- •Потужність множини. Зчисленні та незчисленні множини. Їх властивості.
- •2.Поняття моделі. Поняття інформаційної моделі. Поняття математичної моделі.
- •Приклади лінійних просторів
- •2.Алгоритм. Способи опису алгоритмів. Словесна та графічна форми подання алгоритмів.
- •1. Похідна функції однієї змінної, її геометричний та механічний зміст. Основні правила диференціювання.
- •3. Похідна складної функції.
- •1. Диференційовані функції однієї змінної, критерій диференційованості. Диференціал в точці, його геометричний зміст, застосування до наближених обчислень.
- •2. Програма. Поняття мови програмування. Поняття про середовище програмування
- •1. . Основні теореми диференціального числення. Теорема Лагранжа. Умови сталості та монотонності функції.
- •2. . Трансляція та її види: інтерпретація, компіляція. Їх особливості. Поняття системи програмування.
- •1. Екстремум функції. Необхідні умови екстремуму. Достатні умови екстремуму.
- •1. Максимум і мінімум функції в точці.
- •2. Основні принципи технології структурного програмування. Метод покрокової деталізації.
- •1. Структурне програмування
- •1.1. Принцип модульності
- •1. Первісна функція та неозначений інтеграл. Інтегрування підстановкою та частинами.
- •2. Основні принципи технології об’єктно-орієнтованого програмування. Поняття про об’єкт (клас).
- •1. Означений інтеграл. Необхідна умова інтегровності. Критерій інтегровності. Інтегровність неперервної функції.
- •Стандартні функції мови с
- •Аргументи функції
- •1. Квадровні фігури. Застосування означеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.
- •2. Алгоритми обробки масивів. Алгоритм послідовного пошуку. Пошук максимального (мінімального) елемента. Масиви даних
- •Одновимірні масиви (вектори)
- •1. Спрямлювані криві та їх довжини. Теорема Жордана. Обчислення довжини кривої за допомогою означеного інтеграла.
- •1. Застосування визначеного інтеграла до обчислення об’ємів тіл обертання та площ поверхонь обертання.
- •Задача про перевезення (транспортна задача)
- •1. Додатні числові ряди, властивості збіжних рядів, критерій збіжності. Теореми про порівняння рядів. Ознака Даламбера та інтегральна ознака Коші.
- •2. Метод штучного базису відшукання початкового базисного розв’язку злп. М-метод розв’язування злп.
- •1) Методи відшукання початкового базисного розв’язку
- •2) Описання м-методу розв’язування злп.
- •1Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца. Абсолютно і умовно збіжні ряди.
- •2. Двоїсті злп та їх властивості. Теореми двоїстості. Двоїстий симплекс-метод.
- •1. Функціональні послідовності і ряди. Збіжність, область збіжності. Рівномірна збіжність. Ознака Вейєрштраса.
- •2. Транспортна задача (тз). Властивості тз. Деякі методи відшукання початкового базисного розв’язку тз. Метод потенціалів розв’язування тз.
- •§2. Деякі властивості транспортної задачі.
- •§3. Базисні розв’язки транспортної задачі.
- •§4. Деякі методи відшукання базисного розв’язку транспортної задачі.
- •4.1. Метод північно-західного кута.
- •4.2. Метод мінімального елемента
- •§5. Метод потенціалів розв’язування транспортної задачі.
- •1. Метричні простори. Відкриті та замкнуті множини, їх властивості.
- •2. Потоки та мережі. Постановка задачі. Задача про найкоротший шлях. Метод Мінті. Задача про максимальний потік. Метод Форда-Фалкерсона.
- •3. Задача про максимальний потік. Метод Форда–Фалкерсона
- •1. Векторний добуток двох векторів, його властивості та застосування.
- •2. Поняття границі числової послідовності, її властивості. Теорема про границю монотонної числової послідовності. Теорема Больцано-Вейєрштраса
- •1.Еліпс, означення та канонічне рівняння. Дослідження форми еліпса за канонічним рівнянням.
- •Оптимальні чисті стратегії
- •§ 3. Оптимальні змішані стратегії
- •1. Означення детермінанта n-го порядку. Властивості детермінантів.
- •2. Правила суми і добутку. Розміщення, перестановки, комбінації (без повторень та з повтореннями).
- •2. Алгоритми обробки масивів. Сортування елементів масиву методом "бульбашки". Масиви даних
- •Одновимірні масиви (вектори)
- •1. Площини та прямі в просторі.
- •2. Теорема множення ймовірностей. Незалежність подій.
- •1. Поверхні другого порядку. Еліпсоїди, параболоїди, гіперболоїди, гіперболічний параболоїд.
- •Запишемо рівняння поверхні обертання, утвореної обертанням еліпса
- •Записуючи рівняння параболоїда обертання (6) у вигляді
- •На закінчення розглянемо
- •2. Формула повної ймовірності та формули Байєса.
- •1. Формула повної ймовірності та формули Байєса.
- •49.3. Матриця лінійного оператора. Приклади.
