2. Транспортна задача (тз). Властивості тз. Деякі методи відшукання початкового базисного розв’язку тз. Метод потенціалів розв’язування тз.

Маємо m виробників (постачальників) певної продукції: максимальні обсяги можливих поставок задачі і рівні, відповідно, , . Ця продукція використовується n споживачами . Обсяги споживання зададі і рівні, відповідно, . Вартість перевозок одиниці продукції від і – го виробника (постачальника) до j – го споживача дорівнює . Потрібно встановити такі обсяги перевезень , щоб сумарні витрати на перевезення були мінімальними і при умові, що , потреби всіх споживачів були б задоволені.

Математична модель цієї задачі така:

min z = (1)

при обмеженнях

, (2)

, (3)

, (4)

У випадку коли транспортну задачу називають закритою транспортною задачею.

§2. Деякі властивості транспортної задачі.

Теорема 1. Транспортна задача (1)-(4) при умові її закритості завжди має допустимий розв’язок (допустимий план).

Доведення. Покладемо , де .

Тоді

Отже, числа , задовольняють обмеження (2)-(4).

Теорему доведено.

Теорема 2. Транспортна задача (1) – (4) при умові її закритості завжди має оптимальний розв’язок (оптимальний план перевезень).

Теорема 3. Якщо з системи (2) – (3) вилучити одне рівняння, то залишиться система, що еквівалентна (2) – (3).

Теорема 4. Рядки матриці обмежень (2) – (3) є лінійно залежними.

Теорема 5. Якщо з матриці обмежень системи (2) – (3) вилучити будь-який рядок, то система рівнянь, що залишається, є лінійно незалежною.

§3. Базисні розв’язки транспортної задачі.

Як і для задачі лінійного програмування, записаної в канонічній формі, базисний розв’язок транспортної задачі (1)-(3) будемо називати такий допустимий її розв’язок, для якого вектори умов, що відповідають його додатним координатам утворюють лінійно незалежну систему.

Базисний розв’язок задачі (1)-(4) називатимемо не виродженим, якщо в ньому рівно m + n – 1 координата є більшою від нуля. В протилежному випадку базисний розв’язок є виродженим.

Якщо всі базисні розв’язки задачі (1)-(4) є не виродженими, то сама транспортна задача вважається не виродженою.

Якщо хоча б один базисний розв’язок є виродженим, то й транспортна задача називається виродженою.

§4. Деякі методи відшукання базисного розв’язку транспортної задачі.

Перш за все будемо інформацію про транспортну задачу задавати відповідною таблицею:

	Q1	Q2	Q3	Q4	ai
P1	c11 x11	c12 x12	c13 x13	c14 x14	a1
P2	c21 x21	c22 x22	c23 x23	c24 x24	a2
P3	c31 x31	c32 x32	c33 x33	c34 x34	a3
bj	b1	b2	b3	b4	d

(8)

4.1. Метод північно-західного кута.

Заповнимо спочатку клітинку, яка най далі знаходиться на північному заході, тобто знайдемо x₁₁, покладаючи:

1. x₁₁ = а₁, якщо а₁ < в₁, та викреслюючи перший рядок. В цьому випадку замінюємо в₁ на в₁- а₁.Отримаємо нову таблицю, яку заповнюємо, починаючи з північно-західного кута, тобто з x₂₁;

2. якщо а₁> в₁, то покладаємо x₁₁= в₁ і викреслюємо перший стовпець, замінивши при цьому а₁ на а₁- в₁. Отриману нову таблицю заповнюємо, починаючи з північно-західного кута, тобто з x₁₂;

3. якщо а₁= в₁, то покладаємо x₁₁= а₁= в₁ і викреслюємо або перший рядок, або перший стовпець. Якщо викреслено перший стовпець, то замінюємо а₁ на а₁- в₁= 0.

Якщо викреслено перший рядок, то замінюємо в₁на в₁- а₁=0.

Отриману нову таблицю знову заповнюємо, починаючи з північно-західного кута.