- •Потужність множини. Зчисленні та незчисленні множини. Їх властивості.
- •2.Поняття моделі. Поняття інформаційної моделі. Поняття математичної моделі.
- •Приклади лінійних просторів
- •2.Алгоритм. Способи опису алгоритмів. Словесна та графічна форми подання алгоритмів.
- •1. Похідна функції однієї змінної, її геометричний та механічний зміст. Основні правила диференціювання.
- •3. Похідна складної функції.
- •1. Диференційовані функції однієї змінної, критерій диференційованості. Диференціал в точці, його геометричний зміст, застосування до наближених обчислень.
- •2. Програма. Поняття мови програмування. Поняття про середовище програмування
- •1. . Основні теореми диференціального числення. Теорема Лагранжа. Умови сталості та монотонності функції.
- •2. . Трансляція та її види: інтерпретація, компіляція. Їх особливості. Поняття системи програмування.
- •1. Екстремум функції. Необхідні умови екстремуму. Достатні умови екстремуму.
- •1. Максимум і мінімум функції в точці.
- •2. Основні принципи технології структурного програмування. Метод покрокової деталізації.
- •1. Структурне програмування
- •1.1. Принцип модульності
- •1. Первісна функція та неозначений інтеграл. Інтегрування підстановкою та частинами.
- •2. Основні принципи технології об’єктно-орієнтованого програмування. Поняття про об’єкт (клас).
- •1. Означений інтеграл. Необхідна умова інтегровності. Критерій інтегровності. Інтегровність неперервної функції.
- •Стандартні функції мови с
- •Аргументи функції
- •1. Квадровні фігури. Застосування означеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.
- •2. Алгоритми обробки масивів. Алгоритм послідовного пошуку. Пошук максимального (мінімального) елемента. Масиви даних
- •Одновимірні масиви (вектори)
- •1. Спрямлювані криві та їх довжини. Теорема Жордана. Обчислення довжини кривої за допомогою означеного інтеграла.
- •1. Застосування визначеного інтеграла до обчислення об’ємів тіл обертання та площ поверхонь обертання.
- •Задача про перевезення (транспортна задача)
- •1. Додатні числові ряди, властивості збіжних рядів, критерій збіжності. Теореми про порівняння рядів. Ознака Даламбера та інтегральна ознака Коші.
- •2. Метод штучного базису відшукання початкового базисного розв’язку злп. М-метод розв’язування злп.
- •1) Методи відшукання початкового базисного розв’язку
- •2) Описання м-методу розв’язування злп.
- •1Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца. Абсолютно і умовно збіжні ряди.
- •2. Двоїсті злп та їх властивості. Теореми двоїстості. Двоїстий симплекс-метод.
- •1. Функціональні послідовності і ряди. Збіжність, область збіжності. Рівномірна збіжність. Ознака Вейєрштраса.
- •2. Транспортна задача (тз). Властивості тз. Деякі методи відшукання початкового базисного розв’язку тз. Метод потенціалів розв’язування тз.
- •§2. Деякі властивості транспортної задачі.
- •§3. Базисні розв’язки транспортної задачі.
- •§4. Деякі методи відшукання базисного розв’язку транспортної задачі.
- •4.1. Метод північно-західного кута.
- •4.2. Метод мінімального елемента
- •§5. Метод потенціалів розв’язування транспортної задачі.
- •1. Метричні простори. Відкриті та замкнуті множини, їх властивості.
- •2. Потоки та мережі. Постановка задачі. Задача про найкоротший шлях. Метод Мінті. Задача про максимальний потік. Метод Форда-Фалкерсона.
- •3. Задача про максимальний потік. Метод Форда–Фалкерсона
- •1. Векторний добуток двох векторів, його властивості та застосування.
- •2. Поняття границі числової послідовності, її властивості. Теорема про границю монотонної числової послідовності. Теорема Больцано-Вейєрштраса
- •1.Еліпс, означення та канонічне рівняння. Дослідження форми еліпса за канонічним рівнянням.
- •Оптимальні чисті стратегії
- •§ 3. Оптимальні змішані стратегії
- •1. Означення детермінанта n-го порядку. Властивості детермінантів.
- •2. Правила суми і добутку. Розміщення, перестановки, комбінації (без повторень та з повтореннями).
- •2. Алгоритми обробки масивів. Сортування елементів масиву методом "бульбашки". Масиви даних
- •Одновимірні масиви (вектори)
- •1. Площини та прямі в просторі.
- •2. Теорема множення ймовірностей. Незалежність подій.
- •1. Поверхні другого порядку. Еліпсоїди, параболоїди, гіперболоїди, гіперболічний параболоїд.
- •Запишемо рівняння поверхні обертання, утвореної обертанням еліпса
- •Записуючи рівняння параболоїда обертання (6) у вигляді
- •На закінчення розглянемо
- •2. Формула повної ймовірності та формули Байєса.
- •1. Формула повної ймовірності та формули Байєса.
- •49.3. Матриця лінійного оператора. Приклади.
- •2. Опис рядків у мові програмування с. Операції над рядками, функції для обробки рядків Рядки
- •Функції обробки символів та рядків
- •Функції, що стосуються рядків, які розглядаються як послідовність байт.
- •Функції, що обробляють рядки
- •1. Множини та відношення. Основні види бінарних відношень. Розбиття множини на класи.
