бы отсутствовала сила тяжести, но существовало бы молекулярное движение, молекулы разлетелись бы по всему мировому пространству. Одновременное наличие силы тяжести и теплового движения молекул воздуха приводит к образованию воздушного слоя вокруг земли – атмосферы. При этом в атмосфере устанавливается вполне определённое распределение молекул по высоте. В соответствии с этим устанавливается и определённый закон изменения давления газа с высотой. Определим закон распределения давления с высотой.

Рассмотрим вертикальный столб воздуха (рис.4). Пусть у поверхности земли, где h=0, давление равно P₀, а на высоте h равно P.

Так как давление определяется весом вертикального столба воздуха, находящиеся под площадкой 1м² на этой высоте, с увеличением высоты на dh, давление уменьшится на величину dP, причём dP будет определяться весом столба воздуха высотой dh и площадью основания 1м²:

, (3.31)

где r - плотность воздуха, g – ускорение свободного падения. Знак (-) показывает, что с ростом высоты давление уменьшается. Учитывая, что

r=mn,

где m – масса молекулы газа, n – концентрация, а из кинетической теории n=P/k_БT, (3.31) перепишем в виде

. (3.32)

Получили дифференциальное уравнение, описывающее изменение давление с высотой.

В дальнейшем сделаем допущение, что температура и ускорение свободного падения не зависит от высоты, что, вообще говоря, неверно. Разделив в (3.32) переменные, получим

.

Интегрируя обе стороны данного уравнения, имеем

, (3.33)

где c – постоянная интегрирования.

Потенцирование выражения (3.33) даёт

. (3.34)

Постоянную с определим из условия, что при h=0, P=P₀. Поставив в уравнение (3.34) эти значения h и P, получим

с=P₀.

Таким образом, зависимость давления от высоты над поверхностью земли определяется следующим выражением

. (3.35)

Учитывая, что m=m/N_A, R=k_БN_A, имеем

. (3.36)

Уравнение (3.35) и (3.36) называются барометрическими формулами. Из этого уравнения видно, что давление газа убывает с высотой по экспоненциальному закону. Этим законом пользуются для определения высоты над землёй путём измерения давления на данной высоте. Приборы, служащие для измерения высоты горных вершин, высоту полёта самолёта представляют собой специальные барометры, шкала которых проградуирована в метрах.

Так как давление газа P=n k_БT , то из формулы (3.36) можно получить следующий закон убывания концентрации с высотой

, (3.37)

где n и n₀ – концентрация молекул в точках, между которыми разность высот равна h.