- •Потужність множини. Зчисленні та незчисленні множини. Їх властивості.
- •2.Поняття моделі. Поняття інформаційної моделі. Поняття математичної моделі.
- •Приклади лінійних просторів
- •2.Алгоритм. Способи опису алгоритмів. Словесна та графічна форми подання алгоритмів.
- •1. Похідна функції однієї змінної, її геометричний та механічний зміст. Основні правила диференціювання.
- •3. Похідна складної функції.
- •1. Диференційовані функції однієї змінної, критерій диференційованості. Диференціал в точці, його геометричний зміст, застосування до наближених обчислень.
- •2. Програма. Поняття мови програмування. Поняття про середовище програмування
- •1. . Основні теореми диференціального числення. Теорема Лагранжа. Умови сталості та монотонності функції.
- •2. . Трансляція та її види: інтерпретація, компіляція. Їх особливості. Поняття системи програмування.
- •1. Екстремум функції. Необхідні умови екстремуму. Достатні умови екстремуму.
- •1. Максимум і мінімум функції в точці.
- •2. Основні принципи технології структурного програмування. Метод покрокової деталізації.
- •1. Структурне програмування
- •1.1. Принцип модульності
- •1. Первісна функція та неозначений інтеграл. Інтегрування підстановкою та частинами.
- •2. Основні принципи технології об’єктно-орієнтованого програмування. Поняття про об’єкт (клас).
- •1. Означений інтеграл. Необхідна умова інтегровності. Критерій інтегровності. Інтегровність неперервної функції.
- •Стандартні функції мови с
- •Аргументи функції
- •1. Квадровні фігури. Застосування означеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур.
- •2. Алгоритми обробки масивів. Алгоритм послідовного пошуку. Пошук максимального (мінімального) елемента. Масиви даних
- •Одновимірні масиви (вектори)
- •1. Спрямлювані криві та їх довжини. Теорема Жордана. Обчислення довжини кривої за допомогою означеного інтеграла.
- •1. Застосування визначеного інтеграла до обчислення об’ємів тіл обертання та площ поверхонь обертання.
- •Задача про перевезення (транспортна задача)
- •1. Додатні числові ряди, властивості збіжних рядів, критерій збіжності. Теореми про порівняння рядів. Ознака Даламбера та інтегральна ознака Коші.
- •2. Метод штучного базису відшукання початкового базисного розв’язку злп. М-метод розв’язування злп.
- •1) Методи відшукання початкового базисного розв’язку
- •2) Описання м-методу розв’язування злп.
- •1Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца. Абсолютно і умовно збіжні ряди.
- •2. Двоїсті злп та їх властивості. Теореми двоїстості. Двоїстий симплекс-метод.
- •1. Функціональні послідовності і ряди. Збіжність, область збіжності. Рівномірна збіжність. Ознака Вейєрштраса.
- •2. Транспортна задача (тз). Властивості тз. Деякі методи відшукання початкового базисного розв’язку тз. Метод потенціалів розв’язування тз.
- •§2. Деякі властивості транспортної задачі.
- •§3. Базисні розв’язки транспортної задачі.
- •§4. Деякі методи відшукання базисного розв’язку транспортної задачі.
- •4.1. Метод північно-західного кута.
- •4.2. Метод мінімального елемента
- •§5. Метод потенціалів розв’язування транспортної задачі.
- •1. Метричні простори. Відкриті та замкнуті множини, їх властивості.
- •2. Потоки та мережі. Постановка задачі. Задача про найкоротший шлях. Метод Мінті. Задача про максимальний потік. Метод Форда-Фалкерсона.
- •3. Задача про максимальний потік. Метод Форда–Фалкерсона
- •1. Векторний добуток двох векторів, його властивості та застосування.
- •2. Поняття границі числової послідовності, її властивості. Теорема про границю монотонної числової послідовності. Теорема Больцано-Вейєрштраса
- •1.Еліпс, означення та канонічне рівняння. Дослідження форми еліпса за канонічним рівнянням.
- •Оптимальні чисті стратегії
- •§ 3. Оптимальні змішані стратегії
- •1. Означення детермінанта n-го порядку. Властивості детермінантів.
- •2. Правила суми і добутку. Розміщення, перестановки, комбінації (без повторень та з повтореннями).
- •2. Алгоритми обробки масивів. Сортування елементів масиву методом "бульбашки". Масиви даних
- •Одновимірні масиви (вектори)
- •1. Площини та прямі в просторі.
- •2. Теорема множення ймовірностей. Незалежність подій.
- •1. Поверхні другого порядку. Еліпсоїди, параболоїди, гіперболоїди, гіперболічний параболоїд.
- •Запишемо рівняння поверхні обертання, утвореної обертанням еліпса
- •Записуючи рівняння параболоїда обертання (6) у вигляді
- •На закінчення розглянемо
- •2. Формула повної ймовірності та формули Байєса.
- •1. Формула повної ймовірності та формули Байєса.
- •49.3. Матриця лінійного оператора. Приклади.
