1. Формула повної ймовірності та формули Байєса.

Нехай подія А відбувається, якщо відбувається яка-небудь з подій . Події називатимемо гіпотезами або припущеннями. Вважатимемо, що гіпотези утворюють повну групу подій, тобто .

Для події А можемо написати рівності: .

Оскільки події Н і А попарно несумісні, то, застосувавши аксіому зчисленної адитивності і теорему множення ймовірностей, дістаємо: – формула повної ймовірності і є однією з найважливіших формул теорії ймовірностей та суміжних з нею дисциплін.

Теорема гіпотез (формули Байєса)

Припустимо, що виконуються умови описані вище, і розглянемо події . Застосувавши теорему множення ймовірностей, дістанемо рівності

.

Якщо , то звідси випливає, що

.

Враховуючи формулу повної ймовірності (8), можемо написати:

Ці формули називаються теоремою гіпотез або формулами Байєса. Формулам Байєса можна дати таку інтерпретацію. Нехай подія А може відбуватись за різних умов, щодо характеру яких можна висловити п припущень (гіпотез) які утворюють повну групу подій. Ймовірності цих гіпотез відомі. Ці ймовірності називають апріорними. Відомі також умовні ймовірності події А при різних гіпотезах. Здійснюється випробування, в результаті якого може відбутися або ні подія А. Якщо подія А відбулась, то ми можемо переоцінити ймовірність кожної гіпотези , обчисливши їх за формулами Байєса.

Ймовірності називаються апостеріорними ймовірностями гіпотез.

Задання лінійного оператора за допомогою відображення базису

Перейдемо тепер до більш глибокого вивчення лінійних операторів (Л.О.) у скінченновимірних просторах. З’ясуємо, насамперед, якими елементами можна задати Л.О. у просторі V_n . Задати Л.О. А в просторі V_n – це означає задати образи всіх векторів простору V_n при дії оператора А. Виявляється, однак, що при дії оператора А. Тоді можна визначити і образи всіх векторів простору V_n, тобто справедлива теорема.

Теорема 1. Всякий Л.О. А у просторі V_n однозначно визначається заданням образів усіх векторів будь-якого фіксованого базису цього простору.

Доведення.

Припустимо, що в просторі V_n задано деякий базис цього простору і відомо, що - образи векторів базису при дії оператора А, тобто , і=1,2,…,n.

Візьмемо довільний вектор Він, як відомо, єдиним способом зображається у вигляді лінійної комбінації векторів базису : , де х₁, х₂,...,х_n – цілком визначені числа.

Тоді,

Отже образ довільного вектора визначається і притому одночасно. Теорему доведено.

Постає природно питання про те, яким повинен бути оператор А, щоб довільний набір упорядкованих векторів був образом векторів базису простору V_n.

Відповідь на це питання дає така теорема.

Теорема 2. Яка б не була впорядкована система із n векторів

(3)

простору V_n існує притому тільки один, Л.О. А такий, що вектори системи (3) є образами векторів базису , тобто , і=1,2,…,n.

Доведення.

Нехай - довільний вектор простору V_n. Тоді (розклад за базисними векторами). Поставимо у відповідність вектору вектор .

Оскільки вектор виражається через вектори однозначно, то йому ставиться у відповідність тільки один вектор , а отже, задана відповідність буде оператором у просторі V_n. Позначимо цей оператор символом А, а образ вектора при дії цього оператора через А . Маємо:

,; (4)

Оператор А – лінійний. Справді, нехай та - довільно вибрані вектори простору V_n і λ – довільне число із поля Р. Тоді,

Оператор А відображає вектори у вектори (оскільки і-та координата вектора в базисі дорівнює 1, а всі інші координати дорівнюють нулю . Тоді за формулою (4) , (і= 1,2,...,n).

Отже, заданий оператор А задовольняє вимоги теореми 2. За теоремою 1 такий оператор існує і тільки один. Теорему доведено.