- •Потужність множини. Зчисленні та незчисленні множини. Їх властивості.
- •2.Поняття моделі. Поняття інформаційної моделі. Поняття математичної моделі.
- •Приклади лінійних просторів
- •2.Алгоритм. Способи опису алгоритмів. Словесна та графічна форми подання алгоритмів.
- •1. Похідна функції однієї змінної, її геометричний та механічний зміст. Основні правила диференціювання.
- •3. Похідна складної функції.
- •1. Диференційовані функції однієї змінної, критерій диференційованості. Диференціал в точці, його геометричний зміст, застосування до наближених обчислень.
- •2. Програма. Поняття мови програмування. Поняття про середовище програмування
- •1. . Основні теореми диференціального числення. Теорема Лагранжа. Умови сталості та монотонності функції.
- •2. . Трансляція та її види: інтерпретація, компіляція. Їх особливості. Поняття системи програмування.
- •1. Екстремум функції. Необхідні умови екстремуму. Достатні умови екстремуму.
- •1. Максимум і мінімум функції в точці.
- •2. Основні принципи технології структурного програмування. Метод покрокової деталізації.
- •1. Структурне програмування
- •1.1. Принцип модульності
- •1. Первісна функція та неозначений інтеграл. Інтегрування підстановкою та частинами.
- •2. Основні принципи технології об’єктно-орієнтованого програмування. Поняття про об’єкт (клас).
- •1. Означений інтеграл. Необхідна умова інтегровності. Критерій інтегровності. Інтегровність неперервної функції.
- •Стандартні функції мови с
- •Аргументи функції
- •1. Квадровні фігури. Застосування означеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.
- •2. Алгоритми обробки масивів. Алгоритм послідовного пошуку. Пошук максимального (мінімального) елемента. Масиви даних
- •Одновимірні масиви (вектори)
- •1. Спрямлювані криві та їх довжини. Теорема Жордана. Обчислення довжини кривої за допомогою означеного інтеграла.
- •1. Застосування визначеного інтеграла до обчислення об’ємів тіл обертання та площ поверхонь обертання.
- •Задача про перевезення (транспортна задача)
- •1. Додатні числові ряди, властивості збіжних рядів, критерій збіжності. Теореми про порівняння рядів. Ознака Даламбера та інтегральна ознака Коші.
- •2. Метод штучного базису відшукання початкового базисного розв’язку злп. М-метод розв’язування злп.
- •1) Методи відшукання початкового базисного розв’язку
- •2) Описання м-методу розв’язування злп.
- •1Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца. Абсолютно і умовно збіжні ряди.
- •2. Двоїсті злп та їх властивості. Теореми двоїстості. Двоїстий симплекс-метод.
- •1. Функціональні послідовності і ряди. Збіжність, область збіжності. Рівномірна збіжність. Ознака Вейєрштраса.
- •2. Транспортна задача (тз). Властивості тз. Деякі методи відшукання початкового базисного розв’язку тз. Метод потенціалів розв’язування тз.
- •§2. Деякі властивості транспортної задачі.
- •§3. Базисні розв’язки транспортної задачі.
- •§4. Деякі методи відшукання базисного розв’язку транспортної задачі.
- •4.1. Метод північно-західного кута.
- •4.2. Метод мінімального елемента
- •§5. Метод потенціалів розв’язування транспортної задачі.
- •1. Метричні простори. Відкриті та замкнуті множини, їх властивості.
- •2. Потоки та мережі. Постановка задачі. Задача про найкоротший шлях. Метод Мінті. Задача про максимальний потік. Метод Форда-Фалкерсона.
- •3. Задача про максимальний потік. Метод Форда–Фалкерсона
- •1. Векторний добуток двох векторів, його властивості та застосування.
- •2. Поняття границі числової послідовності, її властивості. Теорема про границю монотонної числової послідовності. Теорема Больцано-Вейєрштраса
- •1.Еліпс, означення та канонічне рівняння. Дослідження форми еліпса за канонічним рівнянням.
- •Оптимальні чисті стратегії
- •§ 3. Оптимальні змішані стратегії
- •1. Означення детермінанта n-го порядку. Властивості детермінантів.
- •2. Правила суми і добутку. Розміщення, перестановки, комбінації (без повторень та з повтореннями).