- •2. Опис рядків у мові програмування с. Операції над рядками, функції для обробки рядків Рядки
- •Функції обробки символів та рядків
- •Функції, що стосуються рядків, які розглядаються як послідовність байт.
- •Функції, що обробляють рядки
- •1. Множини та відношення. Основні види бінарних відношень. Розбиття множини на класи.
- •1. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку та рівняння Бернуллі.
- •Рівняння в повних диференціалах
- •2. . Канонічні (нормальні) форми булевих функцій. Алгебра Жегалкіна.
- •1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння n-го порядку із змінними коефіцієнтами. Фундаментальна система розв’язків. Детермінант Вронського. Загальний розв’язок.
- •2. Комбінаторні конфігурації. Біноміальна та поліноміальна теореми.
- •1. Розв’язування диференціальних рівнянь та їх систем.
- •2. Повнота і замкненість систем булевих функцій. Теорема (критерій) Поста.
- •1. Інтерполювання функцій многочленами Лагранжа.
- •Інтерполювання функцій многочленами Ньютона. Сплайни.
- •Скінченні різниці
- •Перша інтерполяційна формула Ньютона
- •Друга інтерполяційна формула Ньютона
- •1. Лінійна та нелінійна кореляція. Метод найменших квадратів. Побудова емпіричних формул.
- •2. . Опукле програмування. Функція Лагранжа. Теорема Куна-Таккера-1. Теорема Куна-Таккера-2. Задача опуклого квадратичного програмування. Квадратичний симплекс-метод. Задачі опуклого програмування.
- •Функція Лагранжа. Теореми Куна-Таккера.
1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння n-го порядку із змінними коефіцієнтами. Фундаментальна система розв’язків. Детермінант Вронського. Загальний розв’язок.
Розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння
. (1)
Через L(y) позначимо результат застосування до функції у сукупності операцій (диференціювання, множення на функції і додавання), вказаних у лівій частині рівняння (1). При цьому L(y) називають лінійним диференціальним оператором. Властивості лінійного оператора L(y):
1) (2)
де у1 і у2 – будь-які п разів диференційовні функції (тобто оператор суми дорівнює сумі операторів).
2) . (3)
де у — будь-яка п разів диференційовна функція, а С - деяка стала (тобто сталий множник можна винести за знак лінійного оператора).
З'ясуємо тепер деякі властивості розв'язків лінійного однорідного рівняння (1).
Теорема 1. Якщо функції у1(х) і у2(х) є розв'язками рівняння (1), то й функція у1(х) + у2(х) також є розв'язком цього рівняння.
Доведення. Оскільки у1(х) та у2(х) є розв'язками рівняння (1), то враховуючи, що і , матимемо
тобто функція у1(х) + у2(х) є розв'язком диференціального рівняння (1). Теорему доведено.
Теорема 2. Якщо функція у1(х) є розв'язком рівняння (1), то й функція Су1(х) також є розв'язком цього рівняння.
Доведення. Враховуючи, і , матимемо . Теорему доведено.
Наслідок. Якщо функції у1(х), у2(х), ...,уп(х) є розв'язками лінійного однорідного рівняння (1), то й функція
, (4)
де Сі, і = 1, 2, ...,п – довільні сталі, також є розв'язком цього рівняння.
Нехай функції
в інтервалі (а; b) мають похідні до (п - 1)-го порядку включно. Тоді визначник
(5)
називають визначником Вронського (вронскіаном) цих функцій.
Теорема З. Якщо функції в інтервалі (а; b) лінійно залежні, то їх визначник Вронського тотожно дорівнює нулю.
Теорема 4. Якщо розв'язки диференціального рівняння (1) лінійно незалежні в інтервалі (а; b), то їх визначник Вронського не дорівнює нулю в жодній точці цього інтервалу.
Теорема 5. Для того щоб розв'язки диференціального рівняння (1) були лінійно незалежними в інтервалі (а; b), необхідно і достатньо, щоб визначник Вронського (5) не дорівнював нулю хоча б в одній точці цього інтервалу.
Будь-яку систему з п лінійно незалежних розв'язків лінійного однорідного рівняння (1) називають фундаментальною системою розв'язків даного рівняння.
Теорема 6. Будь-яке лінійне однорідне диференціальне рівняння має фундаментальну систему розв'язків.
Теорема 7. Якщо розв'язки лінійного однорідного рівняння (1) утворюють фундаментальну систему розв'язків в інтервалі (а; b), то загальний розв'язок цього рівняння в області
матиме вигляд
(6)
де Cі і = 1,2,..., п, - довільні сталі.
Якщо маємо однорідне лінійне рівняння другого порядку
(7)
коефіцієнти якого неперервні в інтервалі (a; b),
то — формула Остроградського-Ліувілля. Вона виражає вронскіан фундаментальної системи розв’язків рівняння (7) через коефіцієнт цього рівняння. Користуючись цією формулою, можна показати, що коли відомий один частинний розв’язок однорідного рівняння (7), то його загальний розв’язок можна записати у вигляді
(8)
де і — довільні сталі.
Білет 27