- •2. Опис рядків у мові програмування с. Операції над рядками, функції для обробки рядків Рядки
- •Функції обробки символів та рядків
- •Функції, що стосуються рядків, які розглядаються як послідовність байт.
- •Функції, що обробляють рядки
- •1. Множини та відношення. Основні види бінарних відношень. Розбиття множини на класи.
- •1. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку та рівняння Бернуллі.
- •Рівняння в повних диференціалах
- •2. . Канонічні (нормальні) форми булевих функцій. Алгебра Жегалкіна.
- •1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння n-го порядку із змінними коефіцієнтами. Фундаментальна система розв’язків. Детермінант Вронського. Загальний розв’язок.
- •2. Комбінаторні конфігурації. Біноміальна та поліноміальна теореми.
- •1. Розв’язування диференціальних рівнянь та їх систем.
- •2. Повнота і замкненість систем булевих функцій. Теорема (критерій) Поста.
- •1. Інтерполювання функцій многочленами Лагранжа.
- •Інтерполювання функцій многочленами Ньютона. Сплайни.
- •Скінченні різниці
- •Перша інтерполяційна формула Ньютона
- •Друга інтерполяційна формула Ньютона
- •1. Лінійна та нелінійна кореляція. Метод найменших квадратів. Побудова емпіричних формул.
- •2. . Опукле програмування. Функція Лагранжа. Теорема Куна-Таккера-1. Теорема Куна-Таккера-2. Задача опуклого квадратичного програмування. Квадратичний симплекс-метод. Задачі опуклого програмування.
- •Функція Лагранжа. Теореми Куна-Таккера.
1. Інтерполювання функцій многочленами Лагранжа.
Постановка задачі
Вважають, що на множині дійсних чисел X визначено деяку дійсну функцію y=f(x), якщо кожному числу x з цієї множини поставлено у відповідність одне дійсне число y з множини Y. На практиці часто трапляються випадки, коли формула задається складним виразом і знайти значення y для відповідних x досить важко. Крім того, часто аналітичний вираз функції y=f(x) взагалі невідомий, а відомі лише її значення в скінченій кількості точок (функція задана таблично). Ці значення можуть бути знайдені в результаті спостережень чи вимірювань в якому-небудь експерименті, або в результаті обчислень. Тому виникає потреба вихідну функцію y=f(x) наближено замінити (апроксимувати) деякою іншою функцією (x), в певному розумінні близькою до f(x) і такою, що простіше обчислюється чи досліджується. Тоді при всіх значеннях аргументу з множини X покладають f(x)(x). Функцію (x) називають апроксимуючою. Близькість функцій f(x) і (x) можна, зокрема, оцінювати в метричних просторах за допомогою відстані. По-різному вводячи відстань, дістають різні конкретні випадки задачі апроксимації.
Часто апроксимуючу функцію (x) беруть у вигляді лінійної комбінації функцій деякого класу, які утворюють скінчену чи зчисленну множину {i(x)}, причому будь-яка скінчена система елементів i(x) лінійно незалежна. Тобто (x) беруть у вигляді
(x) = 00(x) +11(x) + ... + nn(x), (1)
де – 0, 1,...,n сталі коефіцієнти. Функцію (x) в цьому випадку називають узагальненим многочленом. Надалі розглядатимемо наближення функцій узагальненими многочленами.
Нехай у точках x0, x1, ... ,xn (xixj, якщо ij) з відрізка [a,b] відомі значення функції y=f(x): y0=f(x0), y1=f(x1),..., yn=f(xn). Розглянемо один з випадів апроксимації, що називається інтерполюванням, або інтерполяцією. Суть його полягає в тому, що коефіцієнти 0,1,...,n многочлена (1) добирають так, щоб у точках x0,x1,...,xn значення функцій f(x) і (x) збігалися, тобто
f(xi)= (i=0,1,...,n) (2).
Точки x0,x1,...,xn називаються вузлами інтерполювання, а многочлен (x) – інтерполяційним многочленом. Формулу y=(x), знайдену для обчислення значень функції y=f(x), називають інтерполяційною. Задача інтерполювання матиме єдиний розв’язок, якщо при будь-якому розміщенні вузлів визначник системи (2) не дорівнюватиме нулю, тобто
0.
Системи функцій, які задовольняють таку умову, називають системами Чебишова. На практиці систему {i(x)} часто беруть у вигляді послідовності цілих невід’ємних степенів змінної x, тобто i(x)=xi (i=0,1,2,...). Тут узагальнені многочлени є звичайними алгебраїчними многочленами. Інтерполювання в цьому випадку називається поліноміальним, або параболічним.
