- •Потужність множини. Зчисленні та незчисленні множини. Їх властивості.
- •2.Поняття моделі. Поняття інформаційної моделі. Поняття математичної моделі.
- •Приклади лінійних просторів
- •2.Алгоритм. Способи опису алгоритмів. Словесна та графічна форми подання алгоритмів.
- •1. Похідна функції однієї змінної, її геометричний та механічний зміст. Основні правила диференціювання.
- •3. Похідна складної функції.
- •1. Диференційовані функції однієї змінної, критерій диференційованості. Диференціал в точці, його геометричний зміст, застосування до наближених обчислень.
- •2. Програма. Поняття мови програмування. Поняття про середовище програмування
- •1. . Основні теореми диференціального числення. Теорема Лагранжа. Умови сталості та монотонності функції.
- •2. . Трансляція та її види: інтерпретація, компіляція. Їх особливості. Поняття системи програмування.
- •1. Екстремум функції. Необхідні умови екстремуму. Достатні умови екстремуму.
- •1. Максимум і мінімум функції в точці.
- •2. Основні принципи технології структурного програмування. Метод покрокової деталізації.
- •1. Структурне програмування
- •1.1. Принцип модульності
- •1. Первісна функція та неозначений інтеграл. Інтегрування підстановкою та частинами.
- •2. Основні принципи технології об’єктно-орієнтованого програмування. Поняття про об’єкт (клас).
- •1. Означений інтеграл. Необхідна умова інтегровності. Критерій інтегровності. Інтегровність неперервної функції.
- •Стандартні функції мови с
- •Аргументи функції
- •1. Квадровні фігури. Застосування означеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.
- •2. Алгоритми обробки масивів. Алгоритм послідовного пошуку. Пошук максимального (мінімального) елемента. Масиви даних
- •Одновимірні масиви (вектори)
- •1. Спрямлювані криві та їх довжини. Теорема Жордана. Обчислення довжини кривої за допомогою означеного інтеграла.
- •1. Застосування визначеного інтеграла до обчислення об’ємів тіл обертання та площ поверхонь обертання.
- •Задача про перевезення (транспортна задача)
- •1. Додатні числові ряди, властивості збіжних рядів, критерій збіжності. Теореми про порівняння рядів. Ознака Даламбера та інтегральна ознака Коші.
- •2. Метод штучного базису відшукання початкового базисного розв’язку злп. М-метод розв’язування злп.
- •1) Методи відшукання початкового базисного розв’язку
- •2) Описання м-методу розв’язування злп.
- •1Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца. Абсолютно і умовно збіжні ряди.
- •2. Двоїсті злп та їх властивості. Теореми двоїстості. Двоїстий симплекс-метод.
- •1. Функціональні послідовності і ряди. Збіжність, область збіжності. Рівномірна збіжність. Ознака Вейєрштраса.
- •2. Транспортна задача (тз). Властивості тз. Деякі методи відшукання початкового базисного розв’язку тз. Метод потенціалів розв’язування тз.
- •§2. Деякі властивості транспортної задачі.
- •§3. Базисні розв’язки транспортної задачі.
- •§4. Деякі методи відшукання базисного розв’язку транспортної задачі.
- •4.1. Метод північно-західного кута.
- •4.2. Метод мінімального елемента
- •§5. Метод потенціалів розв’язування транспортної задачі.
- •1. Метричні простори. Відкриті та замкнуті множини, їх властивості.
- •2. Потоки та мережі. Постановка задачі. Задача про найкоротший шлях. Метод Мінті. Задача про максимальний потік. Метод Форда-Фалкерсона.
- •3. Задача про максимальний потік. Метод Форда–Фалкерсона
- •1. Векторний добуток двох векторів, його властивості та застосування.
- •2. Поняття границі числової послідовності, її властивості. Теорема про границю монотонної числової послідовності. Теорема Больцано-Вейєрштраса
- •1.Еліпс, означення та канонічне рівняння. Дослідження форми еліпса за канонічним рівнянням.
- •Оптимальні чисті стратегії
- •§ 3. Оптимальні змішані стратегії
- •1. Означення детермінанта n-го порядку. Властивості детермінантів.
- •2. Правила суми і добутку. Розміщення, перестановки, комбінації (без повторень та з повтореннями).
- •2. Алгоритми обробки масивів. Сортування елементів масиву методом "бульбашки". Масиви даних
- •Одновимірні масиви (вектори)
- •1. Площини та прямі в просторі.
- •2. Теорема множення ймовірностей. Незалежність подій.
- •1. Поверхні другого порядку. Еліпсоїди, параболоїди, гіперболоїди, гіперболічний параболоїд.
- •Запишемо рівняння поверхні обертання, утвореної обертанням еліпса
- •Записуючи рівняння параболоїда обертання (6) у вигляді
- •На закінчення розглянемо
- •2. Формула повної ймовірності та формули Байєса.
