Записуючи рівняння параболоїда обертання (6) у вигляді

і застосовуючи розтяг вздовж осі OY в k разів (замінюємо у на ), дістанемо еліптичний параболоїд, що визначається рівнянням

яке, покладаючи k²p=q, можна переписати у вигляді

(10)

Рівняння (10) називається рівнянням еліптичного параболоїда.

При перерізі параболоїда (10) площинами паралельними площині OXY, утворюються еліпси. Площини, паралельні площинам OXZ і OYZ, утворюються у перерізі з параболоїдом параболи. (Переконайтесь у цьому самостійно).

в) Одно порожнинний гіперболоїд

Користуючись операцією розтягу гіперболоїда обертання вздовж осі OY в k разів і позначаючи ka=b, отримаємо поверхню, яка називається одно порожнинним гіперболоїдом і визначається рівнянням

(11)

При перерізі гіперболоїда (11) площинами, паралельними площині OXY, утворюються еліпси. Перерізи, утворені площинами, паралельними площинам OXZ, i OYZ, утворюють гіперболи.

г) Двопорожнинний гіперболоїд

Застосувавши операцію розтягу двопорожнинного гіперболоїда обертання вздовж осі OY в k разів і позначаючи ka=b, дістанемо поверхню, яка називається двопорожнинним гіперболоїдом і визначається рівнянням

(12)

Переріз (12), утворений площинами, паралельними площинам OXZ i OYZ, утворюють гіперболи. А при перерізі гіперболоїда площинам паралельними площині OXY, утворюються еліпси. (Переконайтесь самі).

Графічних зображень поверхонь а), б), в), г) не наводимо оскільки вони нічим не відрізняються від зображень відповідних поверхонь обертання на рисунках 2-5.

д) Гіперболічний параболоїд

На закінчення розглянемо

поверхню другого порядку, яка визначається рівнянням

(13)

де p>0, q>0 (або p<0, q<0) і називається гіперболічним параболоїдом. Для визначеності вважатимемо, що p>0, q>0.

Розглянемо переріз поверхні (13) різними площинами.

В площині OXZ маємо параболу x²=2p z, симетричну осі OZ і розташовану у півплощині z≥0. У площині OYZ маємо параболу y²=-2q z,симетричну відносно осі Ozі розташовану у півплощині z≤0. У площині OXY маємо пару прямих

,

а у площині z=h – гіперболу

з дійсною піввіссю якщо h>0, і з дійсною піввіссю якщо h<0. Звідси випливає, що гіперболічний параболоїд має вигляд, як на рис. 6.

Зауваження. Гіперболічний параболоїд можна утворити рухом параболи в просторі так, що її площина залишається весь час паралельною заданій площині YOZ, а вершина О' переміщається по нерухомій параболі, розміщеній в перпендикулярній площині XOZ. Напрями осей обох парабол (рухомої і нерухомої) протилежні.

2. Формула повної ймовірності та формули Байєса.

Нехай подія А відбувається, якщо відбувається яка-небудь з подій . Події називатимемо гіпотезами або припущеннями. Вважатимемо, що гіпотези утворюють повну групу подій, тобто .

Для події А можемо написати рівності: .

Оскільки події Н і А попарно несумісні, то, застосувавши аксіому зчисленної адитивності і теорему множення ймовірностей, дістаємо: – формула повної ймовірності і є однією з найважливіших формул теорії ймовірностей та суміжних з нею дисциплін.

Теорема гіпотез (формули Байєса)

Припустимо, що виконуються умови описані вище, і розглянемо події . Застосувавши теорему множення ймовірностей, дістанемо рівності

.

Якщо , то звідси випливає, що

.

Враховуючи формулу повної ймовірності (8), можемо написати:

Ці формули називаються теоремою гіпотез або формулами Байєса. Формулам Байєса можна дати таку інтерпретацію. Нехай подія А може відбуватись за різних умов, щодо характеру яких можна висловити п припущень (гіпотез) які утворюють повну групу подій. Ймовірності цих гіпотез відомі. Ці ймовірності називають апріорними. Відомі також умовні ймовірності події А при різних гіпотезах. Здійснюється випробування, в результаті якого може відбутися або ні подія А. Якщо подія А відбулась, то ми можемо переоцінити ймовірність кожної гіпотези , обчисливши їх за формулами Байєса.

Ймовірності називаються апостеріорними ймовірностями гіпотез.

Білет 22