- •Потужність множини. Зчисленні та незчисленні множини. Їх властивості.
- •2.Поняття моделі. Поняття інформаційної моделі. Поняття математичної моделі.
- •Приклади лінійних просторів
- •2.Алгоритм. Способи опису алгоритмів. Словесна та графічна форми подання алгоритмів.
- •1. Похідна функції однієї змінної, її геометричний та механічний зміст. Основні правила диференціювання.
- •3. Похідна складної функції.
- •1. Диференційовані функції однієї змінної, критерій диференційованості. Диференціал в точці, його геометричний зміст, застосування до наближених обчислень.
- •2. Програма. Поняття мови програмування. Поняття про середовище програмування
- •1. . Основні теореми диференціального числення. Теорема Лагранжа. Умови сталості та монотонності функції.
- •2. . Трансляція та її види: інтерпретація, компіляція. Їх особливості. Поняття системи програмування.
- •1. Екстремум функції. Необхідні умови екстремуму. Достатні умови екстремуму.
- •1. Максимум і мінімум функції в точці.
- •2. Основні принципи технології структурного програмування. Метод покрокової деталізації.
- •1. Структурне програмування
- •1.1. Принцип модульності
- •1. Первісна функція та неозначений інтеграл. Інтегрування підстановкою та частинами.
- •2. Основні принципи технології об’єктно-орієнтованого програмування. Поняття про об’єкт (клас).
- •1. Означений інтеграл. Необхідна умова інтегровності. Критерій інтегровності. Інтегровність неперервної функції.
- •Стандартні функції мови с
- •Аргументи функції
- •1. Квадровні фігури. Застосування означеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.
- •2. Алгоритми обробки масивів. Алгоритм послідовного пошуку. Пошук максимального (мінімального) елемента. Масиви даних
- •Одновимірні масиви (вектори)
- •1. Спрямлювані криві та їх довжини. Теорема Жордана. Обчислення довжини кривої за допомогою означеного інтеграла.
- •1. Застосування визначеного інтеграла до обчислення об’ємів тіл обертання та площ поверхонь обертання.
- •Задача про перевезення (транспортна задача)
- •1. Додатні числові ряди, властивості збіжних рядів, критерій збіжності. Теореми про порівняння рядів. Ознака Даламбера та інтегральна ознака Коші.
- •2. Метод штучного базису відшукання початкового базисного розв’язку злп. М-метод розв’язування злп.
- •1) Методи відшукання початкового базисного розв’язку
- •2) Описання м-методу розв’язування злп.
- •1Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца. Абсолютно і умовно збіжні ряди.
- •2. Двоїсті злп та їх властивості. Теореми двоїстості. Двоїстий симплекс-метод.
- •1. Функціональні послідовності і ряди. Збіжність, область збіжності. Рівномірна збіжність. Ознака Вейєрштраса.
- •2. Транспортна задача (тз). Властивості тз. Деякі методи відшукання початкового базисного розв’язку тз. Метод потенціалів розв’язування тз.
- •§2. Деякі властивості транспортної задачі.
- •§3. Базисні розв’язки транспортної задачі.
- •§4. Деякі методи відшукання базисного розв’язку транспортної задачі.
- •4.1. Метод північно-західного кута.
- •4.2. Метод мінімального елемента
- •§5. Метод потенціалів розв’язування транспортної задачі.
- •1. Метричні простори. Відкриті та замкнуті множини, їх властивості.
- •2. Потоки та мережі. Постановка задачі. Задача про найкоротший шлях. Метод Мінті. Задача про максимальний потік. Метод Форда-Фалкерсона.
- •3. Задача про максимальний потік. Метод Форда–Фалкерсона
- •1. Векторний добуток двох векторів, його властивості та застосування.
- •2. Поняття границі числової послідовності, її властивості. Теорема про границю монотонної числової послідовності. Теорема Больцано-Вейєрштраса
- •1.Еліпс, означення та канонічне рівняння. Дослідження форми еліпса за канонічним рівнянням.
- •Оптимальні чисті стратегії
- •§ 3. Оптимальні змішані стратегії
- •1. Означення детермінанта n-го порядку. Властивості детермінантів.
- •2. Правила суми і добутку. Розміщення, перестановки, комбінації (без повторень та з повтореннями).
- •2. Алгоритми обробки масивів. Сортування елементів масиву методом "бульбашки". Масиви даних
- •Одновимірні масиви (вектори)
- •1. Площини та прямі в просторі.
- •2. Теорема множення ймовірностей. Незалежність подій.
- •1. Поверхні другого порядку. Еліпсоїди, параболоїди, гіперболоїди, гіперболічний параболоїд.
- •Запишемо рівняння поверхні обертання, утвореної обертанням еліпса
- •Записуючи рівняння параболоїда обертання (6) у вигляді
- •На закінчення розглянемо
- •2. Формула повної ймовірності та формули Байєса.
- •1. Формула повної ймовірності та формули Байєса.
- •49.3. Матриця лінійного оператора. Приклади.
