3. Задача про максимальний потік. Метод Форда–Фалкерсона

Розглянемо мережу, що визначається графом g, яка має єдине джерело s, єдиний стік t та означену на множині U функцію пропускної спроможності r_ij. Нехай інтенсивність джерела d_s=d. За теоремою існування потоку на мережі інтенсивність стоку має бути рівною d_t=–d. Допустимий потік для розглядуваної мережі визначається співвідношеннями:

(3.1)

Задача про максимальний потік полягає у знаходженні максимального значення інтенсивності d, при якому в розглядуваній мережі існує потік.

Алгоритм Форда-Фалкерсона

Крок 1 (процес розставлення позначок). На цьому кроцi кожна з вершин належить до одного з трьох типів:

1. • непозначена,

2. • позначена i непроглянута,

3. • позначена i проглянута.

Спочатку всі вершини непозначенi.

Позначимо вершину s позначкою µ(s)=(+s,θ_s=∞), що означає: можна послати потік з вершини s у саму себе необмеженої величини.

Тепер вершина s позначена i непроглянута.

Взагалі, нехай j — позначена i непроглянута вершина, µ(j)=(+i,θ_j) або µ(j)=(−i,θj) — її позначка. Розглядаємо ще непозначенi вершини k: (j,k)∈U i x_jk < r_jk. Кожнiй з таких вершин приписуємо позначку µ(k)=(+j,θ_k), де θ_k = min{θ_j, r_jk – x_jk}. Розглядаємо ще непозначенi вершини k: (k,j)∈U, i x_kj > 0. Кожна з таких вершин одержує позначку µ(k)=(–j,θ_k), де θ_k = =min{θ_j, x_kj}.

Всі вершини k, які одержали позначки, тепер позначені i непроглянутi, а вершина j — позначена i проглянута.

Продовжуємо приписувати позначки непозначеним вершинам до тих пір, поки або вершина t виявиться позначеною, або не можна буде позначити жодної вершини i вершина t виявиться непозначеною.

У другому випадку існуючий потік x — максимальний, а множина позначених вершин C* визначає мінімальний розріз мережі.

У першому випадку існуючий потік x на кроцi 2 можна збільшити.

Крок 2 (збільшення потоку). Нехай µ(t)=(+k,θ_t), або µ(t)=(–k,θ_t) — позначка вершини t. Це означає, що існуючий потік з s в t можна збільшити на величину θ_t. Для цього в першому випадку замінюємо x_kt на x_kt+θ_t, у другому — x_tk замінюємо на x_tk–θ_t.

Переходимо до вершини k i виконуємо аналогічні операції, змінюючи величину потоку на ту ж величину θ_t. Продовжуємо ці дії, поки не досягнемо вершини s. Пiсля цього ліквідовуємо позначки всіх вершин i переходимо до кроку 1

Білет16

1. Векторний добуток двох векторів, його властивості та застосування.

Нехай задано два вектори і з кутом φ між ними.

Векторним добутком вектора на вектор називається вектор , який визначається такими умовами:

А

1) модуль вектора дорівнює добутку модулів векторів і на синус кута між ними;

2) вектор перпендикулярний до площини векторів і (тобто до кожного з цих векторів);

3) вектори , , утворюють праву трійку .

Позначають векторний добуток або . Відповідно до означення,

(1)

Характерні властивості векторного добутку.

1)Векторний добуток дорівнює коли вектори – множники колінеарні.

а) якщо , то φ=180˚, або sinφ=0

б) то

2.) Модуль векторного добутку дорівнює площі паралелограма, побудованого на цих векторах.

Справді

На підставі властивостей 1, 2, векторний добуток можна означити так:

(2)

де S – площа паралелограма побудованого на векторах і , - орт, причому:

1) 2) , , - утворюють праву трійку.

Векторний добуток має такі властивості:

1)

- асоціативність відносно скалярного множника;

2)

скаляр можна виносити за знак векторного добутку.

- Розподільні властивості

3)