§8. Различные приложения I начала термодинамики. Теплоёмкость

Теплоёмкостью тела C называется количество теплоты, необходимое для нагревания тела на 1^оС. В общем случае теплоёмкость определяется соотношением

. (1.14)

Если масса тела равна единице, то теплоёмкость называют удельной и обозначают малой буквой с. Теплоёмкость одного моля вещества называют молярной и обозначают буквой С_. Из этих определений следует следующая связь между теплоёмкостями:

,

где v – число молей.

Поскольку количество теплоты Q, так же как и работа, не является функцией состояния и количество теплоты, сообщённое системе, зависит от того, как идёт процесс, теплоёмкость, определённая по формуле (1.14) также будет зависеть от того, как идёт процесс. Широкое применение находят теплоёмкость при постоянном давлении и теплоёмкость при постоянном объёме .

При любых процессах дQ=CdT, где C теплоёмкость данного процесса. При изохорическом процессе как следует из (1.13) dU=дQ, соответственно . Таким образом, при любом процессе производная от внутренней энергии по температуре даёт теплоёмкость при постоянном объёме.

Выведём формулу, позволяющую рассчитать теплоёмкость системы при любых процессах. Из формул (1.13) и (1.14) имеем

. (1.15)

Поскольку внутренняя энергия является функцией температуры и объёма, можем записать

. (1.16)

При записи выражения (1.16) мы учли, что внутренняя энергия является функцией состояния и имеет полный дифференциал. Поставив (1.16) в (1.15) получим:

. (1.17)

Объём V зависит не только от температуры T, но и от давления P. В зависимости от того, как меняется давление, отношение может принять разные значения. Чтобы определить теплоёмкость системы однозначно при каком – то процессе нужно определить в направлении данного процесса. В случае определения теплоёмкости при постоянном давлении формула (1.17) даёт

. (1.18)

При получении формулы (1.18) мы учли, что

.

§9. Внутренняя энергия идеального газа. Закон Джоуля

Чтобы использовать формулу (1.18) для расчёта теплоёмкости при любых процессах надо знать, во-первых, уравнение состояния

(P,V,T)=0 (1.19)

Во-вторых, надо знать выражение для внутренней энергии тела как функцию параметров, определяющих его состояние, например

U=U(V,T) (1.20)

Зависимость типа (1.20) называется калорическим уравнением состояния, а типа (1.19) – термическим уравнением состояния. Обе эти уравнения не могут быть получены теоретически методами термодинамики. Формально термодинамика устанавливает их на основе опыта. Термическое уравнение состояния для идеального газа - это уравнения Менделеева – Клайперона (1.2). Как показывает опыт, для идеального газа внутренняя энергия является только функцией температуры. Этот опытный факт является законом Джоуля.

Зависимость U(T) не может быть установлена методами термодинамики. Эта функция может быть выражена через теплоёмкость C_V идеального газа. Поскольку . Как показывает опыт во многих случаях C_V в широкой области температур остаётся постоянной. Тогда

U=C_vT (1.21)