- •2. Алгоритми обробки масивів. Сортування елементів масиву методом "бульбашки". Масиви даних
- •Одновимірні масиви (вектори)
- •1. Площини та прямі в просторі.
- •2. Теорема множення ймовірностей. Незалежність подій.
- •1. Поверхні другого порядку. Еліпсоїди, параболоїди, гіперболоїди, гіперболічний параболоїд.
- •Запишемо рівняння поверхні обертання, утвореної обертанням еліпса
- •Записуючи рівняння параболоїда обертання (6) у вигляді
- •На закінчення розглянемо
- •2. Формула повної ймовірності та формули Байєса.
- •1. Формула повної ймовірності та формули Байєса.
- •49.3. Матриця лінійного оператора. Приклади.
- •2. Опис рядків у мові програмування с. Операції над рядками, функції для обробки рядків Рядки
- •Функції обробки символів та рядків
- •Функції, що стосуються рядків, які розглядаються як послідовність байт.
- •Функції, що обробляють рядки
- •1. Множини та відношення. Основні види бінарних відношень. Розбиття множини на класи.
- •1. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку та рівняння Бернуллі.
- •Рівняння в повних диференціалах
- •2. . Канонічні (нормальні) форми булевих функцій. Алгебра Жегалкіна.
- •1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння n-го порядку із змінними коефіцієнтами. Фундаментальна система розв’язків. Детермінант Вронського. Загальний розв’язок.
- •2. Комбінаторні конфігурації. Біноміальна та поліноміальна теореми.
- •1. Розв’язування диференціальних рівнянь та їх систем.
- •2. Повнота і замкненість систем булевих функцій. Теорема (критерій) Поста.
- •1. Інтерполювання функцій многочленами Лагранжа.
- •Інтерполювання функцій многочленами Ньютона. Сплайни.
- •Скінченні різниці
- •Перша інтерполяційна формула Ньютона
- •Друга інтерполяційна формула Ньютона
- •1. Лінійна та нелінійна кореляція. Метод найменших квадратів. Побудова емпіричних формул.
- •2. . Опукле програмування. Функція Лагранжа. Теорема Куна-Таккера-1. Теорема Куна-Таккера-2. Задача опуклого квадратичного програмування. Квадратичний симплекс-метод. Задачі опуклого програмування.
- •Функція Лагранжа. Теореми Куна-Таккера.
1. Лінійна та нелінійна кореляція. Метод найменших квадратів. Побудова емпіричних формул.
Лінійна кореляція
Досить часто функції регресії виявляються лінійними, тобто
f(x)=ax+b(7) g(y)=cy+d(8)
Означення 5. Якщо обидві функції регресії f(x) і g(y) лінійні, то кореляцію називають лінійною
Очевидно, що для лінійної кореляції обидві лінії регресії є прямими лініями. Рівняння прямих набувають вигляду
(9); (10)
Задача полягає в тому, Щоб за результатами вибірки оцінити значення невідомих коефіцієнтів а, b, с, d.
а) метод найменших квадратів
Припустимо, що проведено п незалежних дослідів, внаслідок чого отримано п пар чисел
(11)
Ці пари чисел можна розглядати як випадкову вибірку p генеральної сукупності всіх можливих значень випадкового вектора . Величини і рівняння, знайдеш за результатами вибірки (11). називають вибірковими Розглянемо спочатку найпростіший випадок, коли різні значення , і відповідні їм значення спостерігались по одному разу. Тоді немає необхідності використовувати поняття умовного середнього значення і рівняння регресій (5), (6) можна переписати так.
y=ax+b,(12); х = су +d.(13)
На початку XIX ст Лежандр і Гаусс незалежно один від одного запропонували метод, який широко використовується для побудови емпіричних формул. Суть методу полягає в тому, що невідомі коефіцієнти емпіричної формули вибираються так, щоб сума квадратів відхилень значень, які спостерігались, від їх істинного .значення була мінімальною. Цей метод називають методом найменших квадратів або методом Гаусса.
Примітка. Результати вибірки можна зобразити точками на площині відносно прямокутної системи координат (по осі абсцис відкладено значення , а по осі ординат - значення ) Сукупність точок називають полем кореляції. З'єднавши точки відрізками отримаємо ламану лінію, яку називають емпіричною лінією регресії По вигляду ламаної можна зробити висновок про форму кореляційного зв'язку.
