10. Порядковые статистики. Квартили. Децили. Способы определения по выборочным данным.

Показатели дифференциации

Если возникает необходимость изучить структуру вариацион­ного ряда более подробно, вычисляют значения признака, анало­гичные медиане. Такие значения признака, которые делят все еди­ницы распределения на равные численности, получили название квантилей, или градиентов. Квартили, квинтили, децили - част­ные случаи квантилей.

Квартилями называются такие значения признака, которые де­лят распределение на четыре равные части.

Общая идея построения квантилей довольно проста — расши­рить понятие медианы. С этой точки зрения медиана представля­ет собой центральный квартиль.

Обозначим значения х_i, делящие вариационный ряд на четыре равные части, через Q₁ Q₂, Q₃ Ниже первого квартиля лежит 1/4 значений х_i, 3/4 элементов совокупности имеют значения х_i превышающие Q₁ Второй квартиль делит распределение попо­лам и совпадает с медианой. Между медианой и третьим квяртилем Q₃ располагается 1/4 всей совокупности, и, наконец, 1/4 зна­чений лежит выше Q₃ При этом Q₃ называется верхним кварти­лем, Q₃ — нижним квартилем.

Квинтили делят распределение на пять равных частей.

Деицль — такое значение признака в ряду распределения, кото­рому соответствуют десятые доли численности совокупности.

При изучении дифференциации доходов широко применяется децильный коэффициент К_Д — отношение девятого дециля к перво­му децилю. Сравнивая девятый и первый децили, измеряют соот­ношение уровней доходов 10% наиболее обеспеченного и 10% наименее обеспеченного населения (в разах).

Интерполяционные формулы для определения децилей в ин­тервальном ряду распределения имеют следующий вид:

Первый дециль =

где: - нижняя граница интервала

- длина интервала

- соответственно накопление частоты и накопление частоты предшествующего интервала

- частота интервала

Для нахождения интервала, содержащего первый дециль, на­капливают частоты или частности до тех пор, пока они не превзой­дут номер единицы совокупности, соответствующей первому де­цилю.

11. Мода, определение по статистическим данным, свойства использования в статистическом анализе.

Важнейшей характеристикой центра распределения, кроме средней арифметической, является мода.

Мода — это значение признака, которое чаще всего встречается в вариационном ряду. Во многих случаях эта величина наиболее характерна для ряда распределения и вокруг нее концентрируется большая часть вариантов. При изменении распределения в его концах мода не меняется, т.е. она обладает определенной устойчи­востью к вариации признака. Поэтому моду наиболее удобно при­менять при изучении рядов с неопределенными границами.

Для дискретного ряда мода находится непосредственно по определению.

Число членов домашних хозяйств	Число домашних хозяйств
1 2 3 4 5 6 и более	223 276 238 170 58 35
Итого	1000

Так, поданным табл. исходя из наибольшего значения частоты определяем, что типичное число членов домаш­них хозяйств — 2 человека. Из 1000 домашних хозяйств 276 состо­ят всего из 2 человек (276 - максимальная частота ряда, а 2 -значение признака, которое встречается чаще всего).

Для интервального ряда с равными интервалами сначала определяется модальный интервал х, _[ — х,, которому со­ответствует максимальная частота т_к или частость w_k. Значение моды внутри модального интервала определяется по интерполя­ционной формуле

– нижняя граница модального интервала

– длина модального интервала

m_k-1 m_k, m_k+1 - частота интервала, соответственно предше­ствующего модальному, модального и следующего за модальным.

Для ряда с неравными интервалами модальный интервал определяется по наибольшей плотности распределения. Строго говоря, мода — это значение признака, которому соответствует максимальная плотность распределения. Поэтому в формуле моды вместо частот m_k-1 m_k, m_k+1 следует взять плотности распределе­ния у_к-1, у_к, у_к+1

Задачи, связанные с отысканием моды, обычно решаются применительно к одновершинным (одно-модальным) распределениям.

Графически моду определяют по гистограмме распределения. Для этого выбирают самый высокий прямоугольник, который и является модальным, далее верхнюю правую вершину модально­го прямоугольника соединяют с верхней правой вершиной пред­шествующего прямоугольника, а верхнюю левую вершину модаль­ного прямоугольника с верхней левой вершиной последующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения этих отрезков и будет модой распределения.