- •2. Опис рядків у мові програмування с. Операції над рядками, функції для обробки рядків Рядки
- •Функції обробки символів та рядків
- •Функції, що стосуються рядків, які розглядаються як послідовність байт.
- •Функції, що обробляють рядки
- •1. Множини та відношення. Основні види бінарних відношень. Розбиття множини на класи.
- •1. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку та рівняння Бернуллі.
- •Рівняння в повних диференціалах
- •2. . Канонічні (нормальні) форми булевих функцій. Алгебра Жегалкіна.
- •1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння n-го порядку із змінними коефіцієнтами. Фундаментальна система розв’язків. Детермінант Вронського. Загальний розв’язок.
- •2. Комбінаторні конфігурації. Біноміальна та поліноміальна теореми.
- •1. Розв’язування диференціальних рівнянь та їх систем.
- •2. Повнота і замкненість систем булевих функцій. Теорема (критерій) Поста.
- •1. Інтерполювання функцій многочленами Лагранжа.
- •Інтерполювання функцій многочленами Ньютона. Сплайни.
- •Скінченні різниці
- •Перша інтерполяційна формула Ньютона
- •Друга інтерполяційна формула Ньютона
- •1. Лінійна та нелінійна кореляція. Метод найменших квадратів. Побудова емпіричних формул.
- •2. . Опукле програмування. Функція Лагранжа. Теорема Куна-Таккера-1. Теорема Куна-Таккера-2. Задача опуклого квадратичного програмування. Квадратичний симплекс-метод. Задачі опуклого програмування.
- •Функція Лагранжа. Теореми Куна-Таккера.
1. Функціональні послідовності і ряди. Збіжність, область збіжності. Рівномірна збіжність. Ознака Вейєрштраса.
Нехай маємо деяку послідовність функцій f1(x), f2 ( x ), ..., fn ( x ) , ... від того самого аргументу x, які визначені на деякій множині Тоді вираз
(1)
називають функціональним рядом.
Функціональний ряд (1) називають збіжним в точці , якщо збігається числовий ряд
(2)
Множину всіх точок , в яких функціональний ряд збігається, називають областю збіжності даного ряду.
Нехай областю збіжності функціонального ряду (1) є деяка множина точок . Тоді сума цього ряду S є функцією від x, S= S(х), областю існування якої є множина E. Отже, можна записати рівність
S(x) = f1(x) + f2(x) + … + fn(x) + … (3)
Введемо позначення:
(4)
(5)
Sn(x), як і для числових рядів, називають n-ю частинною сумою, а rn(x) (n=1, 2, …) – n-м залишком ряду (1).
Тоді, для кожного рівність (3) можна записати так:
S(x) = Sn(x) + rn(x). (6)
Перейдемо в цій рівності до границі при і фіксованому х. Оскільки
(7)
то з рівностей (6) і (7) випливає, що
. (8)
Отже, функціональний ряд (1) збігається на множині Е, то для кожної точки виконується співвідношення (8). Очевидно, справедливе і обернене твердження: якщо для кожної точки виконується співвідношення (8), то функціональний ряд (1) на множині Е збігається.
Розглянемо більш детально співвідношення (8). Візьмемо деяку точку . Тоді виконується рівність (9)
Рівність (9) показує, що rn(x0) є нескінченно малою величиною. Це в свою чергу, означає, що для будь-якого існує натуральне число N0, яке залежить від і, очевидно, від точки х0 (N0 = N0( )), таке, що справджується нерівність
для всіх n > N0( ).
Візьмемо іншу, відмінну від х0 , точку . Тоді і в цій точці виконується рівність , тобто rn (x1) є нескінченно мала величина. Інакше кажучи, для числа існує натуральне число N1 = N1( ) таке, що справджується нерівність
для всіх n > N1( ) і т. д.
Внаслідок цього приходимо до такого означення збіжності функціонального ряду на множині.
Означення 1. Функціональний ряд (1) називають збіжним на множині Е, якщо для будь-якого і для кожного існує натуральне число , яке залежить від і , таке, що (10) для всіх n > N( ).
Означення 2. Функціональний ряд (1)називають рівномірно збіжним на множині Е, якщо для будь-якого існує натуральне число , яке не залежить від точок , і таке, що при виконується нерівність (10) для всіх точок .
Таким чином, ряд (11) на множині точок збігається, але не рівномірно, а на множині точок цей ряд збігається рівномірно.
Теорема (ознака Вейєрштрасса). Якщо на множині Е члени функціонального ряду (1) за модулем не перевищують відповідні члени збіжного числового додатного ряду , (15)
то функціональний ряд (1) на множині Е збігається рівномірно.
Доведення: Нехай для всіх точок виконуються нерівності
n=1, 2, . . . (16)
Звідси і з умови теореми випливає, що ряд на множині Е абсолютно збіжний, а отже, він на цій множині збіжний.
Запишемо n-й залишок для числового ряду (15)
Оскільки ряд (15) збігається, то
Це означає, що для будь-якого існує натуральне число , яке не залежить від точок і таке, що для всіх справджується нерівність
. (17)
Тоді, згідно з нерівностями (16) і (17), для всіх і виконується співвідношення
Теорему доведено.