- •1. Формула повної ймовірності та формули Байєса.
- •49.3. Матриця лінійного оператора. Приклади.
- •2. Опис рядків у мові програмування с. Операції над рядками, функції для обробки рядків Рядки
- •Функції обробки символів та рядків
- •Функції, що стосуються рядків, які розглядаються як послідовність байт.
- •Функції, що обробляють рядки
- •1. Множини та відношення. Основні види бінарних відношень. Розбиття множини на класи.
- •1. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку та рівняння Бернуллі.
- •Рівняння в повних диференціалах
- •2. . Канонічні (нормальні) форми булевих функцій. Алгебра Жегалкіна.
- •1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння n-го порядку із змінними коефіцієнтами. Фундаментальна система розв’язків. Детермінант Вронського. Загальний розв’язок.
- •2. Комбінаторні конфігурації. Біноміальна та поліноміальна теореми.
- •1. Розв’язування диференціальних рівнянь та їх систем.
- •2. Повнота і замкненість систем булевих функцій. Теорема (критерій) Поста.
- •1. Інтерполювання функцій многочленами Лагранжа.
- •Інтерполювання функцій многочленами Ньютона. Сплайни.
- •Скінченні різниці
- •Перша інтерполяційна формула Ньютона
- •Друга інтерполяційна формула Ньютона
- •1. Лінійна та нелінійна кореляція. Метод найменших квадратів. Побудова емпіричних формул.
- •2. . Опукле програмування. Функція Лагранжа. Теорема Куна-Таккера-1. Теорема Куна-Таккера-2. Задача опуклого квадратичного програмування. Квадратичний симплекс-метод. Задачі опуклого програмування.
- •Функція Лагранжа. Теореми Куна-Таккера.
2. Метод штучного базису відшукання початкового базисного розв’язку злп. М-метод розв’язування злп.
1) Методи відшукання початкового базисного розв’язку
Нехай маємо ЗЛП, записану у канонічній формі (КЗЛП):
Знайти (1)
за умов
(2)
, (3)
де m<n та серед векторів умов цієї задачі є m лінійно залежних.
Будемо вважати, що bi≥0, , (цього можна домогтися множенням, при потребі, відповідних рівнянь системи (2) на -1).
Ставиться питання про відшукання початкового базисного розв’язку.
Описання методу штучного базису відшукання початкового базисного розв’язку.
Розв’язуємо допоміжну КЗЛП:
Знайти (4)
за умов
(5)
. (6)
Зауважимо, що змінні xn+1,…,xn+m називаються штучними. Відповідні їм вектори умов , , …, є лінійно не залежними. Зрозуміло, що тоді вектор є початковим базисним розв’язком задачі (4) – (6).
Тому можна розв’язувати цю задачу симплекс-методом. Оскільки xn+1≥0, … xn+m≥0 то можливі два випадки:
найбільше значення цільової функції за умов (5) – (6) дорівнює 0;
найбільше значення цільової функції за умов (5) – (6) менше 0.
В першому випадку оптимальний базисний розв’язок задачі (4) – (6) має вигляд: .
При цьому – базисний розв’язок ЗЛП (1)–(3).
В другому випадку область допустимих значень ЗЛП (1)–(3) D = .
Зауважимо, що коли деяке рівняння системи (5) містить змінну з коефіцієнтом 1, яка відсутня в інших рівняннях цієї системи, то не має сенсу вводити штучну змінну. Її роль відіграватиме змінна, про яку йде мова.
Застосування методу штучного базису приводить до того, що задачу (1)–(3) доведеться розв’язувати за два етапи: спочатку розв’язується задача (4)–(6), а потім (1)–(3).
2) Описання м-методу розв’язування злп.
Нехай маємо ЗЛП (1)-(3), в якій як і вище, . Розглянемо таку допоміжну -задачу лінійного програмування:
(7)
(8)
(9)
де мислиться як завгодно великим додатним числом.
Першим базисним розв’язком цієї задачі є вектор .
Розв’язуючи цю задачу симплекс методом, одержимо один з трьох випадків:
в оптимальному розв’язку -задачі всі ;
в принаймні одна з компонент більша нуля;
-задача розв’язку немає (функція необмежена зверху на множині, що визначається обмеженнями (8), (9)).
Можна переконатися, що в цих випадках відповідно маємо:
оптимальний розв’язок задачі (1)-(3) має вигляд ;
ЗЛП (1)-(3) не має допустимих розв’язків ( );
ЗЛП (1)-(3) розв’язку не має ( необмежена зверху на множині допустимих розв’язків цієї задачі ( ) або ).
Білет 13
1Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца. Абсолютно і умовно збіжні ряди.
