- •Потужність множини. Зчисленні та незчисленні множини. Їх властивості.
- •2.Поняття моделі. Поняття інформаційної моделі. Поняття математичної моделі.
- •Приклади лінійних просторів
- •2.Алгоритм. Способи опису алгоритмів. Словесна та графічна форми подання алгоритмів.
- •1. Похідна функції однієї змінної, її геометричний та механічний зміст. Основні правила диференціювання.
- •3. Похідна складної функції.
- •1. Диференційовані функції однієї змінної, критерій диференційованості. Диференціал в точці, його геометричний зміст, застосування до наближених обчислень.
- •2. Програма. Поняття мови програмування. Поняття про середовище програмування
- •1. . Основні теореми диференціального числення. Теорема Лагранжа. Умови сталості та монотонності функції.
- •2. . Трансляція та її види: інтерпретація, компіляція. Їх особливості. Поняття системи програмування.
- •1. Екстремум функції. Необхідні умови екстремуму. Достатні умови екстремуму.
- •1. Максимум і мінімум функції в точці.
- •2. Основні принципи технології структурного програмування. Метод покрокової деталізації.
- •1. Структурне програмування
- •1.1. Принцип модульності
- •1. Первісна функція та неозначений інтеграл. Інтегрування підстановкою та частинами.
- •2. Основні принципи технології об’єктно-орієнтованого програмування. Поняття про об’єкт (клас).
- •1. Означений інтеграл. Необхідна умова інтегровності. Критерій інтегровності. Інтегровність неперервної функції.
- •Стандартні функції мови с
- •Аргументи функції
- •1. Квадровні фігури. Застосування означеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.
- •2. Алгоритми обробки масивів. Алгоритм послідовного пошуку. Пошук максимального (мінімального) елемента. Масиви даних
- •Одновимірні масиви (вектори)
- •1. Спрямлювані криві та їх довжини. Теорема Жордана. Обчислення довжини кривої за допомогою означеного інтеграла.
- •1. Застосування визначеного інтеграла до обчислення об’ємів тіл обертання та площ поверхонь обертання.
- •Задача про перевезення (транспортна задача)
- •1. Додатні числові ряди, властивості збіжних рядів, критерій збіжності. Теореми про порівняння рядів. Ознака Даламбера та інтегральна ознака Коші.
- •2. Метод штучного базису відшукання початкового базисного розв’язку злп. М-метод розв’язування злп.
- •1) Методи відшукання початкового базисного розв’язку
- •2) Описання м-методу розв’язування злп.
- •1Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца. Абсолютно і умовно збіжні ряди.
- •2. Двоїсті злп та їх властивості. Теореми двоїстості. Двоїстий симплекс-метод.
- •1. Функціональні послідовності і ряди. Збіжність, область збіжності. Рівномірна збіжність. Ознака Вейєрштраса.
- •2. Транспортна задача (тз). Властивості тз. Деякі методи відшукання початкового базисного розв’язку тз. Метод потенціалів розв’язування тз.
- •§2. Деякі властивості транспортної задачі.
- •§3. Базисні розв’язки транспортної задачі.
- •§4. Деякі методи відшукання базисного розв’язку транспортної задачі.
- •4.1. Метод північно-західного кута.
- •4.2. Метод мінімального елемента
- •§5. Метод потенціалів розв’язування транспортної задачі.
- •1. Метричні простори. Відкриті та замкнуті множини, їх властивості.
- •2. Потоки та мережі. Постановка задачі. Задача про найкоротший шлях. Метод Мінті. Задача про максимальний потік. Метод Форда-Фалкерсона.
- •3. Задача про максимальний потік. Метод Форда–Фалкерсона
- •1. Векторний добуток двох векторів, його властивості та застосування.
- •2. Поняття границі числової послідовності, її властивості. Теорема про границю монотонної числової послідовності. Теорема Больцано-Вейєрштраса
- •1.Еліпс, означення та канонічне рівняння. Дослідження форми еліпса за канонічним рівнянням.
- •Оптимальні чисті стратегії
- •§ 3. Оптимальні змішані стратегії
- •1. Означення детермінанта n-го порядку. Властивості детермінантів.