Означення . Якщо хоч одна з функцій регресії нелінійна, то кореляцію називають нелінійною (криволінійною).
В цьому випадку лінія регресії – не деяка крива, відмінна від прямої. На практиці часто зустрічається випадки параболічної кореляції деякого порядку
гіперболічної кореляції показникової кореляції і т. д, Теорія нелінійної кореляції розв'язує ті ж задачі, що й теорія лінійної кореляції, тобто задачі встановлення форми і сили кореляційного зв'язку.
Побудувавши поле кореляції можна висунути певну гіпотезу про форму зв'язку.
Для відшукання невідомих параметрів рівняння регресії використовують метод найменших квадратів.
2. . Опукле програмування. Функція Лагранжа. Теорема Куна-Таккера-1. Теорема Куна-Таккера-2. Задача опуклого квадратичного програмування. Квадратичний симплекс-метод. Задачі опуклого програмування.
Задачею опуклого програмування є задача (1)-(2), для якої f(x) – функції опуклі:
(1)
при обмеженнях
(2)
або задачі (1)-(3), де обмеження (3):
, (3)
де fi та f є опуклими функціями.
Функція Лагранжа. Теореми Куна-Таккера.
Нехай маємо задачу опуклого програмування (1)-(3). Тоді функцією Лагранжа будемо називати:
Умова Слейтера.
Кажуть, що система обмежень (2) задовольняє умову Слейтера, якщо:
.
Теорема Куна-Таккера 1.
Для того, щоб точка , яка є допустимим розв’язком задачі опуклого програмування (1)-(3) була оптимальним розв’язком цієї задачі, необхідно і досить, щоб існувала така точка , що є сідловою точкою функції Лагранжа на множині , де
X – множина , що
U – множина , що
тобто:
,
.
Теорема Куна-Таккера 2.
Припустимо, що f(x) та fi(x) з (1)-(3) мають неперервні часткові похідні по всіх змінних xj
є неперервно-диференційовні функції.
Тоді для того, щоб точка була сідловою точкою функції Лагранжа на множині , необхідно і досить, щоб вона задовольняла таким співвідношенням:
(4)
(5)
Із співвідношень (4)-(5) робимо висновок, що теорему Куна-Таккера 2 можна записати в такій еквівалентній формі:
для того, щоб була сідловою точкою функції Лагранжа на множині необхідно і досить, щоб для неї виконувалися такі співвідношення:
(6)
(7)
Припустимо, що система обмежень (2) задовольняє умові Слейтера. То на основі останнього і теореми Куна-Таккера 1 приходимо до такої теореми:
для того, щоб вектор х був оптимальним розв’язком задачі опуклого програмування (1)-(3) при умові виконання умов теореми Куна-Таккера 2, необхідно і досить, щоб існували такі вектори:
які задовольняють таким співвідношенням:
(8)
(9)
Задача опуклого квадратичного програмування
Квадратичний сиплекс метод.
Нехай є визначеною і симетричною
фіксований вектор, тоді задача
визначити (10)
при обмеженнях (11)
(12)
називається задачею квадратного програмування.
Для цієї задачі функція Лагранжа має вигляд:
На основі попереднього параграфа при виконанні умов Слейтера.
Для цієї задачі типу буде оптимальним розв’язком (10)-(12) тоді і тільки тоді коли , що
.
Отже, для того щоб вектор x був оптимальним розв’язком задачі (10)-(12) необхідно і досить, щоб існували такі вектори , , , такі, що:
(13)
(14)
(15)
(16)
(17) .
Рекомендації, щодо розв’язування задачі (10)-(12). Використовуючи сиян таблиці знаходять базисний допустимий розв’язок даної задачі лінійного програмування обмеження якої будуть обмеження (13)-(16). Але, такий що серед змінних та одна базисна, а інша небазисна, а І також серед змінних , одна базисна, а інша – ні. Тоді, для такого розв’язку будуть використовуватись умови (13)-(17), а тому x за сор. вищ. Критерієм є оптимальним розв’язком задачі (10)-(12).
Також метод розв. зад. (10)-(12) назив. настр. степеня методом розв’язування цієї задачі.