1. Поверхні другого порядку. Еліпсоїди, параболоїди, гіперболоїди, гіперболічний параболоїд.

Поверхнею другого порядку називається множина точок простору, яка в Декартові системі координат задається рівнянням

Ax²+By²+Cz²+Dxy+Eyz+Fxz+Kx+Ly+Mz+N=0, (1)

причому хоча б один з коефіцієнтів Ф, И, С, D, E, F відмінний від нуля.

Поверхні обертання другого порядку

Означення 1. Нехай в просторі задано довільну плоску лінію С і в її площині пряму L. Поверхнею обертання називається поверхня, утворена обертанням лінії С навколо прямої L.

Пряму L називають віссю обертання, а лінію С – твірною поверхні обертання або її меридіаном.

Кола, описані точками твірної, розміщені в площинах, перпендикулярних до осі обертання, називають паралелями поверхні обертання.

Введемо в просторі систему координат таким чином, щоб вісь OZ суміщалась з віссю обертання поверхні, а осі ОХ і ОY лежали в площині однієї з її паралелей.

Нехай початковий меридіан поверхні обертання заданий рівняннями

(2)

тобто початковий меридіан лежить в площині XOZ.

Складемо рівняння поверхні обертання.

Нехай М(x, y, z) довільна точка поверхні обертання (рис. 1), а M₀(x₀,y₀,z₀) точка початкового меридіана, яка лежить на тій же паралелі що й точка М.

Тоді О'М₀=ОМ=r, O' – центр, а r – радіус паралелі.

В точці М₀ маємо x₀=r. Координати точки М₀ задовольняють рівняння початкового меридіана.

Отже,

F (r ,z₀)=0 (3)

Радіус паралелі є величина стала, тобто однакова для всіх точок паралелі. Але в довільній точці М паралелі а z має однакове значення для всіх точок паралелі тобто z=z₀. Підставляючи значення r і z₀ в (3), отримаємо рівняння поверхні обертання

(4)

Еліпсоїд обертання

Запишемо рівняння поверхні обертання, утвореної обертанням еліпса

навколо осі OZ. Згідно (4) в рівняння початкового меридіана підставляємо замість х вираз Отже рівняння поверхні, утвореної обертанням еліпса навколо осі OZ:

(5)

Поверхню (5) називають еліпсоїдом обертання

Параболоїд обертання

Запишемо рівняння поверхні бертання, утвореної обертанням параболи

Навколо осі OZ.

На підставі (4) замість х в рівняння початкового меридіана підставляємо вираз Отже, рівняння поверхні, утвореної обертанням параболи навколо осі ОZ:

(6)

Поверхня (6) називається параболоїдом обертання.

Гіперболоїди обертання

а) Запишемо рівняння поверхні обертання, утвореної обертанням гіперболи

навколо осі OZ, тобто навколо уявної осі гіперболи. Аналогічно до попередніх задач замінивши х на одержимо:

(7)

Поверхню (7) називають однопорожнинним гіперболоїдом обертання

б) Запишемо рівняння поверхні, утвореної обертанням гіперболи

навколо осі OZ, тобто навколо дійсної осі гіперболи. Легко встановити, що шуканим рівнянням поверхні є рівняння

або

Поверхня (8) називається двопорожнинним гіперболоїдом обертання

а) Еліпсоїд

Застосуємо операцію розтягу до кожної з поверхонь обертання, отриманих в попередньому пункті.

Розтягуючи еліпсоїд (5) вздовж осі OY у k разів (замінимо в рівнянні вихідної поверхні у на де k – коефіцієнт розтягу), одержимо

Позначивши ka=b, маємо рівняння

(9)

Воно визначає поверхню, яку називають тривісним еліпсоїдом, а числа a,b,c – півосями еліпсоїда.

Легко зрозуміти, що в перерізі еліпсоїда (9), якоюсь площиною, паралельною одній з координатних площин, утворюється еліпс.

Наприклад, перерізаючи еліпсоїд площиною z=h (|h|<c),

Виключаючи, з цих рівнянь аплікату z, дістанемо проекцію перерізу на площину OXY,

або

Тобто, еліпсоїд (9) перетинається з площиною z=h по еліпсу з півосями

б) Параболоїд