Уравнение Роберта Майера

Применим формулу (1.18) к идеальному газу. По закону Джоуля . Для определения производной воспользуемся уравнением Менделеева – Клайперона для одного моля идеального газа. Поскольку , при P=const . Тогда из формулы (1.18) следует

C_P-C_V=R (1.22)

Это важное соотношение называется уравнением Роберта Майера. Обратим ещё раз внимание на то, что уравнение Майера справедливо только для соотношения молярных теплоёмкостей.

§10. Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона

Процесс, происходящий без подвода и отвода тепла, называется адиабатическим. Применим I закон термодинамики для определения связи между параметрами, определяющими состояние идеального газа, когда газ совершает адиабатический процесс.

Полагая в (1.13) dQ=0, dU=C_vdT, получим

C_vdT=-PdV (1.23)

К ак следует из формулы (1.23) при адиабатическом расширении dV>0, dT<0, что значит температура тела понижается. Наоборот, при сжатии dV<0, dT>0 температура тела повышается. Это связано с тем, что адиабатически расширяющийся газ совершает работу за счёт собственной внутренней энергии, поэтому его температура понижается. Для получения уравнения адиабатического процесса, в переменных давление P и объём V, необходимо в уравнении (1.23) исключить температуру T. Это можно сделать, воспользовавшись уравнением состояния

дифференцирование которого даёт

PdV+ VdP=RdT

Откуда

(1.24)

Подставляя это значение dT в (1.23) получим

После замены R равным ему значением C_p-C_v=R и приведения к общему знаменателю имеем

C_VVdP+C_pPdV=0.

Обозначим отношение теплоёмкостей

тогда последнее уравнение принимает вид

Проинтегрируем это выражение в предположении, что  - постоянная величина:

После интегрирования получим

lnР+lnV=const,

или

=const, (1.25)

которое даёт искомое соотношение между давлением и объёмом идеального газа при адиабатическом процессе изменения объёма.

Уравнение (1.25) называется уравнением Пуассона или уравнением адиабаты, - показатель адиабаты.

Из уравнения Пуассона видно, что в отличие от изотермического процесса, при адиабатическом процессе давление газа меняется обратно не первой степени объёма, а V^, причём  больше единицы, так как C_p>C_v.

Так как >1, то кривая P=f(V) при адиабатическом процессе, называемая адиабатой, круче изотермы. Более крутое падение давления с увеличением объёма при адиабатном процессе объясняется тем, что при адиабатном расширении идеального газа его давление уменьшается не только за счёт увеличения объёма, но и вследствие происходящего при этом понижения температуры газа.

Нетрудно найти связь другими термодинамическими параметрами газа при адиабатическом процессе. Если мы хотим найти связи между V и T при адиабатическом процессе, то необходимо в уравнении Пуассона (1.25) исключить P, воспользуясь уравнением состояния. Поставив в (1.25)