- •1. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку та рівняння Бернуллі.
- •Рівняння в повних диференціалах
- •2. . Канонічні (нормальні) форми булевих функцій. Алгебра Жегалкіна.
- •1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння n-го порядку із змінними коефіцієнтами. Фундаментальна система розв’язків. Детермінант Вронського. Загальний розв’язок.
- •2. Комбінаторні конфігурації. Біноміальна та поліноміальна теореми.
- •1. Розв’язування диференціальних рівнянь та їх систем.
- •2. Повнота і замкненість систем булевих функцій. Теорема (критерій) Поста.
- •1. Інтерполювання функцій многочленами Лагранжа.
- •Інтерполювання функцій многочленами Ньютона. Сплайни.
- •Скінченні різниці
- •Перша інтерполяційна формула Ньютона
- •Друга інтерполяційна формула Ньютона
- •1. Лінійна та нелінійна кореляція. Метод найменших квадратів. Побудова емпіричних формул.
- •2. . Опукле програмування. Функція Лагранжа. Теорема Куна-Таккера-1. Теорема Куна-Таккера-2. Задача опуклого квадратичного програмування. Квадратичний симплекс-метод. Задачі опуклого програмування.
- •Функція Лагранжа. Теореми Куна-Таккера.
3. Похідна складної функції.
Теорема 4. Якщо функція диференційовна в точці х, а функція f (и) диференційовна в точці и = , то складна функція диференційовна в точці х, причому
. (9)
Теорема 5. Нехай функція у = f (х) строго монотонна в проміжку < а; > і неперервна в цьому проміжку. Якщо в точці існує , то обернена функція в точці у = f (x) має похідну, причому
(13)
Теорема. Правильні такі рівності:
Білет 4
1. Диференційовані функції однієї змінної, критерій диференційованості. Диференціал в точці, його геометричний зміст, застосування до наближених обчислень.
Означення диференціалу.
Функція f (х) називається диференційовною в точці х0, якщо вона в цій точці має скінченну похідну.
Функцію f (х), означену в околі точки х, назвемо диференційовною в точці х, якщо приріст цієї функції в цій точці можна зобразити у вигляді:
(1)
де і число А не залежить від .
Якщо функція f (х) диференційовна в точці х, то ця функція в точці х має похідну . Позначивши через
дістанемо
(2)
де , тобто функція f (х) диференційовна в точці х в новому
змісті. Нехай функція f (х) диференційовна в точці х в новому змісті. Тоді приріст цієї функції в точці х можна зобразити у вигляді (1), де А не залежить від і . Поділивши на праву і ліву частини рівності (1), дістанемо звідки
тобто в точці х функція f (х) має похідну , причому = А і, отже, ця функція в точці х диференційовна в попередньому змісті.
Таким чином, якщо функція диференційовна в точці х, то її приріст у цій точці можна зобразити у вигляді (2), де . Цей приріст складається з двох доданків і .
Лінійна відносно частина приросту диференційовної функції в точці х називається диференціалом цієї функції в цій точці і позначається
. (3)
Диференціалом незалежної змінної х називають приріст цієї незалежної змінної і позначають (4)
Геометричний зміст диференціала. Нехай функція диференційовна в точці х. Тоді в точці (х; f (х)) графік функції матиме дотичну (рис. 38), похилену до додатного напряму осі Ох під кутом . З рис. 38 видно, що АВ = MA тобто диференціал функції в точці х дорівнює приросту ординати дотичної до кривої у = f (х) в точці х, коли незалежна змінна дістає приріст . З рисунка видно також, що АМ1 = .
3. Інваріантність форми диференціала. Якщо х – незалежна змінна, а f (х) –диференційовна функція від х, то df (х) = (х) dx.
Припустимо тепер, що – диференційовна функція від t. Тоді складна функція матиме похідну, яка дорівнює . Диференціал цієї, складної функції запишемо у вигляді
.
Отже, буде х незалежною змінною чи деякою диференційовною функцією від t, кожного разу диференціал функції обчислюється за формулою
df(x)=f'(x)dx, (7)
тобто форма диференціала залишається незмінною, постійною, інваріантною. Слід зауважити, що постійна (незмінна) тільки форма диференціала. Зміст же його у цих двох розглянутих випадках різний. Якщо х – незалежна змінна, то в рівності (7) dx = . Якщо ж х — функція від t, то в тій же рівності (7) dx = і, отже, взагалі кажучи, .
Основні формули і правила диференціювання.
dc = 0,
З основних правил знаходження похідних виходять основні правила знаходження диференціалів.
d (си) = cdu, d (и · V) = udV + Vdu,
d(u ± V)=du ± dV, .
Для прикладу доведемо рівність 3):
d (иV) = (иV)' dx = (u'V + uV') dx = V (u'dx) + и (V'dx) = Vdu + udV.
Наближені обчислення за допомогою диференціалів. Якщо функція f (х) в точці х має відмінну від нуля похідну , то приріст цієї функції в точці х і її диференціал є еквівалентними нескінченно малими функціями в околі точки х. Справді, з рівності (2) маємо
звідси .
Таким чином, при досить малому Дх можна записати наближену рівність
або (8)
Наприклад, взявши функцію , дістанемо (9)
При це дає (10)
Користуючись формулою (10), знайдемо і :
Формула (8) для функції має вигляд: (11)
а для функції – вигляд: (12)