Інтерполяційний поліном Лагранжа
Нехай у точках x0, x1, ... , xn (xixj, якщо ij) з відрізка [a,b] задано значення функції y=f(x): yi=f(xi). Треба побудувати такий поліном Ln(x) = 0+1x+ ... +nxn (степеня, не вищого за n), який у вузлах x0, x1, ... , xn набуває тих самих значень, що й функція y=f(x), тобто
Ln(xi) = f(xi) (i=0, 1, ... , n). (3)
З умови (3) для знаходження коефіцієнтів i (i=0, 1, ... , n) дістаємо систему рівнянь:
(4)
Визначником цієї системи є визначник Ван дер Монда:
який, як відомо, дорівнює Це означає, що функції 1, x, x2, ..., xn утворюють систему Чебишева. Отже, система (4) має єдиний розв’язок при будь-яких значеннях f(xi) (i=0, 1,...,n). Таким чином, коли серед вузлів немає таких, що збігаються, то алгебраїчний многочлен існує і єдиний.
Щоб дістати інтерполяційний многочлен у явному вигляді, не станемо розв’язувати систему (4), а побудуємо безпосередньо многочлен Ln(x), який задовольняє умову (3). Многочлен Ln(x) шукатимемо у вигляді лінійної комбінації деяких многочленів степеня n, причому коефіцієнтами цієї лінійної комбінації будуть задані значення функції y=f(x) у вузлах, тобто
Ln(x)= (5)
де (x) (i=0, 1,..., n) – поки що невідомі многочлени степеня n.
З умови (3) випливає, що многочлени (x) мають задовольняти умову (xj)= тобто
(x)= = .
Підставивши вирази (x) у формулу (5), дістанемо вираз інтерполяційного многочлена Ln(x):
Ln(x)= yi (6)
Інтерполяційний многочлен, записаний у вигляді (6), називається інтерполяційним многочленом Лагранжа. Многочлени (x) називаються коефіцієнтами Лагранжа.
Запишемо формулу Лагранжа для випадку рівновіддалених вузлів. Нехай x1–x0=x2–x1=...=xn–xn–1=h. Для спрощення зробимо заміну x=x0+th. Тоді x–xk=h(t–k) і інтерполяційний поліном Лагранжа матиме вид:
Ln(x)= Ln(x0+th)=t(t–1)(t–2)...(t–n) yi , де t=(x–x0)/h.
Оцінка похибки інтерполяційного многочлена Лагранжа
Побудований для функції y=f(x) інтерполяційний многочлен Лагранжа n-го степеня у вузлах інтерполювання x0, x1, ..., xn збігається з функцією y=f(x). В інших точках відрізка [a,b] він відрізняється від функції y=f(x).
Величина Rn(x)=f(x)–Ln(x), яка характеризує близькість полінома Ln(x) до функції f(x) у деякій точці відрізка [a,b], називається залишковим членом інтерполяційного поліному Лагранжа. Знайдемо вираз для залишкового члена для функцій f(x), які на відрізку [a,b], що містить вузли інтерполювання, мають неперервні похідні до (n+1)-го порядку включно.
Оскільки залишковий член у вузлах інтерполювання дорівнює нулю, то можна записати:
f(x)–Ln(x)=(x–x0)(x–x1)(x–x2)...(x–xn)k(x)=Пn+1(x)k(x), (7)
де k(x) – невідома функція. Для знаходження k(x) розглянемо допоміжну функцію u(t)=f(t)–Ln(t)–Пn+1(t)k(x), де x відіграє роль параметра. Тут за x візьмемо точку, в якій потрібно обчислити залишковий член інтерполяційного многочлена.
За рівністю (7) функція u(t) дорівнює нулю, якщо t=x0, x1,..., xn і якщо t=x, тобто має на відрізку [a,b] принаймі n+2 нулі. Отже, на кінцях кожного з відрізків [x0;x1], [x1;x2],...,[xi;x], [x;xi+1], ...,[xn–1;xn] функція u(t) набуває значень рівних нулю. За теоремою Ролля всередині кожного з цих відрізків знайдеться принаймі одна точка, яка буде нулем похідної u`(t). Отже похідна u`(t) має на відрізку [a,b] принаймі n+1 нуль. Міркуючи аналогічно, встановлюємо, що u``(t) на [a,b] має принаймі n нулів. Нарешті, u(n+1)(t) має на [a,b] принаймі один нуль : u(n+1)()=0.
Оскільки (t)=0, =(n+1)!, то для u(n+1)(t) маємо: u(n+1)(t)=f(n+1)(t)–(n+1)!k(x).
Отже, при t= дістаємо: 0=f(n+1)()–(n+1)! k(x). Звідси k(x)=
Підставивши в рівність (7) значення k(x), дістанемо вираз для залишкового члена інтерполяційного многочлена Ln(x):
Rn(x)= Пn+1(x), (8)
де [a,b]. З формули (8) можна записати таку оцінку для Rn(x):
|Rn(x)| |Пn+1(x)|, де Mn+1= |f(n+1)(x)|.
У процесі обчислень виникають також неусувна похибка, оскільки значення часто даються наближено, і похибка округлення проміжних результатів. Останню можна звести до мінімуму, якщо обчислення виконувати з більшою кількістю цифр, ніж це вимагається для табличних значень функції. В остаточному результаті запасні цифри округлюють. Якщо оперувати усіма розрядами ЕОМ, то похибкою округлень проміжних результатів можна ігнорувати.