Числовий ряд виду a1 – a2 + a3 – a4 + ... + (-1)n-1an + ... (1), в якому числа an додатні (an > 0, n=1,2, . . .) називають знакозмінним рядом.
Теорема (Лейбніца).
Якщо в знакозмінному ряді (1) числа an монотонно не зростають an+1 ≤ an , n=1,2, . . . (2) an = 0, (3), то такий ряд збігається.
Доведення: Частинні суми ряду (1) позначимо через Sn. Тоді, поклавши n=2m ( m=1,2, . . .), дістанемо S2m = (a1 - a2) + (a3 – a4) + ... + (a2m-1 – a2n). (4)
Кожна різниця в круглій дужці правої частини останньої рівності є число, згідно з нерівністю (2), невід’ємне. Тому послідовність { S2m } є монотонно неспадна. Запишемо рівність (4) в такому вигляді:
S2m = a1 – (a2 – a3 ) + (a3 – a4 )+ . . . + (a2m-2 – a2m-1 ) – a2m .
Звідси із нерівності (2) випливає, що S2m ≤ a1. (5)
Отже, послідовність частинних сум { S2m } парного порядку, будучи неспадною і обмеженою зверху, збігається. Позначимо (6)
Розглянемо тепер частинні суми ряду (1) непарного порядку, тобто S2m-1. Тоді S2m-1 можна записати в такому вигляді:
S2m-1= S2m + a2m .
Перейдемо до границі при . Згідно з рівностями (3) і (6), дістаємо
.
Таким чином, послідовність парних і непарних частинних сум збігається до того самого числа S. А це означає, що ряд (1) є збіжний і його сума дорівнює числу S.
Теорему доведено.
Перейдемо в нерівності (5) до границі при m . Маємо S ≤ a1. (7)
Отже, якщо ряд (1) задовольняє умовам теореми Лейбніца, то такий ряд збігається і його сума не перевищує величини першого члена цього ряду.
Запишемо n–й залишок ряду (1)
(8)
Розглянемо знакозмінний ряд (9)
Нехай ряд (1) задовольняє умовам теореми Лейбніца. Тоді й ряд (9) задовольняє умовам теореми Лейбніца. Отже, ряд (9) збігається і його сума r’n, згідно з нерівністю (7), не перевищує величини першого члена
rn’ ≤ аn+1 (10)
Суму ряду (8) можна записати у вигляді
rn = (-1)n rn’ (11)
Звідси і з нерівності (10) дістаємо, що . (12)
Наслідок (з теореми Лейбніца).
Якщо знакозмінний ряд (1) задовольняє умовам теореми Лейбніца, то n – й залишок його має знак свого першого члена і за модулем не перевищує модуля цього члена.
Абсолютно та умовно збіжні ряди. Властивості збіжних рядів.
Нехай маємо числовий ряд (1)
в якому члени аn (n=1,2, . . .) є довільні дійсні числа.
Означення 1. Ряд (1) називають абсолютно збіжним, якщо збігається числовий ряд, утворений з модулів членів даного ряду
(2)
Означення 2. Числовий ряд (1) називається умовно (або не абсолютно)збіжним, якщо цей ряд збігається, а складений для нього ряд (2) розбігається.
Критерій Коші збіжності числового ряду.
Для того, щоб збігався числовий ряд (1), необхідно й достатньо, щоб для будь-якого числа існувало натуральне число N = N( ) таке, що для всіх n > N і будь-якого натурального числа p = 1,2, . . . виконувалася нерівність
. (5)
Справді, позначимо через { Sn } послідовність частинних сум ряду (1) і застосуємо до неї критерій Коші збіжності числової послідовності. Тоді для збіжності послідовності { Sn } необхідно і достатньо, щоб для будь-якого існувало натуральне число N = N( ) таке, щоб для всіх n > N і m>N виконувалася нерівність .
Поклавши в цій нерівності m=n + p ( p=1, 2, … ), дістанемо нерівність (5).
Теорема 1. (Коші ). Якщо числовий ряд (1) абсолютно збіжний, то він є збіжний.
Доведення: Якщо ряд (2) збігається, то для нього виконується нерівність (5), яка в цьому випадку має вигляд
(6)
для всіх n > N і будь-якого p=1, 2, …
Використовуючи властивість модуля суми, маємо
.
Теорему доведено.
Сформулюємо (без доведення) у вигляді теорем властивості збіжних числових рядів.
Теорема 2. ( Сполучна властивість). Якщо збігається ряд (1), то збігається й ряд , (7)
Причому, він має ту саму суму, що й ряд (1).
Теорема 3. (Переставна властивість). Якщо числовий ряд (1) абсолютно збіжний, то ряд, складений перестановкою членів ряду (1), збігається і має ту саму суму, що й ряд (1).