- •2. Правила суми і добутку. Розміщення, перестановки, комбінації (без повторень та з повтореннями).
- •2. Алгоритми обробки масивів. Сортування елементів масиву методом "бульбашки". Масиви даних
- •Одновимірні масиви (вектори)
- •1. Площини та прямі в просторі.
- •2. Теорема множення ймовірностей. Незалежність подій.
- •1. Поверхні другого порядку. Еліпсоїди, параболоїди, гіперболоїди, гіперболічний параболоїд.
- •Запишемо рівняння поверхні обертання, утвореної обертанням еліпса
- •Записуючи рівняння параболоїда обертання (6) у вигляді
- •На закінчення розглянемо
- •2. Формула повної ймовірності та формули Байєса.
- •1. Формула повної ймовірності та формули Байєса.
- •49.3. Матриця лінійного оператора. Приклади.
- •2. Опис рядків у мові програмування с. Операції над рядками, функції для обробки рядків Рядки
- •Функції обробки символів та рядків
- •Функції, що стосуються рядків, які розглядаються як послідовність байт.
- •Функції, що обробляють рядки
- •1. Множини та відношення. Основні види бінарних відношень. Розбиття множини на класи.
- •1. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку та рівняння Бернуллі.
- •Рівняння в повних диференціалах
- •2. . Канонічні (нормальні) форми булевих функцій. Алгебра Жегалкіна.
- •1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння n-го порядку із змінними коефіцієнтами. Фундаментальна система розв’язків. Детермінант Вронського. Загальний розв’язок.
- •2. Комбінаторні конфігурації. Біноміальна та поліноміальна теореми.
- •1. Розв’язування диференціальних рівнянь та їх систем.
- •2. Повнота і замкненість систем булевих функцій. Теорема (критерій) Поста.
- •1. Інтерполювання функцій многочленами Лагранжа.
- •Інтерполювання функцій многочленами Ньютона. Сплайни.
- •Скінченні різниці
- •Перша інтерполяційна формула Ньютона
- •Друга інтерполяційна формула Ньютона
- •1. Лінійна та нелінійна кореляція. Метод найменших квадратів. Побудова емпіричних формул.
- •2. . Опукле програмування. Функція Лагранжа. Теорема Куна-Таккера-1. Теорема Куна-Таккера-2. Задача опуклого квадратичного програмування. Квадратичний симплекс-метод. Задачі опуклого програмування.
- •Функція Лагранжа. Теореми Куна-Таккера.
1. Означений інтеграл. Необхідна умова інтегровності. Критерій інтегровності. Інтегровність неперервної функції.
Нехай на відрізку [a;b] задано довільну функцію f(x). Візьмемо (T)-розбиття цього відрізка. У кожному відрізку [ ] цього (T)- розбиття візьмемо по одній точці [ ] (k=0,1,2,…,n-1) і складемо суму
S(T)= ,(4)
.Ця сума називається інтегральною сумою, складеною для функції f(x) ,даного (T)- розбиття відрізка [a;b] при даному виборі точок [ ] (k=0,1,2,…,n-1).
Число I називається границею інтегральної суми (4) при ,якщо для будь-якого числа існує число , таке, що
(5)
для будь-якого (T)- розбиття(1) відрізка [a; b],для якого .
Якщо число І є границею інтегральної суми при ,то символічно це записують так
Якщо при інтегральна сума (4) має границю ,то ця границя називається визначеним інтегралом або інтегралом Рімана від функції f(x) на відрізку [a;b] і позначається ,а функція f(x) при цьому називається інтегрованою(за Ріманом ) на цьому відрізку. Таким чином,
= .(6)
Теорема 1. (Необхідна умова інтегрованості) Якщо функція f(x) інтегрована (за Ріманом) на відрізку [a; b], то вона обмежена на цьому відрізку.
Доведення. Нехай f(x)- необмежена функція, означена на відрізку [a; b].
Візьмемо довільне (T)- розбиття (1) відрізка [a; b]. Оскільки функція f(x) необмежена на відрізку [a; b], то вона необмежена принаймні на одному з відрізків (T)- розбиття(1). Нехай це буде відрізок .
Позначимо .
Точку виберемо так, щоб
Легко помітити, що
.(7)
Якби функція f(x) була інтегрованою на відрізку [a; b], то для всіх досить малих інтегральної суми, задовольняючи нерівність (5), були б обмеженими. А з (7) випливає, що серед таких інтегральних сум є як завгодно великі. Цим теорему доведено.
Однак не всяка функція, обмежена на відрізку [a; b], інтегрована на цьому відрізку. Розглянемо функцію Діріхле
Якщо всі [ ] (k=0,1,2,…,n-1) - раціональні точки, то
Якщо ж всі [ ] (k=0,1,2,…,n-1) є ірраціональні точки, то
Таким чином, інтегральні суми, складені для функції Діріхле, не можуть прямувати до означеної границі при .
Функція Діріхле неінтегровна на відрізку [a; b], хоч і обмежена на цьому відрізку. Нехай функція f(x) обмежена на відрізку [a; b]. Візьмемо (T)- розбиття(1) цього відрізка.
Позначимо:
Суми і називаються відповідно нижньою і верхньою сумами Дарбу, складеними для функції f(x) і даного (T)- розбиття(1) відрізка [a; b].
Число називається нижнім інтегралом Дарбу функції f(x) на відрізку [a; b].
Число називається верхнім інтегралом Дарбу функції f(x) на відрізку [a; b].
Теорема Дарбу.
Для будь–якої функції f(x), неперервної на відрізку [a;b], правильні рівності ,
Теорема 2. Для того щоб функція f(x), означена на відрізку [a; b], була інтегрована (за Ріманом) на цьому відвізку, необхідно й достатньо, щоб вона була обмежена на відрізку [a; b] і щоб її нижній інтеграл Дарбу на відрізку [a; b] дорівнював її верхньому інтегралу Дарбу на цьому відрізку.
Доведення. Необхідність. Нехай f(x)- функція, інтегрована на відрізку [a; b]. Тоді за теоремою 1 ця функція обмежена на цьому відрізку. Візьмемо довільне (T)- розбиття (1) відрізка [a;b]. Для числа внаслідок властивості нижньої грані, існує точка [ ] така, що
Таким чином,
(1)
Оскільки функція f(x) інтегрована за Ріманом на відрізку [a; b], то існує границя
За теоремою Дарбу,
Переходячи до границі при в нерівностях (1), дістанемо
Отже, (2)
Для числа , внаслідок властивості верхньої грані, існує точка [ ] така, що
(k=0,1,2,…,n-1).
Звідси
Оскільки функція f(x) інтегрована за Ріманом на відрізку [a; b], то .
За теоремою Дарбу,
Переходячи до границі при в нерівностях(3), знайдемо
Звідси і з (2) дістаємо : .Необхідність доведено.
Достатності. Нехай f(x) –функція, обмежена на відрізку [a;b], і нехай .
За властивістю 1) сум Дарбу маємо
(4)
За теоремою Дарбу, ,
Оскільки , то з нерівностей (4) випливає існування границі і правильність рівностей = , а це означає, що функція f(x) інтегрована за Ріманом на відрізку [a; b].Теорема доведена.
Теорема 3. Всяка функція, неперервна на відрізку, інтегрована за Ріманом на цьому відрізку.
Доведення. Якщо функція f(x), неперервна на відрізку [a; b], то за першою теоремою Веєрштрасса вона обмежена на цьому відрізку. Задамося числом . Тоді для числа за теоремою Кантора існує число таке, що .
Для будь-яких точок [a; b], для яких . Візьмемо довільне (T)- розбиття(1) відрізка [a; b], для якого .
Функція f(x), будучи неперервною на відрізку [a; b], неперервна на кожному відрізку [ ] (T)- розбиття(1).
За другою Вейєрштрасса, існують точки [ ] такі, що
(k=0,1,2,…,n-1).
Оскільки то внаслідок нерівності (7) маємо
(k=0,1,2,…,n-1).
Звідси .
А це означає, що правильна рівність (6). Таким чином, для функції f(x), неперервної на відрізку [a; b], виконані умови теореми 2.Теорема доведена.
2. Функції у мові С. Фактичні та формальні параметри.